Семантика возможных миров: модели Крипке и интенсионал

Высказывание «Москва - столица России» истинно, но могло бы оказаться ложным, а «семь больше пяти» ложным быть не могло. Классическая логика этой разницы не видит: у неё есть только «истинно» и «ложно». Семантика возможных миров даёт модальным словам «необходимо», «возможно», «должен», «мог бы» точные условия истинности: предложение оценивается не в одной ситуации, а в целом пространстве альтернатив. Начать удобно с калькулятора: задайте, где истинно $p$ и какие миры видны друг из друга, и посмотрите, как меняются $\Box p$ и $\Diamond p$.

Откуда взялись возможные миры

Сам образ старше логики: Лейбниц считал наш мир выбранным из бесконечного множества возможных, и эта метафизика подробно разобрана в статье о теодицее Лейбница. Логику интересует другое: не какой мир лучший, а когда истинно предложение с модальным словом.

Первый шаг сделал Рудольф Карнап в книге «Значение и необходимость» (1947). Он ввёл «описания состояний», то есть полные непротиворечивые наборы атомарных предложений, и назвал необходимым то, что истинно во всех таких описаниях. В конце 1950-х Стиг Кангер, Яакко Хинтикка и Ричард Монтегю независимо пришли к идее отношения между мирами, а Сол Крипке в статьях 1959 и 1963 годов придал ей законченную форму. С тех пор под семантикой возможных миров понимают прежде всего реляционную семантику Крипке.

Модальные операторы и условия истинности

В модальной логике к обычным связкам добавляются два оператора: $\Box$ («необходимо») и $\Diamond$ («возможно»). Их смысл задаётся квантификацией по мирам. Для модели $M$ и мира $w$:

$$M, w \models \Box p \iff \forall v \, (wRv \Rightarrow M, v \models p)$$ $$M, w \models \Diamond p \iff \exists v \, (wRv \wedge M, v \models p)$$

Необходимость означает истинность во всех достижимых мирах, возможность означает истинность хотя бы в одном. Отсюда двойственность $\Diamond p \leftrightarrow \neg \Box \neg p$: «возможно» значит «не необходимо, что не». Так же связаны кванторы $\forall$ и $\exists$, и это не совпадение: в этой семантике модальные операторы и есть скрытые кванторы по мирам.

Модель Крипке: миры, достижимость, оценка

Модель Крипке - тройка $M = \langle W, R, V \rangle$. Здесь $W$ - непустое множество миров, $R$ - отношение достижимости между ними, $V$ - оценка, которая каждому атому сопоставляет множество миров, где он истинен. Пара $\langle W, R \rangle$ без оценки называется шкалой.

Возьмём пример, заложенный в калькулятор по умолчанию: $W = \{w_1, w_2, w_3\}$, $R = \{\langle w_1, w_2 \rangle, \langle w_1, w_3 \rangle, \langle w_3, w_1 \rangle\}$, $V(p) = \{w_2, w_3\}$.

• Из $w_1$ достижимы $w_2$ и $w_3$, в обоих $p$ истинно. Значит, $\Box p$ и $\Diamond p$ в $w_1$ истинны, хотя сама $p$ там ложна.
• Из $w_2$ не достижим ни один мир. $\Box p$ истинно пусто (контрпримера нет), $\Diamond p$ ложно.
• Из $w_3$ достижим только $w_1$, где $p$ ложно. Ложны и $\Box p$, и $\Diamond p$, хотя в самом $w_3$ $p$ истинно.

Пример показывает главное: истинность модального высказывания зависит не от мира оценки, а от того, что из него видно. Свойства отношения $R$ соответствуют аксиомам модальных систем:

В нашей модели $R$ не рефлексивно, поэтому в $w_1$ нарушается T, а тупиковый $w_2$ даёт контрпример к D. Отметьте в калькуляторе петли $w_1 \to w_1$, $w_2 \to w_2$ и $w_3 \to w_3$: оба контрпримера исчезнут.

Интенсионал: функция от миров к экстенсионалам

Второе применение идеи - теория значения. У Карнапа выражение имеет два семантических слоя. Экстенсионал имени - предмет, предиката - множество предметов, предложения - истинностное значение. Интенсионал - функция, которая каждому миру сопоставляет экстенсионал в этом мире. У выражения «президент Франции» в разных мирах разные носители, но интенсионал один: правило, которое выбирает носителя в каждом мире.

Это формальный двойник фрегевского смысла. «Утренняя звезда» и «вечерняя звезда» совпадают по экстенсионалу в нашем мире, но расходятся по интенсионалу: есть миры, где эти роли играют разные тела. Как Фреге вводил само различие, разобрано в статье «Смысл и значение» Фреге. Здесь важно, что Карнап сделал из смысла функцию, с которой можно считать.

Интенсионал предложения - пропозиция, то есть множество миров, где предложение истинно. Ричард Монтегю построил на этом грамматику естественного языка: каждое выражение получает интенсиональный тип. Контекст вроде «Иван ищет единорога» объясняется без существования единорогов: глагол «ищет» принимает интенсионал, а не предмет.

Рассчитать для своей задачи

Жёсткие десигнаторы и необходимость a posteriori

В лекциях «Именование и необходимость» (1970, книга 1980) Крипке применил семантику миров к именам. Жёсткий десигнатор обозначает один и тот же объект во всех мирах, где этот объект существует. Имя «Аристотель» жёсткое: говоря «Аристотель мог не стать философом», мы рассматриваем миры, где тот же человек выбрал другое занятие. Дескрипция «учитель Александра Македонского» нежёсткая: в других мирах эту роль играет кто-то другой.

Отсюда удар по дескриптивной теории имён, которую развивали Фреге и Рассел (её логическая сторона разобрана в статье про теорию дескрипций Рассела). Если бы имя было сокращённой дескрипцией, фраза «Аристотель мог не учить Александра» была бы противоречивой. Второе следствие - необходимые истины, которые познаются опытом. Если «Геспер» и «Фосфор» жёстко обозначают Венеру, то «Геспер есть Фосфор» истинно во всех мирах, хотя установили это астрономы, а не анализ понятий. Так же Крипке трактует «вода есть $\mathrm{H_2O}$»: необходимость и априорность перестают совпадать.

Контрфактуалы: Столнейкер и Льюис

Контрфактуал - условное предложение с ложным антецедентом: «Если бы спичку чиркнули, она бы загорелась». Материальная импликация здесь бесполезна: при ложном антецеденте она истинна всегда, а контрфактуалы бывают и ложными. Роберт Столнейкер (1968) предложил выбирать ближайший к нашему мир, где антецедент истинен, и проверять в нём консеквент. Дэвид Льюис в книге «Контрфактуалы» (1973) заменил один ближайший мир системой сфер сходства вокруг действительного мира. Контрфактуал $A \mathrel{\Box\!\!\to} C$ у него истинен, если в ближайших мирах, где верно $A$, верно и $C$.

Разница видна на спорных случаях. Столнейкер принимает условный закон исключённого третьего: из «если бы $A$, то $C$» и «если бы $A$, то не $C$» одно обязательно истинно. Льюис допускает ничьи. «Если бы Бизе и Верди были соотечественниками, оба были бы французами» и «...оба были бы итальянцами» у него ложны оба, потому что ближайшие миры бывают двух видов. На контрфактуалах Льюис построил и анализ причинности: $c$ причина $e$, если без $c$ не было бы и $e$.

Рассчитать для своей задачи

Модальный реализм Льюиса и эрзац-миры

Формальная семантика не отвечает на вопрос, что такое миры. Льюис в книге «О множественности миров» (1986) дал самый смелый ответ: миры так же конкретны, как наш, просто они пространственно и причинно изолированы друг от друга. Слово «действительный» у него индексикал вроде «здесь»: каждый мир действителен для своих обитателей. Объект не существует в нескольких мирах сразу, у него есть двойники, и «Хамфри мог выиграть выборы» значит, что выиграл его двойник. Крипке возражал: Хамфри нет дела до того, что выиграл кто-то другой.

Эрзац-подход (Роберт Адамс, Алвин Плантинга, Столнейкер) считает миры абстрактными объектами: максимальными непротиворечивыми множествами пропозиций или способами, какими мир мог бы быть. Крипке настаивал, что миры задаются условием, а не открываются в телескоп. Льюис отвечал, что эрзацисту приходится брать модальность как исходное понятие («непротиворечивое» уже значит «возможное»), и анализ ходит по кругу.

Модальные глаголы и пропозициональные установки

В лингвистике семантика миров стала стандартом для модальных слов. По Анжелике Кратцер, «должен» - квантор всеобщности по мирам, «может» - квантор существования, а какие миры учитывать, задаёт контекст: модальная база (что известно, что предписано) и упорядочивающий источник (нормы, желания, обычный ход вещей). Отсюда многозначность одной формы. «Он должен быть дома» читается эпистемически: во всех мирах, совместимых с нашими знаниями. «Он должен вернуть долг» читается деонтически: во всех мирах, где соблюдены нормы. Грамматическую сторону, наклонения и модальные слова русского предложения разбирает статья о предикативности и модальности.

Хинтикка распространил тот же приём на установки: «Анна верит, что $p$» истинно, если $p$ истинно во всех мирах, совместимых с убеждениями Анны. Для «знает» берётся своё отношение достижимости. Цена - проблема логического всеведения: если две пропозиции истинны в одних и тех же мирах, они совпадают, и тот, кто знает, что $2 + 2 = 4$, автоматически «знает» любую доказанную теорему. Отсюда современные гиперинтенсиональные семантики, которые различают необходимо эквивалентные содержания.

Частые ошибки

• Думать, что $\Box p$ влечёт $p$ в любой модели. Это верно только при рефлексивном $R$: в примере выше $\Box p$ истинно в $w_1$, где $p$ ложно.
• Считать, что в тупиковом мире «ничего не необходимо». Наоборот: там необходимо всё, даже противоречие, и ничего не возможно.
• Путать миры Крипке с метафизикой Лейбница или с параллельными вселенными физиков: в логике мир - точка модели, его природа формализмом не задана.
• Смешивать интенсионал с психологическим представлением: это объективная функция от миров к объёмам.
• Считать «Геспер есть Фосфор» априорной истиной только потому, что она необходима.

FAQ

Чем семантика возможных миров отличается от модальной логики? Модальная логика - это язык и аксиомы (K, T, S4, S5), семантика возможных миров - их интерпретация через модели Крипке. Теоремы о полноте связывают одно с другим: формула доказуема в системе тогда и только тогда, когда истинна во всех моделях подходящего класса.

Существуют ли возможные миры на самом деле? Льюис отвечал «да, так же, как наш», эрзац-теоретики - «да, как абстрактные объекты», фикционалисты - «это полезная фикция». Логической семантике выбор ответа не нужен.

Почему необходимое истинно в тупиковом мире? Условие для $\Box p$ требует, чтобы среди достижимых миров не было контрпримера. Если достижимых миров нет, контрпримера нет тоже, и условие выполнено пусто, как в высказывании «все единороги в этой комнате рыжие».

Коротко

Семантика возможных миров превращает «необходимо» и «возможно» в кванторы по мирам: $\Box p$ истинно в мире, если $p$ истинно во всех достижимых из него мирах, а $\Diamond p$ истинно, если $p$ верно хотя бы в одном из них. Свойства отношения достижимости задают системы от K до S5. Та же идея дала интенсионал (Карнап, Монтегю), жёсткие десигнаторы Крипке, анализ контрфактуалов у Столнейкера и Льюиса и семантику модальных глаголов в лингвистике. Спор о природе миров остаётся открытым, но на работу моделей не влияет.