Рассеяние Ми: параметр размера и белый цвет тумана

В 1908 году Густав Ми решил задачу о рассеянии плоской электромагнитной волны на однородном шаре точно: разложил падающее, внутреннее и рассеянное поля по сферическим гармоникам и сшил их на границе. Получившееся решение не знает ограничений на размер частицы, поэтому рэлеевское рассеяние и геометрическая оптика оказываются его предельными случаями. Всё поведение задаёт один безразмерный параметр, связывающий радиус частицы с длиной волны. Калькулятор ниже считает полный ряд Ми для ваших данных и сразу показывает, в каком режиме находится частица и какого цвета будет рассеянный свет.

Параметр размера: когда начинается рассеяние Ми

Главная величина теории Ми - безразмерный параметр размера:

$x = \frac{2\pi r}{\lambda},$

где $r$ - радиус сферической частицы, а $\lambda$ - длина волны в среде (в воздухе она практически совпадает с вакуумной). Второй параметр - относительный показатель преломления $m = n_\text{частицы}/n_\text{среды}$: для капли воды в воздухе $m = 1{,}33$.

Три режима различаются именно значением $x$:

• $x \ll 1$ - рэлеевское рассеяние. Частица целиком сидит в почти однородном поле волны и работает как элементарный диполь. Молекула азота с $r \approx 0{,}2$ нм при $\lambda = 550$ нм даёт $x \approx 0{,}002$.
• $x \sim 1{-}50$ - собственно рассеяние Ми. Поле внутри частицы уже неоднородно, разные её участки переизлучают с разными фазами, и результат определяется их интерференцией. Частица дыма радиусом $0{,}2$ мкм даёт $x = 2{,}3$, капля дымки радиусом $0{,}5$ мкм - $x = 5{,}7$.
• $x \gg 1$ - геометрическая оптика плюс дифракция. Капля тумана радиусом 5 мкм даёт $x = 57$, и её уже проще описывать лучами.

Важно, что рассеяние Ми - это не «рассеяние на крупных частицах», а точное решение для сферы любого размера. Просто при $x \ll 1$ ряд схлопывается в простую рэлеевскую формулу, и городить полное решение незачем.

Сечение рассеяния и фактор эффективности

Ответ теории Ми - это набор коэффициентов $a_n$ и $b_n$, выраженных через сферические функции Бесселя от аргументов $x$ и $mx$. Через них сечение рассеяния записывается как сумма вкладов мультиполей:

$Q_\text{sca} = \frac{2}{x^2}\sum_{n=1}^{N}(2n+1)\left(|a_n|^2 + |b_n|^2\right), \qquad \sigma_\text{sca} = Q_\text{sca}\,\pi r^2 .$

Здесь $Q_\text{sca}$ - фактор эффективности: во сколько раз сечение рассеяния больше геометрического сечения $\pi r^2$. Ряд обрывают на $N \approx x + 4x^{1/3} + 2$ членах, поэтому для капли с $x = 57$ нужно около 75 слагаемых, а для молекулы хватает одного.

Понятие сечения здесь ровно то же, что в задачах о рассеянии частиц: эффективная площадь, «вырезающая» из потока ту часть, которая уходит в сторону. Но у рассеяния Ми есть особенность: $Q_\text{sca}$ спокойно превышает единицу. Частица перехватывает свет с площади вчетверо большей собственной тени, потому что рассеивает и те волны, что проходят мимо неё.

Рассчитать для своей задачи

На графике видны все три участка сразу. Слева кривая точно ложится на штриховую рэлеевскую асимптоту $Q \propto x^4$. Около $x = 6{,}5$ она даёт первый и самый высокий максимум $Q = 3{,}98$ - это интерференция волны, прошедшей сквозь каплю, с волной, обогнувшей её. Дальше идут затухающие колебания (их называют структурой ряби), и кривая стремится к $Q \to 2$. Двойка вместо единицы - классический парадокс ослабления: половину даёт геометрическое перекрытие, половину - дифракция на краю частицы, точно такая же, как дифракция на щели.

Почему у рассеяния Ми исчезает закон четвёртой степени

При $x \ll 1$ в ряду выживает только первый электрический диполь, и формула Ми сворачивается в рэлеевскую:

$Q_\text{sca} \approx \frac{8}{3}x^4\left(\frac{m^2-1}{m^2+2}\right)^2 \propto \frac{r^4}{\lambda^4}.$

Проверить это можно прямо в калькуляторе: для частицы радиусом 20 нм полный ряд Ми даёт $Q = 3{,}012\cdot10^{-4}$, а приближённая формула - $3{,}025\cdot10^{-4}$, расхождение меньше половины процента. Именно отсюда берётся знаменитая зависимость $\lambda^{-4}$: синий свет 450 нм рассеивается в $(650/450)^4 = 4{,}35$ раза сильнее красного 650 нм.

Как только частица подрастает, множитель $x^4$ перестаёт работать: старшие мультиполи вступают в игру с разными знаками, и спектральная зависимость сглаживается.

Рассчитать для своей задачи

Падение хорошо считается по шагам: радиус 20 нм даёт отношение 4,34, 100 нм - 3,19, 200 нм - 2,33, а 500 нм - уже 1,07. Рябь на правой части графика - интерференционные резонансы одной идеальной сферы; у реального аэрозоля размеры разные, и она усредняется в ровную единицу.

Индикатриса: почему рассеянный свет уходит вперёд

Угловое распределение задают амплитудные функции $S_1(\theta)$ и $S_2(\theta)$, а для неполяризованного света интенсивность пропорциональна $\left(|S_1|^2 + |S_2|^2\right)/2$. Интегральную меру вытянутости называют параметром асимметрии:

$g = \langle \cos\theta \rangle = \frac{1}{4\pi}\int p(\theta)\cos\theta \, d\Omega .$

При $g = 0$ рассеяние симметрично, при $g \to 1$ весь свет идёт вперёд.

Рассчитать для своей задачи

Числа из анимации стоит запомнить. При $x = 0{,}2$ отношение интенсивностей вперёд и назад равно 1, а $g = 0{,}01$ - это чистый Рэлей. При $x = 5$ вперёд уходит в 304 раза больше света, чем назад, и $g = 0{,}85$. Именно значение $g \approx 0{,}85$ подставляют в модели переноса излучения для облачных капель. Угловая ширина переднего лепестка порядка $\lambda/2r$, и когда капли в облаке одинаковы, этот лепесток виден глазом как цветная корона вокруг Луны.

Небо синее, а облака и туман белые

Теперь всё складывается. Воздух рассеивает свет на флуктуациях плотности молекул, а у них $x \approx 0{,}002$ - глубокий рэлеевский режим с законом $\lambda^{-4}$, отсюда синий цвет неба и красное солнце у горизонта. Капли в облаке имеют радиус 5-10 мкм, то есть $x = 57{-}114$, и для них $Q \approx 2$ одинаково для всей видимой области: рассеянный свет сохраняет спектр солнечного, и облако получается белым. Многократное рассеяние (в толще облака фотон испытывает десятки актов) довершает дело, поэтому облако не только белое, но и яркое.

Между этими крайностями лежит всё разнообразие атмосферной оптики. Свежий табачный дым с частицами около 50 нм ещё держит рэлеевское отношение 4,2 и выглядит голубоватым; выдохнутый дым набирает влагу, частицы вырастают до сотен нанометров, и он становится белёсым. Тот же механизм даёт белизну молока (жировые шарики 0,1-1 мкм) и матовость запотевшего стекла.

Где считают рассеяние Ми на практике

Самое частое применение - оптика атмосферы. Коэффициент ослабления слоя равен $k = N\sigma_\text{ext}$, где $N$ - счётная концентрация частиц, а метеорологическая дальность видимости считается по формуле Кошмидера $S = 3{,}912/k$. Для дымки с каплями 0,5 мкм при $N = 100$ см$^{-3}$ получается $k = 0{,}31$ км$^{-1}$ и видимость 12,7 км, а для тумана с каплями 5 мкм при той же концентрации - $k = 16{,}9$ км$^{-1}$ и всего 231 м. Разница в полсотни раз возникает только из-за размера капель при одинаковом их числе.

Дальше идут лидары и нефелометры, счётчики аэрозольных частиц, определение размера латексов и клеток по угловой зависимости рассеяния, контроль мутности воды. Во всех этих приборах обратная задача решается подбором такого распределения частиц по размерам, чтобы рассчитанное по Ми рассеяние совпало с измеренным. Ослабление луча в среде при этом описывается законом Бугера-Ламберта-Бера, в который рассеяние входит наравне с поглощением.

Частые ошибки

• Считать рассеяние Ми отдельным физическим явлением «для крупных частиц». Это точное решение для сферы любого размера, а рэлеевское рассеяние - его предельный случай при $x \ll 1$.
• Подставлять в параметр размера диаметр вместо радиуса. Значение $x$ удваивается, а $Q$ меняется в разы, потому что кривая эффективности сильно изрезана.
• Брать абсолютный показатель преломления вместо относительного $m = n_\text{частицы}/n_\text{среды}$ и забывать, что $\lambda$ берётся в среде.
• Ожидать, что $Q_\text{sca}$ монотонно растёт с размером. После максимума $Q = 3{,}98$ идут колебания, и частица меньшего радиуса вполне может рассеивать сильнее большей.
• Путать $Q_\text{sca}$ и $Q_\text{ext}$. Для прозрачной капли они совпадают, но у сажи или окрашенной частицы показатель преломления комплексный, и к рассеянию добавляется поглощение.
• Описывать одной сферой реальный аэрозоль. Наблюдаемые спектры всегда получаются усреднением по распределению размеров, из-за чего резонансная рябь исчезает.

FAQ

Чем рассеяние Ми отличается от рэлеевского? Физика одна, различается только область применимости. Рэлеевская формула - первый член разложения ряда Ми по малому параметру $x$, в ней есть лишь дипольный вклад, симметричная индикатриса и зависимость $\lambda^{-4}$. Решение Ми учитывает все мультиполи, поэтому описывает и вытянутую вперёд диаграмму, и колебания эффективности, и потерю спектральной зависимости.

Почему рассеяние Ми делает туман белым, а небо остаётся синим? Дело не в веществе, а в размере рассеивателей. Небо светится на молекулярных флуктуациях с $x \approx 0{,}002$, где работает закон $\lambda^{-4}$. Капли тумана имеют $x$ от единиц до сотни, их эффективность рассеяния почти одинакова для всех видимых длин волн (отношение синего к красному падает до 1,07 уже при радиусе 0,5 мкм), поэтому рассеянный свет остаётся белым.

Можно ли применять формулы Ми к несферическим частицам? Строго - нет: решение выведено для однородного шара, а также существует в версиях для концентрических оболочек и бесконечного цилиндра. Пыль, кристаллы льда и сажевые агрегаты считают методом T-матрицы или дискретных диполей, но оценку по эквивалентной сфере часто оставляют как первое приближение. Для неупругих процессов теория Ми неприменима вовсе: там работает рамановское рассеяние со сдвигом частоты.

Коротко

Рассеяние Ми - точное решение задачи о рассеянии света на сфере, и всё в нём определяют параметр размера $x = 2\pi r/\lambda$ и относительный показатель преломления $m$. Сечение записывается как $\sigma = Q_\text{sca}\pi r^2$, причём $Q_\text{sca}$ растёт как $x^4$ в рэлеевской области, достигает максимума 3,98 около $x = 6{,}5$ и колеблется около геометрического предела 2 при больших размерах. Вместе с ростом частицы исчезает зависимость от длины волны (отношение синего к красному падает с 4,35 до единицы) и вытягивается вперёд индикатриса ($g$ доходит до 0,85). Поэтому небо синее, туман и облака белые, а по измеренному рассеянию можно восстановить размер частиц и предсказать дальность видимости.