Сечение рассеяния Резерфорда: формула и доля частиц

Сечение рассеяния Резерфорда отвечает на вопрос, который Резерфорд и его сотрудники Гейгер и Марсден решали экспериментально: какая часть пучка альфа-частиц отклонится на заметный угол, проходя сквозь тонкую золотую фольгу. Геометрический смысл прост: сечение это эффективная площадь мишени вокруг каждого ядра, попав в которую частица рассеивается не слабее заданного угла. Чем меньше угол, тем больше эта площадь, поэтому слабых отклонений много, а отскоков назад единицы. Ниже разберём, как сечение связано с прицельным параметром, как из него получается доля рассеянных частиц, и как по толщине фольги посчитать, сколько частиц попадёт в детектор. Чтобы сразу увидеть масштаб, покрути калькулятор: он считает сечение как площадь круга прицельных параметров и тут же показывает, сколько частиц из миллиона рассеется на выбранный угол.

Что такое сечение рассеяния

Сечение рассеяния это величина с размерностью площади, которая количественно описывает вероятность отклонения частицы. Представьте вокруг каждого ядра воображаемый кружок: если налетающая частица проходит внутри него, она рассеется на угол не меньше заданного. Площадь этого кружка и есть эффективное сечение $\sigma$. Оно измеряется в квадратных метрах, но в ядерной физике удобнее барны: $1\ \text{барн} = 10^{-28}\ \text{м}^2$, что близко к геометрическому сечению ядра.

Рассчитать для своей задачи

Ключевая идея в том, что сечение не зависит от того, сколько частиц вы запустили: это свойство одного ядра как мишени. Поток частиц лишь масштабирует результат. Поэтому сечение удобно: посчитав его один раз, можно предсказать исход любого опыта, просто умножив на число ядер на пути пучка.

Прицельный параметр и связь с углом

Угол отклонения однозначно задаётся прицельным параметром $b$ это расстояние от ядра до линии, по которой частица летела бы без взаимодействия. Чем ближе частица целится к ядру (меньше $b$), тем сильнее кулоновское отталкивание и тем больше угол $\theta$. Для рассеяния Резерфорда связь точная:

$b = \frac{k}{2E}\,\operatorname{ctg}\frac{\theta}{2}, \qquad k = \frac{Zze^2}{4\pi\varepsilon_0},$

где $E$ кинетическая энергия частицы, $Z$ заряд ядра, $z = 2$ заряд альфа-частицы, $e$ элементарный заряд, $\varepsilon_0$ электрическая постоянная. Видно, что прямому пролёту ($\theta \to 0$) отвечает $b \to \infty$, а лобовому удару с отскоком назад ($\theta \to 180°$) самый маленький прицельный параметр.

Рассчитать для своей задачи

Все частицы с прицельным параметром меньше некоторого $b(\theta)$ рассеются на угол больше $\theta$. Значит, мишень для отклонения на угол не меньше $\theta$ это круг радиуса $b(\theta)$.

Сечение как площадь круга прицельных параметров

Отсюда сразу получается интегральное (полное) сечение рассеяния на углы не меньше $\theta$ как площадь этого круга:

$\sigma(\ge\theta) = \pi\,b^2(\theta) = \pi\left(\frac{k}{2E}\right)^2 \operatorname{ctg}^2\frac{\theta}{2}.$

Это и есть та эффективная площадь-мишень, о которой шла речь в начале. Она резко растёт при уменьшении угла: при $\theta \to 0$ котангенс уходит в бесконечность, и сечение расходится физически это означает, что слабых отклонений бесконечно много, ведь даже далеко пролетающая частица чуть-чуть отклоняется. А вот для больших углов сечение крошечное: рассеяние назад требует почти лобового попадания.

Если же интересует не «на углы больше $\theta$», а рассеяние именно в узкий конус вокруг угла $\theta$, используют дифференциальное сечение это знаменитая формула Резерфорда для дифференциального сечения, которая описывает распределение частиц по углам. Интегральное сечение, которое мы считаем здесь, получается из неё интегрированием по всем углам от $\theta$ до $180°$ и удобнее для подсчёта доли частиц.

Доля и число рассеянных частиц

Чтобы перейти от одного ядра ко всей фольге, нужно учесть, сколько ядер встречает пучок. Если в фольге толщиной $t$ концентрация ядер равна $n$ (число ядер в единице объёма), то на единицу площади приходится $n\,t$ ядер. Доля частиц, рассеянных на углы не меньше $\theta$, это суммарная площадь всех мишеней, делённая на площадь пучка:

$\frac{\Delta N}{N} = n\,t\,\sigma(\ge\theta).$

Умножив долю на полное число налетающих частиц $N$, получаем число рассеянных:

$\Delta N = N\,n\,t\,\sigma(\ge\theta).$

Формула верна для тонкой фольги, где доля рассеянных мала и можно пренебречь повторными столкновениями. Именно эту цепочку Гейгер и Марсден проверяли, считая вспышки на сцинтилляционном экране под разными углами. Подставь свои данные в калькулятор выше: он переведёт энергию в джоули, посчитает $b$, сечение в барнах и сразу покажет на диаграмме потока, сколько частиц из миллиона уйдёт на большие углы, а сколько пройдёт почти прямо.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную задачу. Пучок $N = 10^6$ альфа-частиц с энергией $E = 5$ МэВ падает на золотую фольгу ($Z = 79$) толщиной $t = 1$ мкм. Концентрация ядер золота $n = 5{,}9\cdot10^{28}\ \text{м}^{-3}$. Найдём долю и число частиц, рассеянных на углы не меньше $90°$.

Сначала найдём $k$. Переведём энергию в джоули: $E = 5\cdot1{,}6\cdot10^{-13} = 8{,}0\cdot10^{-13}$ Дж. Тогда

$k = \frac{Zze^2}{4\pi\varepsilon_0} = \frac{79\cdot2\cdot(1{,}6\cdot10^{-19})^2}{4\pi\cdot8{,}85\cdot10^{-12}} \approx 3{,}6\cdot10^{-26}\ \text{Дж}\cdot\text{м}.$

Прицельный параметр для $\theta = 90°$ (котангенс $45°$ равен единице):

$b = \frac{k}{2E}\operatorname{ctg}45° = \frac{3{,}6\cdot10^{-26}}{2\cdot8{,}0\cdot10^{-13}} \approx 2{,}3\cdot10^{-14}\ \text{м}.$

Сечение рассеяния на углы не меньше $90°$:

$\sigma(\ge90°) = \pi b^2 \approx 3{,}14\cdot(2{,}3\cdot10^{-14})^2 \approx 1{,}6\cdot10^{-27}\ \text{м}^2 \approx 16\ \text{барн}.$

Доля рассеянных частиц:

$\frac{\Delta N}{N} = n\,t\,\sigma = 5{,}9\cdot10^{28}\cdot10^{-6}\cdot1{,}6\cdot10^{-27} \approx 9{,}4\cdot10^{-5}.$

Значит, из миллиона частиц на углы больше $90°$ рассеется около $\Delta N \approx 94$ штук меньше сотой доли процента. Этот мизер и удивил Резерфорда: модель сплошного атома предсказывала бы нулевую отдачу назад, а наблюдались редкие, но реальные отскоки, что доказало существование плотного ядра.

Частые ошибки

• Путаница сечения и площади. Сечение в барнах не геометрический размер ядра, а вероятностная площадь-мишень для конкретного угла. Для малых углов оно может в тысячи раз превышать сечение ядра.
• Энергия в МэВ вместо джоулей. В формулу для $b$ и $k$ энергию и заряды подставляют в СИ. Забытый перевод $1\ \text{МэВ} = 1{,}6\cdot10^{-13}$ Дж даёт ответ, ошибочный на много порядков.
• Котангенс вместо тангенса. В прицельном параметре стоит $\operatorname{ctg}(\theta/2)$, и аргумент это половина угла. Подстановка полного угла или тангенса сразу искажает результат.
• Сечение на угол и в угол. Интегральное $\sigma(\ge\theta)$ это рассеяние на все углы больше $\theta$, а дифференциальное $d\sigma/d\Omega$ в узкий конус. Это разные величины, их нельзя путать в одной задаче.
• Толстая фольга. Формула $\Delta N/N = n\,t\,\sigma$ верна, пока доля рассеянных мала. Для толстых мишеней нужны кратные рассеяния, и линейная оценка завышает результат.

FAQ

В каких единицах измеряют сечение рассеяния и почему именно в барнах? Сечение это площадь, в СИ квадратные метры. Но ядерные сечения очень малы, поэтому ввели барн: $1\ \text{барн} = 10^{-28}\ \text{м}^2$. Такой масштаб близок к геометрическому сечению ядра, поэтому числа получаются удобными порядка единиц и десятков барн.

Почему сечение рассеяния на малые углы стремится к бесконечности? Потому что даже частица, пролетающая очень далеко от ядра, испытывает слабое кулоновское отклонение. Круг прицельных параметров, дающих угол не меньше $\theta$, неограниченно растёт при $\theta \to 0$, и площадь-мишень расходится. На практике её ограничивает экранирование заряда ядра электронами.

Зависит ли сечение рассеяния от числа налетающих частиц? Нет. Сечение это характеристика одного ядра как мишени, оно зависит только от энергии частицы, заряда ядра и угла. Число рассеянных частиц получается умножением сечения на поток и на число ядер на пути, но само сечение от потока не зависит.

Коротко

Сечение рассеяния Резерфорда это эффективная площадь-мишень: $\sigma(\ge\theta) = \pi b^2(\theta)$, где $b = \tfrac{k}{2E}\operatorname{ctg}(\theta/2)$ и $k = Zze^2/4\pi\varepsilon_0$. Оно резко растёт при уменьшении угла, поэтому слабых отклонений много, а отскоков назад единицы. Долю рассеянных в фольге частиц дают через сечение: $\Delta N/N = n\,t\,\sigma(\ge\theta)$. Именно малость этой доли при ненулевом числе обратных отскоков и доказала ядерную модель атома.