Формула Резерфорда: рассеяние альфа-частиц на ядре

Когда в 1911 году Эрнест Резерфорд обстреливал тонкую золотую фольгу альфа-частицами, он ожидал, что почти все они пройдут почти насквозь. Большинство так и сделало, но изредка частицы отскакивали назад под огромными углами. Объяснить это можно было только одним: положительный заряд атома собран в крошечное массивное ядро. Количественно картину описывает формула Резерфорда для дифференциального сечения рассеяния, и ниже мы соберём её по частям, а интерактивный калькулятор позволит сразу посмотреть, как сечение меняется с углом, энергией и зарядом ядра.

Что такое рассеяние Резерфорда

Рассеяние Резерфорда это упругое отклонение заряженной частицы (классически альфа-частицы) кулоновским полем атомного ядра. Электроны для альфа-частицы слишком лёгкие, поэтому всю работу делает заряд ядра $+Ze$. Альфа-частица с зарядом $z = 2$ и энергией $E$ налетает на ядро, и кулоновское отталкивание искривляет её путь. Поскольку сила отталкивания спадает как $1/r^2$, траектория получается гиперболой: частица влетает по одной асимптоте, огибает ядро и улетает по другой, отклонившись на угол рассеяния $\theta$.

Ключевая идея в том, что исход одного столкновения полностью задаётся тем, насколько точно частица нацелена на ядро. Эту меру называют прицельным параметром $b$ это расстояние от ядра до прямой, по которой частица летела бы, если бы ядра не было. Чем меньше $b$, тем ближе пролёт и тем сильнее отклонение.

Прицельный параметр и угол рассеяния

Связь между прицельным параметром и углом рассеяния выводится из законов сохранения энергии и момента импульса в кулоновском поле:

$b = \frac{k}{2E}\,\mathrm{ctg}\frac{\theta}{2}, \qquad k = \frac{Zze^2}{4\pi\varepsilon_0}.$

Здесь $k$ кулоновский множитель, собирающий заряды ядра $Z$ и частицы $z$, а $E$ её кинетическая энергия на бесконечности. Формула читается наглядно: при больших $b$ (далёкий пролёт) котангенс велик, значит $\theta$ мал частица почти не отклоняется. При $b \to 0$ (лобовое столкновение) котангенс стремится к нулю, и угол приближается к $180^\circ$ частица отскакивает назад.

Рассчитать для своей задачи

Именно эта монотонная зависимость объясняет результат опыта. Отскоки назад требуют почти точного попадания в ядро, а раз они всё-таки случались, ядро обязано существовать и быть очень маленьким и плотным. В планетарной модели атома, которая выросла из этих расчётов, заряд и масса сосредоточены в ядре размером порядка фемтометров. Подробнее об устройстве уровней такого атома мы пишем в материале про энергию уровней атома водорода.

Дифференциальное сечение: сама формула Резерфорда

В эксперименте мы не управляем прицельным параметром каждой частицы он случаен. Поэтому измеряют не отдельную траекторию, а долю частиц, попадающих в детектор под углом $\theta$ в телесный угол $d\Omega$. Эту величину описывает дифференциальное сечение. Подставив связь $b(\theta)$ в определение сечения $d\sigma = 2\pi b\,|db|$, получаем формулу Резерфорда:

$\frac{d\sigma}{d\Omega} = \left(\frac{Zze^2}{16\pi\varepsilon_0 E}\right)^2 \frac{1}{\sin^4(\theta/2)}.$

Разберём множители. Квадрат в скобке показывает зависимость от зарядов и энергии: сечение растёт как $Z^2$ (тяжёлые ядра рассеивают намного эффективнее) и падает как $1/E^2$ (быстрые частицы труднее отклонить). А вот самый знаменитый множитель это $1/\sin^4(\theta/2)$. Он отвечает за резкий, обвальный спад сечения с ростом угла.

Рассчитать для своей задачи

Цифры впечатляют: при переходе от $30^\circ$ к $150^\circ$ сечение падает примерно в 194 раза. Большая часть частиц рассеивается на малые углы и проходит фольгу почти прямо, а отскоки назад единичны как и наблюдал Резерфорд. Калькулятор выше считает это сечение в нормированных единицах: за единицу принят масштаб $(k/4E)^2$, чтобы на графике был виден сам ход $1/\sin^4(\theta/2)$ и влияние $E$ и $Z$, без перевода в абсолютные барны.

Наименьшее расстояние сближения

Отдельный практический вопрос как близко альфа-частица подходит к ядру. Самый показательный случай лобовое столкновение, когда $b = 0$ и частица летит точно на ядро. Тогда вся кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию кулоновского отталкивания, и в точке остановки $r_\text{min}$ выполняется

$E = \frac{Zze^2}{4\pi\varepsilon_0\,r_\text{min}}, \qquad r_\text{min} = \frac{k}{E}.$

Для альфа-частиц с энергией в несколько мегаэлектронвольт это расстояние получается порядка десятков фемтометров заметно больше радиуса самого ядра, поэтому ядерные силы в опыте Резерфорда ещё не включаются и работает чистая кулоновская картина. Для рассеяния под произвольным углом наименьшее сближение чуть больше, чем при лобовом ударе, и его удобно выразить через прицельный параметр и угол. Этот же расчёт лежит в основе оценок верхней границы радиуса ядра: пока кулоновская формула выполняется, ядро не больше $r_\text{min}$.

Постер сверху: пучок траекторий

Если запустить целый пучок альфа-частиц с разными прицельными параметрами, получится семейство гипербол, изображённое на обложке статьи. Частицы с большим $b$ проходят далеко от ядра и едва отклоняются, образуя почти прямые линии. Частица с малым $b$ (золотая на схеме) проходит вплотную и круто меняет направление. Так одна картинка собирает всю физику: ядро в центре, поток налетающих частиц и веер исходящих траекторий, плотность которых под малыми углами велика, а под большими ничтожна.

Применимость и границы модели

Классический вывод Резерфорда удивительно точен, но у него есть рамки. Во-первых, ядро считается точечным и бесконечно тяжёлым. Если масса ядра конечна, в формулу входит приведённая масса и угол в системе центра масс. Во-вторых, при очень больших энергиях или очень малых прицельных параметрах альфа-частица подлетает к ядру настолько близко, что начинают действовать ядерные силы тогда наблюдаемое сечение отклоняется от резерфордовского, и по этому отклонению как раз и оценивают радиус ядра.

Наконец, при малых углах рассеяния вступает экранировка: электронная оболочка частично гасит заряд ядра, и сечение перестаёт расти до бесконечности при $\theta \to 0$. Поэтому формула хорошо работает в широком, но не безграничном диапазоне углов. Любопытно, что квантовое сечение для кулоновского потенциала совпадает с классическим это редкий случай, когда классика и квантовая механика дают один ответ.

На практике формулу проверяют так: измеряют число частиц, попавших в детектор под несколькими углами, и строят зависимость от $1/\sin^4(\theta/2)$. Если точки ложатся на прямую, рассеяние резерфордовское и поле чисто кулоновское. Отклонение от прямой при больших углах сигнал, что частица подошла к ядру вплотную и почувствовала ядерные силы. Так из простого углового распределения извлекают информацию о размере и структуре ядра, и именно поэтому рассеяние Резерфорда осталось рабочим инструментом ядерной физики спустя век после самого опыта.

Частые ошибки

• Путают полное сечение и дифференциальное. Формула Резерфорда даёт именно $d\sigma/d\Omega$ на единицу телесного угла; полное сечение интегрированием расходится из-за множителя $1/\sin^4(\theta/2)$ при $\theta \to 0$.
• Берут угол вместо его половины. В знаменателе стоит $\sin^4(\theta/2)$, а не $\sin^4\theta$. Это типичная потеря множителя в два раза в показателе.
• Забывают про заряд частицы $z$. Для альфа-частицы $z = 2$, и в множитель входит произведение $Zz$, а не один заряд ядра.
• Считают, что быстрые частицы рассеиваются сильнее. Наоборот: сечение падает как $1/E^2$, и чем выше энергия, тем меньше отклонение под фиксированным углом.

FAQ

Почему сечение зависит именно от $\sin^4(\theta/2)$, а не от $\theta$ напрямую? Степень четыре возникает при подстановке $b(\theta) \sim \mathrm{ctg}(\theta/2)$ в выражение $d\sigma = 2\pi b\,db$: производная котангенса даёт $1/\sin^2(\theta/2)$, а сам котангенс ещё один множитель, и в сумме после деления на $\sin\theta\,d\theta$ получается четвёртая степень полуугла.

Как из опыта Резерфорда следует существование ядра? Большие углы рассеяния возможны только при очень близком пролёте, то есть при сильном концентрированном поле. Равномерно размазанный по атому заряд (модель Томсона) такого поля создать не может частица отскочила бы лишь чуть-чуть. Раз отскоки назад наблюдались, заряд собран в малом ядре.

Чем альфа-частица отличается в этой задаче от электрона? Альфа-частица положительна и тяжела, она отталкивается ядром по гиперболе и хорошо описывается классикой. Лёгкий электрон испытывает притяжение и сильнее проявляет волновые свойства; для него удобнее язык длины волны де Бройля и дифракции.

Коротко

Формула Резерфорда $d\sigma/d\Omega = (Zze^2/16\pi\varepsilon_0 E)^2 \cdot 1/\sin^4(\theta/2)$ описывает рассеяние альфа-частиц на ядре кулоновским полем. Прицельный параметр связан с углом как $b = (k/2E)\,\mathrm{ctg}(\theta/2)$: чем ближе пролёт, тем больше отклонение. Сечение резко спадает с углом как $1/\sin^4(\theta/2)$ и растёт как $Z^2$, поэтому редкие отскоки назад на тяжёлых ядрах и доказали существование атомного ядра. Подставьте свои значения энергии, угла и заряда ядра в калькулятор, чтобы увидеть, как меняются сечение и прицельный параметр.