Предельный продукт труда: MPL и правило найма фирмы

Вопрос «сколько работников нанять» фирма решает не по штатному расписанию и не по объёму заказов, а по одному числу: сколько добавит к выпуску следующий человек. Это число и называется предельным продуктом труда. Вокруг него собрана вся микроэкономика спроса на труд: закон убывающей отдачи, правило найма, кривая спроса фирмы на рабочую силу и даже условие, при котором цех выгоднее остановить. Ниже разобраны формулы и числовой пример, а калькулятор сразу показывает, как занятость меняется от ставки и цены продукции.

Что такое предельный продукт труда

Предельный продукт труда $MPL$ (marginal product of labour) - прирост выпуска, который даёт дополнительная единица труда при неизменных остальных ресурсах. В дискретном виде это разностное отношение

$MPL = \frac{\Delta Q}{\Delta L},$

а если выпуск задан гладкой функцией - производная общего продукта по труду: $MPL = dQ/dL$. Ключевое условие спрятано в словах «при неизменных остальных ресурсах»: речь о кратком периоде, когда оборудование, площади и технология фиксированы, а меняется только численность.

Возьмём рабочую модель, к которой привязаны все числа статьи и калькулятора: цех с фиксированным парком станков выпускает

$Q(L) = 6L^2 - 0{,}25L^3$

изделий в месяц, где $L$ - число рабочих. Тогда

$MPL(L) = \frac{dQ}{dL} = 12L - 0{,}75L^2.$

Геометрически предельный продукт - это наклон касательной к кривой общего продукта. Пока касательная становится круче, каждый следующий работник добавляет больше предыдущего; в точке перегиба наклон максимален; у вершины общего продукта касательная горизонтальна, и предельный продукт обращается в ноль.

Единицу труда выбирают по условию задачи: это может быть работник, человеко-час или человеко-день. Важно лишь, чтобы период выпуска, период ставки и период предельного продукта совпадали. Если выпуск считают за месяц, а ставку берут часовую, правило найма даст ответ, отличающийся в сотни раз. В расчётах ниже единица труда - один рабочий, а все денежные величины отнесены к месяцу.

Рассчитать для своей задачи

Предельный и средний продукт: чем они отличаются

Средний продукт труда $APL$ - это выработка на одного занятого:

$APL(L) = \frac{Q}{L} = 6L - 0{,}25L^2.$

Разница принципиальная. Средний продукт отвечает на вопрос «сколько в среднем даёт один работник», предельный - «сколько даст ещё один». При четырнадцати рабочих $APL = 35$ изделий, а $MPL = 21$: средняя выработка почти вдвое выше вклада последнего человека, и ориентироваться на неё при решении о найме нельзя.

Связь двух показателей чисто арифметическая, как со средним баллом: пока новая оценка выше среднего, средний растёт; как только ниже - падает. Поэтому кривая $MPL$ пересекает кривую $APL$ строго в максимуме среднего продукта.

У этого правила есть наглядное геометрическое прочтение. На кривой общего продукта средний продукт - наклон луча, проведённого из начала координат в точку кривой, а предельный - наклон касательной в той же точке. Луч становится круче, пока касательная круче его; в момент, когда луч касается кривой, оба наклона совпадают, и средний продукт достигает максимума.

Рассчитать для своей задачи

В нашей модели максимум среднего продукта приходится на $L = 12$, где $MPL = APL = 36$ изделий. Это не совпадение, а следствие условия $dAPL/dL = 0$, которое равносильно равенству $MPL = APL$.

Закон убывающей отдачи и три стадии производства

Убывание предельного продукта - не проявление усталости или лени. Причина в фиксированном капитале: чем больше рабочих приходится на тот же парк станков, тем меньше оборудования достаётся каждому. Сначала разделение труда перевешивает, и отдача растёт (у нас - до восьми рабочих), затем начинает действовать закон убывающей отдачи.

Учебники делят краткосрочное производство на три стадии. Первая - до максимума среднего продукта ($L < 12$): предельный продукт ещё выше среднего, наращивать занятость однозначно выгодно. Вторая - от максимума $APL$ до нуля $MPL$ ($12 \le L \le 16$): и предельный, и средний продукт убывают, но выпуск растёт. Третья - после $L = 16$: предельный продукт отрицателен, лишние рабочие мешают друг другу и выпуск падает. Рациональная фирма всегда работает на второй стадии.

Числа модели показывают темп убывания: при восьми рабочих предельный продукт равен 48 изделиям, при двенадцати - 36, при четырнадцати - 21, а при шестнадцати обнуляется. Выпуск при этом продолжает расти до 512 изделий, просто всё медленнее. Именно поэтому максимум общего продукта и оптимум найма - разные точки: наращивать выпуск ради выпуска бессмысленно, если прибавка уже не окупает ставку.

Денежный предельный продукт MRPL

Выпуск в штуках не сравнить со ставкой в рублях, поэтому предельный продукт переводят в деньги. Денежный предельный продукт труда - это прирост выручки от дополнительного работника:

$MRPL = \frac{\Delta TR}{\Delta L} = MR \cdot MPL.$

Если фирма продаёт продукцию на конкурентном рынке и цена от её выпуска не зависит, то предельная выручка равна цене, $MR = P$, и формула упрощается до $MRPL = P \cdot MPL$. При цене изделия 3000 руб. и четырнадцати рабочих получаем $MRPL = 3000 \cdot 21 = 63\,000$ руб. в месяц.

У фирмы с рыночной властью цена падает с ростом выпуска, поэтому $MR < P$ и денежный предельный продукт ниже при том же физическом $MPL$. Отсюда общее правило: монополист на рынке благ нанимает меньше труда, чем конкурентная фирма с той же технологией.

Правило найма: MRPL равен ставке

Прибыль фирмы по переменному ресурсу равна $\pi(L) = P \cdot Q(L) - wL - FC$. Приравняв производную к нулю, получаем условие первого порядка

$P \cdot MPL = w \quad \Longleftrightarrow \quad MRPL = w.$

Смысл прозрачен: пока очередной работник приносит выручки больше, чем стоит, его берут; как только меньше - нет. Подставим числа: $w = 63$ тыс. руб. в месяц, $P = 3000$ руб., значит $MPL = w/P = 21$ изделие, и

$12L - 0{,}75L^2 = 21 \ \Longrightarrow\ L^2 - 16L + 28 = 0 \ \Longrightarrow\ L_1 = 2,\ L_2 = 14.$

Корней два, и берут больший: только на убывающей ветви $MPL$ выполнено условие второго порядка (при $L = 2$ отдача ещё растёт, и остановка там дала бы минимум прибыли, а не максимум). Итого 14 рабочих, выпуск $Q(14) = 490$ изделий, выручка 1,47 млн руб., фонд оплаты труда 882 тыс. руб.; разница 588 тыс. руб. идёт на покрытие постоянных затрат и экономической прибыли.

Полезно проверить чувствительность ответа. Если ставка вырастет до 84 тыс. руб., условие даёт $MPL = 28$ изделий и занятость около 13,2 человека, то есть фирма сократит штат примерно на одного рабочего. Если, наоборот, подорожает продукция, при той же ставке потребуется меньший физический предельный продукт, и занятость увеличится. Оба сдвига видно в калькуляторе выше: точка пересечения едет по той же кривой, а сама кривая никуда не девается.

Рассчитать для своей задачи

Дискретная проверка по таблице даёт тот же ответ, но числа немного расходятся с производной: $\Delta Q$ четырнадцатого работника равно 25,25 изделия против 21 у $MPL(14)$. Так и должно быть - разностное отношение усредняет производную по всему шагу.

Кривая спроса фирмы на труд

Правило $MRPL = w$ работает при любой ставке, и это превращает его в готовую кривую спроса. Подставляя разные $w$, мы каждый раз получаем точку на убывающей ветви $MRPL$: чем ниже ставка, тем больше занятость. Значит, убывающий участок кривой денежного предельного продукта и есть кривая индивидуального спроса фирмы на труд.

Рассчитать для своей задачи

У кривой есть нижняя граница по вертикали. Работать вообще имеет смысл, только если выручка покрывает фонд оплаты труда, то есть $w \le P \cdot APL_{max}$. В нашей модели это 108 тыс. руб. в месяц: при более высокой ставке фирма в кратком периоде останавливает выпуск, и спрос на труд обрывается. Сдвигают кривую два фактора: цена продукции (спрос на труд производный от спроса на благо) и запас капитала, от которого зависит сама функция $MPL$. Межфирменные и межотраслевые различия в этих сдвигах - одна из причин дифференциации заработной платы. Сложение индивидуальных кривых по всем нанимателям даёт рыночный спрос на труд, который вместе с предложением задаёт равновесную ставку и занятость. Если же наниматель на рынке фактически один, правило найма меняется целиком - это случай монопсонии.

Частые ошибки

• Считают средний продукт вместо предельного: делят весь выпуск на численность и сравнивают со ставкой. Решение о найме принимается по приросту, а не по средней выработке.
• Ищут максимум $MPL$ и останавливаются там. Максимум предельного продукта (у нас $L = 8$) - это точка перегиба общего продукта, а не оптимум найма.
• Берут меньший корень уравнения $MRPL = w$. На возрастающей ветви предельного продукта условие второго порядка нарушено, и прибыль там минимальна.
• Применяют $MRPL = P \cdot MPL$ к фирме с рыночной властью. Если цена зависит от выпуска, нужен $MR$, а он меньше $P$.
• Забывают проверить $w \le P \cdot APL_{max}$. Формальное решение уравнения может существовать и тогда, когда фирме выгоднее не работать совсем.

FAQ

Чем предельный продукт труда отличается от предельного дохода? Предельный доход $MR$ - прирост выручки на дополнительную единицу продукции, а $MRPL$ - прирост выручки на дополнительную единицу труда. Связь между ними как раз через предельный продукт: $MRPL = MR \cdot MPL$.

Почему предельный продукт труда убывает? Из-за фиксированного капитала в кратком периоде: станков, площадей и оснастки на каждого нового работника достаётся всё меньше. Как только капитал можно нарастить, действует уже эффект масштаба, а не убывающая отдача.

Может ли предельный продукт быть отрицательным? Да, на третьей стадии производства: при $L > 16$ в нашей модели дополнительный работник мешает остальным и общий выпуск падает. Нанимать в этой зоне не стал бы никто даже при нулевой ставке.

Коротко

Предельный продукт труда - прирост выпуска от дополнительного работника, то есть производная общего продукта: $MPL = 12L - 0{,}75L^2$ для функции $Q = 6L^2 - 0{,}25L^3$. Он пересекает средний продукт в его максимуме ($L = 12$, 36 изделий), достигает пика при $L = 8$ и обнуляется при $L = 16$. Умножение на предельную выручку даёт денежный предельный продукт $MRPL$, а правило найма $MRPL = w$ определяет занятость: при цене 3000 руб. и ставке 63 тыс. руб. в месяц оптимум равен 14 рабочим. Убывающая ветвь $MRPL$ ниже уровня $P \cdot APL_{max}$ и есть кривая спроса фирмы на труд.