Неопределённый интеграл: методы и как выбрать

Производную любой элементарной функции можно взять по алгоритму: правила суммы, произведения и цепочки закрывают все случаи. С интегрированием так не выходит. Неопределённый интеграл не вычисляют, а подбирают: методов всего пять, но какой из них сработает, решает не тема семестра, а внешний вид подынтегрального выражения. Дальше разобран каждый метод и тот признак, по которому его опознают за несколько секунд. Калькулятор ниже работает в ту же сторону: выбираете вид выражения, а он называет метод, выписывает первообразную и строит обе кривые сразу.

Пять методов и признак, по которому выбирают

Неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx$ - это целое семейство первообразных $F(x) + C$, у которых $F'(x) = f(x)$. Проверять любой ответ поэтому легко: продифференцируйте и сравните с подынтегральной функцией. А вот искать приходится перебором признаков.

Признаки проверяют сверху вниз: сначала самый дешёвый метод, потом всё более трудоёмкие. Порядок не случаен - подведение под дифференциал занимает одну строку, а разложение дроби на простейшие тянет за собой систему уравнений.

Непосредственное интегрирование: таблица и линейность

Самый простой случай: выражение уже распадается на табличные слагаемые. Работают два свойства линейности - постоянный множитель выносится за знак интеграла, а интеграл суммы равен сумме интегралов:

$\int (3x^2 + 6x - 2)\,dx = 3\cdot\frac{x^3}{3} + 6\cdot\frac{x^2}{2} - 2x + C = x^3 + 3x^2 - 2x + C.$

Опора здесь - степенная формула $\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n + 1} + C$, верная при любом $n \ne -1$. Отдельный случай $n = -1$ даёт логарифм: $\int \dfrac{dx}{x} = \ln|x| + C$, и модуль в нём обязателен, потому что первообразная нужна и на отрицательной полуоси.

Запоминать всю таблицу первообразных наизусть не нужно: она получается обращением таблицы производных, и в девяти случаях из десяти хватает степени, экспоненты, синуса с косинусом, $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ и двух дробей, дающих арктангенс и арксинус. Всё остальное сводят к этим строкам оставшимися четырьмя методами.

Главная ловушка метода в том, что линейность распространяется только на сумму. Для произведения и частного никаких аналогов нет: $\int f g\,dx$ не равен произведению интегралов, и именно поэтому все остальные четыре метода вообще существуют.

Подведение под знак дифференциала

Если рядом с составной функцией стоит производная её внутренней части, интеграл сворачивается без единой новой буквы. Приём опирается на равенство $g'(x)\,dx = d\big(g(x)\big)$. Для $\int x\,e^{-x^2}\,dx$ внутренняя функция - это $x^2$, её производная $2x$, а множитель $x$ отличается от неё только числом:

$\int x\,e^{-x^2}\,dx = \frac{1}{2}\int e^{-x^2}\,d(x^2) = -\frac{1}{2}\,e^{-x^2} + C.$

По сути это замена переменной, свёрнутая до одной строки. Именно так удобно брать интегралы вида $\int \dfrac{g'(x)}{g(x)}\,dx = \ln|g(x)| + C$, $\int \sin^3 x\cos x\,dx$ или $\int \cos(5x - 2)\,dx$: в последнем производная внутренней функции равна постоянной, и весь приём сводится к делению на неё.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание, что интегрируется именно $x\,e^{-x^2}$, а не $e^{-x^2}$ без множителя. Стоит убрать этот множитель, и первообразная перестаёт выражаться через элементарные функции - разница между «берётся в одну строку» и «не берётся вовсе» тут держится на одном сомножителе.

Замена переменной: когда подведения мало

Подведение работает, пока подынтегральное выражение уже почти табличное. Если мешает корень или скобка, новую переменную вводят явно и выражают через неё всё, включая $x$. В $\int \dfrac{x}{\sqrt{x + 4}}\,dx$ берём $t = x + 4$, откуда $x = t - 4$ и $dx = dt$:

$\int \frac{t - 4}{\sqrt{t}}\,dt = \int \left(t^{1/2} - 4t^{-1/2}\right) dt = \frac{2}{3}t^{3/2} - 8t^{1/2} + C.$

Остаётся вернуться к исходной переменной: $\dfrac{2}{3}(x + 4)\sqrt{x + 4} - 8\sqrt{x + 4} + C$. Возврат обязателен - ответ с чужой буквой $t$ считается незавершённым. Этим неопределённый интеграл отличается от определённого, где вместо возврата пересчитывают пределы: как именно, разобрано в статье про замену переменной в определённом интеграле.

Типовых замен всего несколько: линейная $t = kx + b$, степенная $t = x^n$, показательная $t = e^x$, логарифмическая $t = \ln x$ и тригонометрические подстановки для корней вида $\sqrt{a^2 - x^2}$. Выбор диктует та часть выражения, которая мешает узнать табличную форму: её и назначают новой переменной, а затем смотрят, удалось ли выразить через неё остаток вместе с $dx$.

Интегрирование по частям и сколько раз его повторяют

Формула $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ не берёт интеграл, а обменивает его на другой. Смысл в том, чтобы новый оказался проще: за $u$ берут множитель, который от дифференцирования упрощается, за $dv$ - тот, что легко интегрируется.

Для $\int x^3 e^{-x}\,dx$ выбираем $u = x^3$ и $dv = e^{-x}dx$. Каждый шаг сбивает степень многочлена на единицу, поэтому формулу придётся применить ровно три раза - столько же, какова степень:

Рассчитать для своей задачи

Ответ собирается в одну скобку: $-e^{-x}\left(x^3 + 3x^2 + 6x + 6\right) + C$. Подробный разбор каждого шага на более простом примере есть в разборе задачи как решить интеграл по частям.

Отдельный повод взять части - одиночный логарифм или обратная тригонометрическая функция. В $\int \ln x\,dx$ второго множителя будто нет, но его роль играет $dx$: положив $u = \ln x$ и $dv = dx$, получаем $x\ln x - \int dx = x\ln x - x + C$. Дифференцирование логарифма превращает его в степень, и интеграл становится табличным.

Повторяют формулу в двух ситуациях. Первая - многочлен рядом с экспонентой или синусом: степень падает шаг за шагом, и процесс конечен. Вторая - циклические интегралы вроде $\int e^{x}\sin x\,dx$: после двух применений в правой части появляется исходный интеграл, и равенство решают относительно него, как обычное уравнение. А для $\ln x$, $\arcsin x$ и $\arctg x$ хватает одного шага, только за $u$ берут саму эту функцию, а за $dv$ - оставшееся $dx$.

Рациональная дробь: разложение на простейшие

Отношение двух многочленов интегрируется всегда, но через подготовку. Сначала проверяют, правильная ли дробь: степень числителя должна быть строго меньше степени знаменателя. Если это не так, делят с остатком и получают многочлен плюс правильную дробь.

Дальше знаменатель раскладывают на множители, а дробь - на простейшие с неопределёнными коэффициентами. Для $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$ ищем $A$ и $B$ из тождества $7x - 1 = A(x + 2) + B(x - 3)$. Подстановка корней знаменателя даёт ответ сразу: при $x = 3$ получаем $20 = 5A$, при $x = -2$ получаем $-15 = -5B$, то есть $A = 4$ и $B = 3$.

Рассчитать для своей задачи

Каждая простейшая дробь табличная, поэтому ответ получается почти без усилий:

$\int \frac{7x - 1}{x^2 - x - 6}\,dx = 4\ln|x - 3| + 3\ln|x + 2| + C.$

Случай кратного корня требует по слагаемому на каждую степень, а неразложимый квадратный трёхчлен в знаменателе даёт слагаемое вида $\dfrac{Mx + N}{x^2 + px + q}$, которое распадается на логарифм и арктангенс. Отработать сам механизм поиска коэффициентов можно на разборе как разложить дробь на простейшие.

Дерево решений: в каком порядке проверять признаки

Признаки проверяют по очереди, останавливаясь на первом сработавшем. Табличное ли слагаемое? Если нет, стоит ли рядом с составной функцией производная её внутренней части? Если нет, мешает ли корень или скобка - тогда явная замена. Если выражение распадается на два разнородных множителя, нужны части. Если это дробь из многочленов, её раскладывают на простейшие.

Одно и то же выражение нередко поддаётся сразу двум методам, и ответы внешне выходят разными. Интеграл $\int \sin x\cos x\,dx$ подведением под дифференциал даёт $\tfrac{1}{2}\sin^2 x + C$, а тем же приёмом относительно косинуса - $-\tfrac{1}{2}\cos^2 x + C$. Противоречия нет: две функции отличаются на постоянную $\tfrac{1}{2}$, которая растворяется в $C$. Поэтому расхождение с ответом задачника ещё не означает ошибку - сравнивать надо производные, а не внешний вид.

Когда не сработал ни один признак, в запасе остаются универсальные подстановки: тригонометрические для корней и подстановка Вейерштрасса $t = \tg\dfrac{x}{2}$ для рациональных выражений от синуса и косинуса. Наконец, часть интегралов не берётся в элементарных функциях вообще - таковы $\int e^{-x^2}dx$, $\int \dfrac{\sin x}{x}dx$, $\int \dfrac{dx}{\ln x}$. Здесь перебор методов бесполезен, и задачу решают численно, например методом Симпсона.

Если нужен пошаговый разбор трёх коротких примеров сразу, он собран в задаче как найти неопределённый интеграл функции.

Частые ошибки

• Потерянная постоянная $C$. Неопределённый интеграл - это семейство функций, и без $+C$ ответ формально неверен.
• Линейность для произведения. Интеграл произведения не равен произведению интегралов, как и интеграл частного - частному. Именно отсюда берутся части и разложение дробей.
• Невозврат к исходной переменной. После замены ответ обязан быть записан через $x$, а не через $t$.
• Неверный выбор $u$. Если за $u$ взять экспоненту, а за $dv$ многочлен, степень вырастет и интеграл станет сложнее исходного.
• Разложение неправильной дроби. Пока степень числителя не меньше степени знаменателя, метод неопределённых коэффициентов даёт противоречивую систему: сначала деление с остатком.

FAQ

Чем подведение под знак дифференциала отличается от замены переменной? Ничем, кроме формы записи. Подведение - та же подстановка, но без введения буквы $t$: удобно, когда производная внутренней функции уже стоит рядом множителем. Как только требуется выразить $x$ через новую переменную, замену пишут явно.

Сколько раз применять формулу интегрирования по частям? Для произведения многочлена на экспоненту или тригонометрическую функцию - столько раз, какова степень многочлена: каждый шаг понижает её на единицу. Для циклических интегралов достаточно двух шагов, после чего уравнение решают относительно искомого интеграла.

Как убедиться, что первообразная найдена правильно? Продифференцировать ответ и сравнить с подынтегральной функцией. Это единственная проверка, которая работает для всех пяти методов сразу, и она не требует ни справочника, ни ответа в конце задачника. В калькуляторе выше она выполняется численно: значение подынтегральной функции сравнивается с наклоном первообразной в выбранной точке, а худшее расхождение по всему отрезку показано отдельной строкой.

Коротко

Методов взятия неопределённого интеграла пять, и выбирают их не наугад, а по виду подынтегрального выражения: табличные слагаемые берут напрямую, производная внутренней функции рядом означает подведение под дифференциал, мешающий корень - замену переменной, произведение разнородных множителей - части, дробь из многочленов - разложение на простейшие. Порядок проверки идёт от самого дешёвого приёма к самому трудоёмкому, а любой полученный ответ проверяется одним и тем же способом: дифференцированием.