Возвратные уравнения: решение через замену t = x + 1/x

Уравнение $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0$ имеет четвёртую степень, и в лоб его корни не вытащить. Но у него есть особенность: коэффициенты $2, -9, 14, -9, 2$ читаются одинаково с начала и с конца. Такие уравнения называют возвратными (или симметричными), и для них работает изящный приём: деление на $x^2$ и замена $t = x + \dfrac{1}{x}$ опускают степень с четвёртой до второй. Калькулятор ниже разберёт ваше возвратное уравнение по шагам: проверит симметрию, поделит на $x^2$, введёт замену и найдёт все вещественные корни.

Что такое возвратное уравнение

Возвратное уравнение - это алгебраическое уравнение, у которого коэффициенты, стоящие на симметричных местах от краёв, равны. Для четвёртой степени это выглядит так:

$$A x^4 + B x^3 + C x^2 + B x + A = 0, \quad A \ne 0.$$

Старший и свободный коэффициент совпадают ($A$), коэффициенты при $x^3$ и при $x$ тоже ($B$). Название «возвратное» как раз про это свойство: если выписать коэффициенты в строку, она читается одинаково в обе стороны. Слово «симметричное» подчёркивает ту же идею. Главное следствие этой симметрии - если число $x_0$ является корнем, то и обратное ему $\dfrac{1}{x_0}$ тоже корень. Корни возвратного уравнения разбиваются на пары взаимно обратных, и именно это позволяет понизить степень.

Рассчитать для своей задачи

Почему можно делить на x в квадрате

Первый шаг решения - деление всего уравнения на $x^2$. Это законно, потому что $x = 0$ заведомо не является корнем: подставив ноль в $A x^4 + B x^3 + C x^2 + B x + A$, мы получим свободный член $A$, а он по условию не равен нулю. Значит, ни один корень не теряется, и делить на $x^2$ безопасно.

После деления уравнение принимает вид:

$$A x^2 + B x + C + \frac{B}{x} + \frac{A}{x^2} = 0.$$

Теперь сгруппируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами - крайние с $A$ и соседние с $B$:

$$A\left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right) + B\left(x + \frac{1}{x}\right) + C = 0.$$

Симметрия коэффициентов сработала: после группировки появились ровно два блока - $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ и $x + \dfrac{1}{x}$. Оба выражаются через одну новую переменную.

Замена t = x + 1/x - ядро метода

Обозначим $t = x + \dfrac{1}{x}$. Ключевое тождество связывает второй блок с квадратом первого:

$$t^2 = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}, \quad\text{откуда}\quad x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2.$$

Подставив это в сгруппированное уравнение, получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$$A(t^2 - 2) + B t + C = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A t^2 + B t + (C - 2A) = 0.$$

Четвёртая степень исчезла. Это обычное квадратное уравнение: считаем дискриминант, находим $t_1$ и $t_2$. Тот же принцип «обозначь повторяющийся блок и сведи к квадратному» лежит в основе целого семейства приёмов - подробнее в обзоре уравнений, сводящихся к квадратным заменой.

Обратная замена - возврат к x

Найденные значения $t$ - это ещё не ответ. Для каждого годного $t$ нужно решить уравнение $x + \dfrac{1}{x} = t$. Умножив на $x$, приходим к квадратному:

$$x^2 - t x + 1 = 0.$$

Его дискриминант равен $t^2 - 4$. Отсюда видно правило отбора:

• если $|t| > 2$, дискриминант положителен - получаем два вещественных корня $x$;
• если $|t| = 2$, дискриминант ноль - один корень ($x = 1$ при $t = 2$ или $x = -1$ при $t = -2$);
• если $|t| < 2$, дискриминант отрицателен - для этого $t$ вещественных корней нет, его отбрасываем.

Заметьте: свободный член в $x^2 - tx + 1 = 0$ равен единице, поэтому по теореме Виета произведение корней равно $1$ - это и есть та самая пара взаимно обратных $x_1 \cdot x_2 = 1$. Симметрия исходного уравнения проявилась явно. Связь симметрии и теоремы Виета для приведённого уравнения здесь работает напрямую.

Рассчитать для своей задачи

Полный разбор примера

Решим $2x^4 - 9x^3 + 14x^2 - 9x + 2 = 0$. Коэффициенты $2, -9, 14, -9, 2$ симметричны, значит уравнение возвратное. Делим на $x^2$:

$$2x^2 - 9x + 14 - \frac{9}{x} + \frac{2}{x^2} = 0.$$

Группируем: $2\left(x^2 + \dfrac{1}{x^2}\right) - 9\left(x + \dfrac{1}{x}\right) + 14 = 0$. Замена $t = x + \dfrac{1}{x}$ с тождеством $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$ даёт:

$$2(t^2 - 2) - 9t + 14 = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2t^2 - 9t + 10 = 0.$$

Дискриминант $81 - 80 = 1$, корни $t_1 = \dfrac{9 + 1}{4} = 2.5$ и $t_2 = \dfrac{9 - 1}{4} = 2$. Оба удовлетворяют $|t| \ge 2$, значит оба годятся. Обратная замена:

• $t_1 = 2.5$: уравнение $x^2 - 2.5x + 1 = 0$, корни $x = 2$ и $x = 0.5$ (видно, что они взаимно обратны);
• $t_2 = 2$: уравнение $x^2 - 2x + 1 = 0$, то есть $(x - 1)^2 = 0$, корень $x = 1$ (двойной).

Ответ: $x \in \{0.5,\ 1,\ 2\}$. Пара $0.5$ и $2$ - взаимно обратная, как и обещала симметрия.

Обобщённые возвратные уравнения

Симметрия бывает не точной, а с коэффициентом. Уравнение вида

$$A x^4 + B x^3 + C x^2 + \lambda B x + \lambda^2 A = 0$$

называют обобщённым возвратным: крайние и соседние коэффициенты связаны множителем $\lambda$ (свободный член относится к старшему как $\lambda^2$, а коэффициент при $x$ к коэффициенту при $x^3$ как $\lambda$). Здесь работает та же идея, но замена другая: $t = x + \dfrac{\lambda}{x}$, и тогда $x^2 + \dfrac{\lambda^2}{x^2} = t^2 - 2\lambda$. После деления на $x^2$ и группировки снова получается квадратное уравнение относительно $t$. Классическое возвратное - частный случай при $\lambda = 1$.

Возвратные уравнения нечётной степени

У возвратного уравнения нечётной степени (например пятой) есть приятная особенность: $x = -1$ всегда является его корнем. Это легко проверить - при симметрии коэффициентов подстановка $x = -1$ обнуляет уравнение нечётной степени. Поэтому многочлен делится на $(x + 1)$ без остатка, а в частном остаётся возвратное уравнение чётной степени - его уже решают заменой $t = x + \dfrac{1}{x}$. Так задача пятой степени сводится к четвёртой, а та - к квадратной. Алгоритм для нечётного случая: вынести множитель $(x + 1)$, поделить столбиком и дальше работать с возвратным уравнением меньшей чётной степени.

Алгоритм решения по шагам

Чтобы ничего не упустить, держитесь последовательности:

1. Проверьте симметрию коэффициентов: $A x^4 + B x^3 + C x^2 + B x + A$. Если уравнение обобщённое, найдите множитель $\lambda$.
2. Для нечётной степени сначала выделите корень $x = -1$ и поделите на $(x + 1)$.
3. Поделите на $x^2$ (для чётной степени) - это законно, так как $x = 0$ не корень.
4. Сгруппируйте слагаемые с равными коэффициентами и введите замену $t = x + \dfrac{1}{x}$ (или $t = x + \dfrac{\lambda}{x}$ для обобщённого).
5. Решите квадратное уравнение $A t^2 + B t + (C - 2A) = 0$ относительно $t$.
6. Отберите $t$ по условию $|t| \ge 2$ (для классического случая); остальные отбросьте.
7. Сделайте обратную замену: для каждого годного $t$ решите $x^2 - t x + 1 = 0$ и выпишите все $x$.

Частые ошибки

• Не проверяют симметрию и сразу делят на $x^2$. Метод работает только для возвратных уравнений. Если коэффициенты не симметричны (и не обобщённо-симметричны), замена $t = x + 1/x$ не сведёт уравнение к квадратному.
• Забывают условие $|t| \ge 2$. Корень $t$ из интервала $(-2, 2)$ не даёт вещественных $x$. Если механически решать $x^2 - tx + 1 = 0$ для такого $t$, получатся комплексные корни, которые в вещественный ответ включать нельзя.
• Теряют корень при $|t| = 2$. При $t = 2$ выходит ровно один корень $x = 1$ (двойной), при $t = -2$ - один корень $x = -1$. Легко по инерции написать два корня.
• Путают тождество $x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2$. Часто пишут $t^2$ или $t^2 + 2$. Вычитается именно двойка: $t^2 = x^2 + 2 + 1/x^2$.
• Для обобщённого уравнения берут замену $t = x + 1/x$. Если есть множитель $\lambda \ne 1$, нужна замена $t = x + \lambda/x$, иначе блоки не сгруппируются.

FAQ

Чем возвратное уравнение отличается от биквадратного? Биквадратное $Ax^4 + Bx^2 + C = 0$ содержит только чётные степени, и для него работает замена $t = x^2$. Возвратное содержит все степени, но его коэффициенты симметричны, поэтому замена другая - $t = x + 1/x$. Оба сводятся к квадратному, но по разной причине: биквадратное - из-за чётности степеней, возвратное - из-за симметрии коэффициентов.

Всегда ли у возвратного уравнения четвёртой степени есть вещественные корни? Нет. Если оба значения $t$ попадают в интервал $(-2, 2)$, вещественных корней не будет вовсе - все четыре корня окажутся комплексными. Знак дискриминанта квадратного уравнения по $t$ и положение корней относительно отрезка $[-2, 2]$ определяют, сколько вещественных $x$ получится: от нуля до четырёх.

Как понять, что уравнение обобщённо-возвратное? Сравните отношения симметричных коэффициентов. Если свободный член к старшему относится как $\lambda^2$, а коэффициент при $x$ к коэффициенту при $x^3$ как $\lambda$ (с одним и тем же $\lambda$), уравнение обобщённо-возвратное. Тогда используют замену $t = x + \lambda/x$. При $\lambda = 1$ это обычное возвратное уравнение.

Коротко

Возвратное (симметричное) уравнение $Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Bx + A = 0$ решают так: убеждаются, что $x = 0$ не корень, делят на $x^2$, группируют симметричные слагаемые и вводят замену $t = x + 1/x$ с тождеством $x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2$. Получается квадратное уравнение $At^2 + Bt + (C - 2A) = 0$. Из его корней оставляют те, у которых $|t| \ge 2$, и для каждого делают обратную замену $x^2 - tx + 1 = 0$. Корни идут парами взаимно обратных. Для обобщённого случая берут $t = x + \lambda/x$, для нечётной степени сначала выделяют корень $x = -1$.