Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения

Приведённое квадратное уравнение это уравнение вида $x^2 + px + q = 0$, у которого старший коэффициент равен единице. Именно для такой записи теорема Виета звучит особенно просто: сумма корней равна $-p$, а их произведение равно $q$. Эти два равенства позволяют находить корни устно, проверять уже найденные ответы и составлять уравнение по заданным корням, не прибегая к громоздкой формуле через дискриминант. Ниже разберём, как формулируется теорема Виета для приведённого уравнения, откуда берутся знаки, как ей пользоваться при подборе корней и где чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь коэффициентов и корней, покрутите калькулятор ниже: он показывает параболу, сами корни и связанные с ними сумму и произведение.

Формулировка теоремы Виета

Пусть приведённое квадратное уравнение $x^2 + px + q = 0$ имеет два корня $x_1$ и $x_2$ (возможно, совпадающих). Тогда выполняются два равенства:

$x_1 + x_2 = -p, \qquad x_1 \cdot x_2 = q.$

Словами: сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. Обратите внимание на знак: в сумме появляется минус, в произведении знак сохраняется. Эти два соотношения и составляют теорему Виета в её самой удобной форме именно потому, что старший коэффициент равен единице и его не приходится тащить в формулы.

Справедлива и обратная теорема: если два числа $x_1$ и $x_2$ в сумме дают $-p$, а в произведении дают $q$, то они и есть корни уравнения $x^2 + px + q = 0$. Именно обратная теорема превращает подбор корней в законный метод решения, а не в угадывание.

Откуда берётся формула

Проще всего вывести соотношения через разложение квадратного трёхчлена на множители. Если $x_1$ и $x_2$ корни, то

$x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2).$

Раскроем скобки в правой части:

$(x - x_1)(x - x_2) = x^2 - (x_1 + x_2)\,x + x_1 x_2.$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$ слева и справа, получаем $-(x_1 + x_2) = p$, то есть $x_1 + x_2 = -p$, и $x_1 x_2 = q$. Никакого дискриминанта здесь не понадобилось: теорема Виета следует из самой структуры приведённого уравнения. Тот же результат можно получить, сложив и перемножив корни из формулы $x_{1,2} = \dfrac{-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}}{2}$, где квадратные корни взаимно сокращаются в сумме и дают разность квадратов в произведении.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл: парабола и ось вершины

Корни уравнения $x^2 + px + q = 0$ это абсциссы точек, где парабола $y = x^2 + px + q$ пересекает ось $x$. Вершина параболы лежит на вертикальной оси симметрии $x = -\dfrac{p}{2}$. Поскольку корни расположены симметрично относительно этой оси, их полусумма равна как раз $-\dfrac{p}{2}$, откуда $x_1 + x_2 = -p$. Это и есть наглядный смысл первой формулы Виета: ось симметрии параболы всегда проходит ровно посередине между корнями.

Свободный член $q$ это значение $y$ при $x = 0$, то есть высота, на которой парабола пересекает ось $y$. Когда мы поднимаем или опускаем параболу, меняя $q$, корни сходятся к оси вершины или разбегаются от неё, и вместе с ними меняется произведение $x_1 x_2 = q$. Если поднять параболу так высоко, что она перестанет касаться оси $x$, вещественных корней не останется. Это видно по тому же графику.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке уравнение $x^2 - x - 6 = 0$: здесь $p = -1$, поэтому сумма корней равна $-p = 1$, а $q = -6$, поэтому произведение равно $-6$. Два числа с суммой $1$ и произведением $-6$ это $-2$ и $3$, что и подтверждают точки пересечения с осью.

Подбор корней по теореме Виета

Главная практическая польза теоремы для приведённого уравнения это устный подбор корней. Алгоритм короткий: нужно найти два числа, сумма которых равна $-p$, а произведение равно $q$. Удобнее начинать с произведения, потому что у целого числа $q$ обычно немного делителей.

Возьмём уравнение $x^2 - 7x + 12 = 0$. Здесь $-p = 7$ и $q = 12$. Ищем два числа с произведением $12$: пары $1$ и $12$, $2$ и $6$, $3$ и $4$. Из них сумму $7$ дают $3$ и $4$. Значит, корни уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Проверка занимает секунду: $3 + 4 = 7$, $3 \cdot 4 = 12$.

Если произведение $q$ отрицательно, корни имеют разные знаки, и больший по модулю корень совпадает по знаку с $-p$. Для уравнения $x^2 + 5x - 14 = 0$ имеем $-p = -5$ и $q = -14$; числа $-7$ и $2$ дают нужные сумму и произведение, значит корни $-7$ и $2$. Такой подбор быстрее, чем считать дискриминант, и почти не оставляет места для арифметических ошибок.

Составление уравнения по корням

Теорему Виета удобно использовать и в обратную сторону: по двум корням сразу записать приведённое уравнение. Если известны корни $x_1$ и $x_2$, то $p = -(x_1 + x_2)$, а $q = x_1 x_2$, и уравнение получается подстановкой этих значений в $x^2 + px + q = 0$.

Например, требуется составить приведённое квадратное уравнение с корнями $-3$ и $8$. Сумма корней равна $5$, поэтому $p = -5$; произведение равно $-24$, поэтому $q = -24$. Искомое уравнение это $x^2 - 5x - 24 = 0$. Этот приём постоянно встречается в задачах, где по одному известному корню и коэффициентам нужно восстановить второй корень: зная произведение $q$, второй корень находят делением, а коэффициент $p$ из суммы.

Когда теорема Виета не даёт вещественных корней

Теорема Виета формально связывает сумму и произведение с коэффициентами при любом значении дискриминанта $D = p^2 - 4q$. Но вещественные корни существуют только при $D \ge 0$. Если $D < 0$, парабола целиком лежит выше оси $x$ (при положительном старшем коэффициенте) и не пересекает её, вещественных корней нет, а равенства $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$ относятся уже к паре комплексно-сопряжённых корней. Поэтому перед подбором полезно прикинуть дискриминант или хотя бы проверить, есть ли вообще пара целых чисел с нужными суммой и произведением: если её не находится, корни либо иррациональны, либо невещественны, и подбор тут не поможет.

Частые ошибки

• Путают знак в сумме. Сумма корней равна $-p$, а не $p$. В уравнении $x^2 - 7x + 12 = 0$ коэффициент $p = -7$, поэтому сумма корней равна $+7$, а не $-7$.
• Применяют простую форму к неприведённому уравнению. Формулы $x_1 + x_2 = -p$ и $x_1 x_2 = q$ работают только при старшем коэффициенте, равном единице. Для $ax^2 + bx + c = 0$ нужно сначала разделить на $a$ или пользоваться общими формулами $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$, $x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}$.
• Забывают про знак произведения. Если $q < 0$, корни обязательно разных знаков; если $q > 0$, знаки одинаковы и определяются знаком суммы. Игнорирование этого правила удлиняет перебор.
• Подбирают корни там, где их нет. При $D < 0$ вещественных корней не существует, и попытки подобрать целую пары обречены. Сначала стоит оценить дискриминант.

FAQ

Чем приведённое уравнение отличается от обычного? Приведённым называют квадратное уравнение со старшим коэффициентом, равным единице, то есть вида $x^2 + px + q = 0$. Любое уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ можно сделать приведённым, разделив обе части на $a$. Именно для приведённой формы теорема Виета записывается короче всего: сумма корней $-p$, произведение $q$.

Работает ли теорема Виета при одном корне? Если дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень кратности два, то есть $x_1 = x_2$. Формулы Виета остаются верными: сумма $x_1 + x_2 = 2x_1 = -p$ даёт $x_1 = -\dfrac{p}{2}$, а произведение $x_1^2 = q$. Этот корень как раз совпадает с абсциссой вершины параболы.

Можно ли подобрать корни, если они дробные или иррациональные? Устный подбор по Виета удобен прежде всего для целых корней. Если целой пары с нужными суммой и произведением не находится, корни либо дробные, либо иррациональные, и тогда проще вернуться к формуле через дискриминант. Сами соотношения Виета при этом продолжают выполняться, их просто труднее использовать для устного перебора.

Коротко

Для приведённого квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$ теорема Виета даёт два равенства: сумма корней $x_1 + x_2 = -p$ и произведение $x_1 x_2 = q$. Геометрически корни симметричны относительно оси вершины $x = -\dfrac{p}{2}$, поэтому их полусумма равна $-\dfrac{p}{2}$, а свободный член задаёт их произведение. Эти формулы позволяют устно подбирать корни, проверять найденные ответы и составлять уравнение по заданным корням, помня про минус в сумме и про то, что вещественные корни существуют лишь при неотрицательном дискриминанте.