Модель Марковица: оптимальный портфель и минимум риска

Модель Марковица (mean-variance optimization) описывает, как из набора активов собрать оптимальный портфель: такой, который при заданном уровне ожидаемой доходности имеет наименьший возможный риск. Риском здесь служит дисперсия доходности портфеля, а ключевую роль играют не отдельные активы, а их взаимосвязи - ковариации. Именно учёт ковариаций объясняет, почему диверсификация снижает риск без потери доходности. Ниже разберём постановку задачи оптимизации, формулы дисперсии и весов, механику диверсификации, типичные ошибки и часто задаваемые вопросы.

Что оптимизирует модель Марковица

Гарри Марковиц в 1952 году сформулировал выбор портфеля как задачу на двух числах: ожидаемой доходности и дисперсии. Инвестор не максимизирует доходность любой ценой и не минимизирует риск любой ценой - он ищет компромисс. Формально это означает: зафиксировать целевую доходность и среди всех портфелей с такой доходностью выбрать тот, у которого дисперсия минимальна. Перебрав все уровни доходности, получаем семейство оптимальных портфелей.

Главная идея модели в том, что риск портфеля - это не средневзвешенный риск его активов. Он зависит от того, как доходности активов движутся относительно друг друга. Два рискованных актива, доходности которых растут и падают в противофазе, в портфеле частично гасят колебания друг друга. Поэтому оптимальный портфель почти никогда не состоит из одного «лучшего» актива.

Чтобы прикинуть риск и доходность конкретного набора активов с их весами и ковариациями, подставьте свои данные в калькулятор ниже.

Ожидаемая доходность и дисперсия портфеля

Пусть портфель состоит из $n$ активов с весами $w_1, \dots, w_n$, где $\sum_{i=1}^{n} w_i = 1$. Ожидаемая доходность портфеля - это взвешенное среднее ожидаемых доходностей активов:

$E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} w_i \, E(R_i)$

С доходностью всё линейно, а вот риск ведёт себя сложнее. Дисперсия доходности портфеля выражается через дисперсии активов и попарные ковариации:

$\sigma_p^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} w_i \, w_j \, \sigma_{ij}$

где $\sigma_{ij}$ - ковариация доходностей активов $i$ и $j$, причём $\sigma_{ii} = \sigma_i^2$ - это просто дисперсия актива $i$. Для двух активов формула разворачивается в наглядный вид:

$\sigma_p^2 = w_1^2 \sigma_1^2 + w_2^2 \sigma_2^2 + 2 w_1 w_2 \, \sigma_{12}$

Последнее слагаемое и есть «эффект взаимосвязи»: чем меньше (вплоть до отрицательной) ковариация, тем сильнее снижается общий риск портфеля.

Роль ковариации и корреляции

Ковариацию удобно выразить через корреляцию: $\sigma_{ij} = \rho_{ij}\,\sigma_i\,\sigma_j$, где $\rho_{ij}$ - коэффициент корреляции в диапазоне от $-1$ до $1$. Тогда для двух активов риск портфеля зависит от $\rho_{12}$ напрямую:

• при $\rho_{12} = 1$ активы движутся синхронно, риск складывается линейно - диверсификация не работает;
• при $\rho_{12} = 0$ активы независимы, перекрёстное слагаемое исчезает, риск уже ниже взвешенного среднего;
• при $\rho_{12} = -1$ активы в полной противофазе, и можно подобрать веса так, что дисперсия портфеля обратится в ноль.

На практике корреляции между реальными активами почти всегда меньше единицы, поэтому объединение их в портфель неизбежно снижает суммарный риск. Это математическая основа всей модели Марковица: ковариационная матрица $\Sigma$ содержит всю информацию о рисках и их взаимосвязях.

Задача минимизации дисперсии

Формально оптимальный портфель - это решение задачи квадратичного программирования. Для заданной целевой доходности $\mu^{*}$ ищем веса, минимизирующие дисперсию:

$\min_{w} \; \sigma_p^2 = w^\top \Sigma \, w$

при ограничениях

$w^\top \mu = \mu^{*}, \qquad w^\top \mathbf{1} = 1$

Первое ограничение фиксирует требуемую доходность, второе требует, чтобы веса в сумме давали единицу (весь капитал распределён). Если разрешены короткие позиции, веса могут быть отрицательными; если нет - добавляют условие $w_i \ge 0$.

Задачу решают методом множителей Лагранжа. Составляется функция Лагранжа с двумя множителями для двух ограничений, берутся частные производные по весам и приравниваются к нулю. Это даёт систему линейных уравнений, аналитическое решение которой выражается через обратную ковариационную матрицу $\Sigma^{-1}$. Меняя $\mu^{*}$, получаем разные оптимальные портфели - их множество и образует эффективную границу портфеля Марковица.

Портфель минимальной дисперсии

Особый случай - глобальный портфель минимальной дисперсии (GMV), у которого риск наименьший из всех возможных, без всякого условия на доходность. Здесь остаётся только ограничение $w^\top \mathbf{1} = 1$, и решение записывается компактно:

$w_{GMV} = \frac{\Sigma^{-1}\,\mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \Sigma^{-1}\,\mathbf{1}}$

где $\mathbf{1}$ - вектор из единиц. Этот портфель - крайняя левая точка эффективной границы. Любой портфель с меньшим риском физически недостижим при данном наборе активов. GMV полезен как ориентир: он не требует оценки ожидаемых доходностей (которые оцениваются хуже всего), а опирается только на ковариационную матрицу.

Диверсификация как следствие модели

Диверсификация в модели Марковица - не лозунг, а количественный эффект. Рассмотрим $n$ активов с одинаковой дисперсией $\sigma^2$ и одинаковой попарной ковариацией $c$, вложив в каждый поровну ($w_i = 1/n$). Дисперсия портфеля тогда равна:

$\sigma_p^2 = \frac{\sigma^2}{n} + \frac{n-1}{n}\,c$

При росте $n$ первое слагаемое - специфический (несистематический) риск - стремится к нулю, а второе сходится к средней ковариации $c$. То есть диверсификацией можно устранить только идиосинкразический риск отдельных активов; общий рыночный риск, заключённый в ковариациях, остаётся. Эта граница диверсификации напрямую связана с разделением риска на систематический и специфический в модели CAPM и оценке через бету, а сравнить эффективность разных портфелей по доходности на единицу риска помогает коэффициент Шарпа.

Допущения модели

Модель Марковица опирается на ряд предпосылок, важных для корректной интерпретации:

• инвестор оценивает портфель только по двум параметрам - ожидаемой доходности и дисперсии (mean-variance критерий);
• доходности активов имеют известное распределение, а их моменты (средние, дисперсии, ковариации) можно оценить по историческим данным;
• инвестор рационален и не склонен к риску: при равной доходности выбирает меньший риск;
• рынок без транзакционных издержек и налогов, активы бесконечно делимы.

Эти допущения объясняют и слабые места модели: она крайне чувствительна к точности оценки входных параметров, особенно ожидаемых доходностей.

Частые ошибки

• Считать риск портфеля средневзвешенным риском активов. Это игнорирует ковариации - главную часть модели. Правильно суммировать $w_i w_j \sigma_{ij}$ по всем парам, включая перекрёстные члены.
• Забывать удвоить перекрёстное слагаемое. В формуле для двух активов стоит $2 w_1 w_2 \sigma_{12}$, а не $w_1 w_2 \sigma_{12}$: ковариация входит дважды (как $\sigma_{12}$ и $\sigma_{21}$).
• Путать корреляцию и ковариацию. В формулу дисперсии входит ковариация $\sigma_{ij}$; если известна корреляция $\rho_{ij}$, её нужно умножить на $\sigma_i\,\sigma_j$.
• Оценивать ожидаемые доходности по короткой истории. Оценки $E(R_i)$ крайне неустойчивы, и оптимизатор сильно реагирует на их шум, выдавая экстремальные веса. GMV-портфель частично обходит проблему, опираясь только на $\Sigma$.
• Игнорировать ограничение $\sum w_i = 1$. Без него задача теряет смысл: веса должны распределять весь капитал.

FAQ

Чем модель Марковица отличается от CAPM? Модель Марковица - это инструмент построения оптимального портфеля из произвольного набора активов через минимизацию дисперсии. CAPM - равновесная модель, которая выводит из этой логики цену систематического риска (бету) для отдельного актива. Марковиц отвечает на вопрос «как составить портфель», CAPM - «какую доходность требовать от актива».

Зачем нужна ковариационная матрица, если есть дисперсии активов? Дисперсии описывают риск активов по отдельности, но риск портфеля определяется ещё и тем, как активы движутся вместе. Без ковариаций нельзя посчитать $\sigma_p^2$ и нельзя объяснить эффект диверсификации.

Может ли дисперсия портфеля быть меньше дисперсии каждого актива? Да - это и есть суть диверсификации. Если корреляция между активами меньше единицы, существует комбинация весов, при которой риск портфеля ниже, чем у любого из входящих в него активов.

Коротко

Модель Марковица сводит выбор портфеля к задаче минимизации дисперсии $w^\top \Sigma w$ при заданной доходности и условии $\sum w_i = 1$. Решение опирается на ковариационную матрицу: именно взаимосвязи активов, а не их индивидуальные риски, определяют итоговую волатильность портфеля. Отсюда следует и количественная природа диверсификации - снизить можно специфический риск, но не систематический, заключённый в ковариациях.