Капиллярные явления: закон Жюрена и решение задач

Капиллярные явления - это подъём или опускание жидкости в узких трубках, порах и щелях под действием сил поверхностного натяжения. Вода сама забирается по стеклянной трубке на несколько сантиметров вверх, а ртуть в такой же трубке, наоборот, проваливается ниже общего уровня. Оба эффекта описываются одной формулой, и вся сложность типовой задачи сводится к тому, чтобы правильно перевести данные в СИ и не потерять знак косинуса краевого угла. Ниже разберём механизм, выведем закон Жюрена и посчитаем несколько характерных примеров, а калькулятор сразу под текстом покажет, как высота столба меняется с радиусом трубки и углом смачивания.

Что такое капиллярные явления

Капилляром физика называет не любую трубку, а достаточно узкую: такую, где искривление поверхности жидкости заметно влияет на давление под ней. В широком сосуде поверхность воды почти плоская, и поверхностное натяжение никуда её не двигает. Стоит сузить канал до долей миллиметра, как поверхность превращается в отчётливый вогнутый или выпуклый мениск, и жидкость приходит в движение.

Капиллярные явления охватывают три группы эффектов:

• капиллярный подъём - уровень смачивающей жидкости в трубке выше, чем в широком сосуде (вода в стекле, спирт, керосин);
• капиллярное опускание (депрессия) - уровень несмачивающей жидкости ниже (ртуть в стекле, вода в парафинированной трубке);
• капиллярное впитывание - та же физика в пористых телах, где роль трубок играют поры: почва, кирпич, бумага, ткань, губка.

Направление эффекта задаёт смачивание, а величину - коэффициент поверхностного натяжения $\sigma$ и радиус канала.

Мениск и давление Лапласа: откуда берётся сила

Рассчитать для своей задачи

Ключ к капиллярным явлениям - искривлённая поверхность. Под изогнутой поверхностью давление отличается от давления над ней на величину, которую даёт формула Лапласа:

$\Delta p = \frac{2\sigma}{R},$

где $R$ - радиус кривизны сферического мениска. Если жидкость смачивает стенки, мениск вогнутый, и давление под ним меньше атмосферного: недостающее давление и подтягивает столб вверх. У несмачивающей жидкости мениск выпуклый, давление под ним больше, и жидкость выдавливается вниз.

Радиус мениска связан с радиусом трубки через краевой угол $\theta$:

$R = \frac{r}{\cos\theta},$

поэтому скачок давления под мениском в капилляре радиуса $r$ равен

$\Delta p = \frac{2\sigma\cos\theta}{r}.$

Подробнее про сам угол и уравнение Юнга, из которого он получается, разобрано в статье про смачивание и краевой угол, а происхождение самой величины $\sigma$ - в разборе поверхностного натяжения жидкости.

Закон Жюрена: формула капиллярного подъёма

Рассчитать для своей задачи

Столб поднимается не бесконечно: растущий вес жидкости создаёт гидростатическое давление $\rho g h$, и подъём прекращается, когда оно сравняется со скачком давления под мениском. Приравняв $\rho g h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{r}$, получаем закон Жюрена:

$h = \frac{2\sigma\cos\theta}{\rho g r}.$

Здесь $h$ - высота подъёма (м), $\sigma$ - коэффициент поверхностного натяжения (Н/м), $\theta$ - краевой угол, $\rho$ - плотность жидкости (кг/м³), $g = 9{,}8$ м/с², $r$ - радиус канала (м).

Три следствия читаются прямо из формулы:

1. Высота обратно пропорциональна радиусу: сузили трубку вдвое - столб вырос вдвое. Именно поэтому в порах диаметром в микроны вода поднимается на метры.
2. Высота пропорциональна $\sigma$: у ртути натяжение почти в семь раз больше, чем у воды, но огромная плотность это перевешивает.
3. Знак высоты повторяет знак $\cos\theta$.

Для щели между двумя параллельными пластинами, отстоящими на расстояние $d$, вместо радиуса в знаменателе стоит сам зазор: $h = \dfrac{2\sigma\cos\theta}{\rho g d}$ - мениск там цилиндрический, а не сферический.

Подъём или опускание: что решает краевой угол

При $\theta < 90^\circ$ косинус положителен, жидкость смачивает стенки, мениск вогнутый и $h > 0$ - капиллярный подъём. При $\theta > 90^\circ$ косинус отрицателен, и формула честно выдаёт отрицательную высоту: это капиллярная депрессия, уровень в трубке ниже, чем в сосуде. Случай $\theta = 90^\circ$ даёт $h = 0$: поверхность плоская, капиллярного эффекта нет.

Посчитаем оба крайних случая для трубки радиусом $r = 0{,}5$ мм. Вода в чистом стекле смачивает полностью, $\theta \approx 0$, $\sigma = 0{,}073$ Н/м, $\rho = 1000$ кг/м³:

$h = \frac{2 \cdot 0{,}073 \cdot 1}{1000 \cdot 9{,}8 \cdot 5 \cdot 10^{-4}} \approx 0{,}0298\ \text{м} \approx 30\ \text{мм}.$

Ртуть в том же капилляре: $\sigma = 0{,}49$ Н/м, $\rho = 13600$ кг/м³, $\theta \approx 138^\circ$, $\cos\theta \approx -0{,}74$:

$h = \frac{2 \cdot 0{,}49 \cdot (-0{,}74)}{13600 \cdot 9{,}8 \cdot 5 \cdot 10^{-4}} \approx -0{,}011\ \text{м} = -11\ \text{мм}.$

Ртуть опустилась на 11 мм - при том, что её поверхностное натяжение в шесть с лишним раз больше, чем у воды. Как связаны угол и свойства поверхности, показано в материале про угол смачивания и гидрофобность.

Когда закон Жюрена перестаёт работать

Формула выведена в предположении, что мениск - часть сферы, то есть трубка достаточно узкая. Границу задаёт капиллярная постоянная:

$a = \sqrt{\frac{2\sigma}{\rho g}}.$

Для воды при 20 °C это $a = \sqrt{2 \cdot 0{,}073 / (1000 \cdot 9{,}8)} \approx 3{,}9$ мм. Закон Жюрена работает при $r \ll a$; в трубке радиусом в сантиметр мениск уже плоский в середине и загнут только у стенок, а высота подъёма практически нулевая. В другую сторону формула тоже не бесконечна: при радиусах порядка нанометров понятия «плотность» и «краевой угол» для нескольких слоёв молекул теряют смысл.

Ещё две поправки, о которых спрашивают на защите лабораторной: $\sigma$ падает с ростом температуры (у воды примерно на 0,15 мН/м на градус), а загрязнённое стекло или следы ПАВ меняют краевой угол и сбивают высоту столба на десятки процентов.

Разбор типовой задачи

Условие. Жидкость плотностью 800 кг/м³ при краевом угле 30° поднялась в капилляре диаметром 1 мм на высоту 12 мм. Найти коэффициент поверхностного натяжения.

Решение. Переводим в СИ: $r = d/2 = 0{,}5$ мм $= 5 \cdot 10^{-4}$ м, $h = 0{,}012$ м. Выражаем $\sigma$ из закона Жюрена:

$\sigma = \frac{h \rho g r}{2\cos\theta} = \frac{0{,}012 \cdot 800 \cdot 9{,}8 \cdot 5 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 0{,}866} \approx 0{,}027\ \text{Н/м}.$

Ответ - около 27 мН/м, что похоже на спирт или керосин. Проверка на правдоподобие обязательна: значения $\sigma$ для обычных жидкостей лежат в диапазоне 20–75 мН/м, и только у расплавов и ртути они в разы больше. Обратная задача (найти $\sigma$ по силе отрыва) разобрана в статье про коэффициент поверхностного натяжения.

Капиллярные явления в природе и технике

Рассчитать для своей задачи

• Почва. Вода поднимается по капиллярам грунта к корням; рыхление разрушает капилляры верхнего слоя и уменьшает испарение - агротехнический приём «сухого полива».
• Растения. Капиллярный подъём в сосудах ксилемы даёт лишь часть напора, основную работу делает транспирация, но без смачивания стенок подъём не начался бы вовсе.
• Строительство. Влага ползёт по порам кирпича вверх от фундамента; горизонтальная гидроизоляция - это разрыв капилляров.
• Быт и техника. Фитиль лампы и керосинки, бумажное полотенце, промокашка, тепловые трубки в ноутбуках, бумажная и тонкослойная хроматография - везде работает один и тот же закон Жюрена.

Частые ошибки

• Подставляют диаметр вместо радиуса - ответ занижается ровно вдвое.
• Забывают перевести миллиметры в метры: $\sigma$ в Н/м требует всех длин в метрах.
• Теряют знак: при $\theta > 90^\circ$ косинус отрицателен, и отрицательная высота - это не ошибка, а капиллярная депрессия.
• Считают, что чем больше $\sigma$, тем выше подъём, забывая про плотность в знаменателе: ртуть с рекордным натяжением опускается.
• Применяют закон Жюрена к широкой трубке, где мениск уже не сферический и формула не работает.

FAQ

Почему вода в капилляре поднимается, а ртуть опускается? Дело в краевом угле. Вода смачивает стекло ($\theta \approx 0$), её мениск вогнутый, давление под ним меньше атмосферного, и столб втягивается вверх. Ртуть стекло не смачивает ($\theta \approx 138^\circ$), мениск выпуклый, давление под ним больше, и уровень продавливается вниз.

Как найти высоту подъёма, если известен только диаметр трубки? Разделите диаметр на два и подставьте радиус в $h = 2\sigma\cos\theta/(\rho g r)$. Для воды в чистом стекле берите $\cos\theta = 1$, $\sigma = 0{,}073$ Н/м, $\rho = 1000$ кг/м³; в трубке диаметром 1 мм получится около 30 мм.

От чего зависит высота капиллярного подъёма? От четырёх величин: коэффициента поверхностного натяжения и косинуса краевого угла (прямая пропорциональность), плотности жидкости и радиуса канала (обратная). Температура влияет косвенно - через уменьшение $\sigma$ при нагреве.

Коротко

Капиллярные явления - следствие искривления поверхности жидкости в узком канале: вогнутый мениск понижает давление под собой и тянет столб вверх, выпуклый - повышает и продавливает вниз. Количественно всё описывает закон Жюрена $h = 2\sigma\cos\theta/(\rho g r)$: высота растёт с поверхностным натяжением и падает с радиусом и плотностью, а знак результата задаёт краевой угол. В расчётах достаточно следить за тремя вещами - радиусом вместо диаметра, метрами вместо миллиметров и знаком косинуса, - и проверять, что трубка действительно узкая по сравнению с капиллярной постоянной.