Как сложить числа в двоичной системе: разбор столбиком

Дано: два двоичных числа $1011011_2$ и $110111_2$, разрядная сетка 8 бит. Найти: их сумму в двоичной записи, перенос в каждом разряде и проверку ответа переводом в десятичную систему.

Складывают двоичные числа ровно так же, как десятичные, - столбиком справа налево, с переносом в старший разряд. Отличие одно: разряд переполняется уже на двойке, потому что цифр всего две. Ответ: $1011011_2 + 110111_2 = 10010010_2$, то есть $91 + 55 = 146$, а перенос возникает в семи разрядах подряд. Калькулятор сверху открыт ровно на этих числах: на разрядной сетке видно, где загорается перенос, а второй режим собирает ответ обратно в десятичное число.

Решение по шагам

Дано. $A = 1011011_2$, $B = 110111_2$. Найти: $A + B$ в двоичной системе.

Шаг 1. Выравниваем числа по разрядам. В первом числе семь значащих цифр, во втором шесть. Чтобы разряды не разъехались, дописываем слева незначащие нули до общей длины. Возьмём привычную сетку в один байт:

$$A = 0101\,1011_2, \qquad B = 0011\,0111_2.$$

Ведущие нули на величину не влияют, зато теперь каждый столбец столбика - это один и тот же вес $2^k$ у обоих слагаемых. Разряды нумеруются справа налево начиная с нуля: младший имеет вес $2^0 = 1$, старший в байте - вес $2^7 = 128$.

Шаг 2. Вспоминаем правило для одного разряда. В двоичной системе всего четыре варианта сложения двух цифр, и только последний даёт перенос:

Последняя строка и есть вся суть: $1 + 1 = 2$, а двойки как цифры в этой системе нет, поэтому в разряде остаётся ноль, а единица уходит наверх. Если в разряд пришёл ещё и перенос, складываются три цифры, и вариантов становится два: $1 + 1 + 1 = 11_2$ даёт единицу в разряде и единицу в перенос.

Шаг 3. Идём столбиком справа налево. В каждом разряде считаем $a_k + b_k + c_k$, где $c_k$ - перенос, пришедший из младшего разряда. Остаток от деления этой суммы на два записываем в ответ, целую часть от деления на два отправляем дальше:

Обрати внимание на четвёртый столбец: перенос не гаснет ни разу с нулевого по шестой разряд. Такая цепочка - нормальное явление, именно из-за неё сложение в процессоре нельзя выполнить строго параллельно по всем битам.

Шаг 4. Собираем ответ. Читаем шестой столбец снизу вверх, от старшего разряда к младшему: 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0. Перенос из седьмого разряда равен нулю, поэтому дописывать девятую цифру не нужно.

$$0101\,1011_2 + 0011\,0111_2 = 1001\,0010_2.$$

Ответ: $1011011_2 + 110111_2 = 10010010_2 = 146_{10}$.

Формула переноса и откуда она берётся

Правило столбика - это запись числа по степеням основания. Любое двоичное число раскладывается в сумму $\sum a_k \cdot 2^k$, и при поразрядном сложении в разряде $k$ накапливается величина $s_k = a_k + b_k + c_k$, которая может дойти до трёх. Цифра в позиционной записи обязана быть меньше основания, поэтому лишнее переезжает в соседний разряд:

$$\begin{aligned} d_k &= s_k \bmod 2, \\ c_{k+1} &= \left\lfloor \frac{s_k}{2} \right\rfloor . \end{aligned}$$

Деление на два законно, потому что единица разряда $k+1$ весит ровно вдвое больше единицы разряда $k$. В десятичной системе работает та же формула, только с десяткой: там переполнение наступает на десяти, здесь - на двойке, оттого переносы в двоичной записи встречаются заметно чаще.

Через логические операции те же две строки выглядят так: цифра ответа равна исключающему «или» трёх входов, а перенос - их мажоритарной функции, то есть единице, когда единиц среди трёх входов хотя бы две. Из этих двух функций и собран одноразрядный сумматор в железе; если нужно потренироваться на таблицах истинности отдельно, есть разбор построения таблицы истинности с тем же формализмом.

Проверка через десятичную систему

Проверять двоичную арифметику удобнее всего переводом в десятичную: там ошибку видно сразу. Раскладываем каждое слагаемое по весам разрядов, где стоят единицы:

$$\begin{aligned} 1011011_2 &= 64 + 16 + 8 + 2 + 1 = 91, \\ 110111_2 &= 32 + 16 + 4 + 2 + 1 = 55. \end{aligned}$$

Обычное десятичное сложение даёт $91 + 55 = 146$. Теперь разворачиваем полученный ответ: в числе $10010010_2$ единицы стоят в седьмом, четвёртом и первом разрядах, значит

$$10010010_2 = 128 + 16 + 2 = 146 .$$

Числа сошлись, решение верное. Второй режим калькулятора сверху показывает эту же проверку графиком: столбики - веса единичных разрядов, линия набирает итог нарастающим счётом и заканчивается на 146. Если линия пришла не туда, где ждёшь, значит потерян перенос в одном из разрядов, и искать его надо там, где столбики расходятся с ручным расчётом.

Вычитание: дополнительный код вместо занимания

Отдельное правило вычитания в двоичной системе учить не нужно: машина его и не использует. Вместо занимания из старшего разряда вычитаемое заменяют дополнительным кодом, а дальше выполняют то же самое сложение столбиком. Для нашего примера: инвертируем все биты числа $0011\,0111_2$ и прибавляем единицу, получается $1100\,1001_2 = 201$. Складываем столбиком:

$$0101\,1011_2 + 1100\,1001_2 = 1\,0010\,0100_2 .$$

Девятая цифра за пределами байта отбрасывается, остаётся $0010\,0100_2 = 36$, и это верный ответ: $91 - 55 = 36$. Почему инвертирование с прибавлением единицы работает как смена знака и как при этом ведёт себя старший бит, подробно разобрано в статье про представление отрицательных чисел в дополнительном коде - здесь важно лишь то, что схема сложения остаётся прежней.

Переполнение разрядной сетки

Пока сумма помещается в отведённые разряды, всё честно. Но разрядность в вычислениях конечна, и перенос из старшего разряда деваться некуда. Сложим два однобайтовых числа $1100\,1000_2 = 200$ и $0110\,0100_2 = 100$: истинная сумма равна 300, а в восьми разрядах помещаются значения только до $2^8 - 1 = 255$. Из седьмого разряда выходит единица, и в регистре остаётся $0010\,1100_2 = 44$, то есть $300 - 256$.

Отсюда практическое правило: перед сложением прикинь верхнюю границу ответа и сравни её с ёмкостью сетки. В калькуляторе сверху за это отвечает переключатель разрядности: на 8 битах пара 200 и 100 подсвечивается как переполнение, на 12 и 16 битах та же сумма проходит без потерь. В беззнаковой арифметике признаком служит перенос из старшего разряда, в знаковой - расхождение переноса в старший разряд и переноса из него.

Частые ошибки

• Записывают 2 в разряде. Цифры 2 в двоичной системе нет: $1 + 1$ даёт 0 и перенос, а не «двойку».
• Теряют перенос при длинной цепочке. В нашем примере он идёт через семь разрядов подряд; выписывай его отдельной строкой над столбиком, а не держи в голове.
• Не выравнивают числа по правому краю. Слагаемые разной длины дополняются нулями слева; сдвиг на один разряд меняет ответ вдвое.
• Забывают последний перенос. Если из старшего разряда вышла единица и сетка не ограничена, ответ становится на разряд длиннее, как $11_2 + 1_2 = 100_2$.
• Молча игнорируют переполнение. При фиксированной разрядности сумма берётся по модулю $2^n$, и результат 44 вместо 300 - не ошибка расчёта, а свойство сетки.
• Проверяют ответ тем же способом, каким считали. Повторный проход по столбику воспроизведёт ту же ошибку, а перевод в десятичную систему её покажет.

FAQ

Чем двоичное сложение отличается от десятичного? Только моментом переполнения разряда. Алгоритм тот же: справа налево, с переносом в старший разряд. В десятичной системе перенос появляется, когда сумма разряда дошла до десяти, в двоичной - когда до двух, поэтому переносов в двоичной записи намного больше.

Как сложить три и более двоичных числа? Последовательно: сначала первые два, потом к результату третье и так далее. Складывать три числа в одном столбике тоже можно, но тогда сумма разряда доходит до трёх с переносом, а перенос может быть равен двум, и в одном разряде его уже не записать.

Нужно ли переводить числа в десятичную систему, чтобы их сложить? Нет, и в этом весь смысл: столбик работает прямо в двоичной записи. Перевод нужен только для проверки ответа, и как раз потому, что он идёт другим путём.

Что делать, если результат не помещается в разрядную сетку? Либо расширить сетку (взять 16 разрядов вместо 8), либо принять арифметику по модулю $2^n$ и отслеживать флаг переноса. Двоичная запись сама по себе длины не ограничивает, ограничение приходит от формата хранения; тот же приём с разрядной сеткой используется в быстром возведении в степень по модулю.

Коротко

1. Выровняй слагаемые по правому краю, дописав слева нули до общей разрядности: $0101\,1011_2$ и $0011\,0111_2$.
2. Иди справа налево и в каждом разряде считай $a_k + b_k + c_k$: цифра ответа - остаток от деления на два, перенос - целая часть.
3. Помни правило разряда: $0+0=0$, $0+1=1$, $1+1=10_2$, $1+1+1=11_2$.
4. Проверь ответ переводом в десятичную систему: $91 + 55 = 146$ и $10010010_2 = 128 + 16 + 2 = 146$.
5. Ответ: $1011011_2 + 110111_2 = 10010010_2$, перенос возникает в семи разрядах, в байт результат помещается без переполнения.