Закон Малюса для поляризатора: интенсивность за анализатором

В 1809 году французский инженер Этьен Луи Малюс, наблюдая закат через кусок исландского шпата, заметил, что отражённый от окон Люксембургского дворца свет меняет яркость при вращении кристалла. Так был открыт закон, который сегодня носит его имя и описывает, как меняется интенсивность линейно поляризованного света при прохождении через поляризатор-анализатор. Закон Малюса для поляризатора - это базовое количественное соотношение всей поляризационной оптики: на нём держатся ЖК-дисплеи, фотоэластические измерения напряжений, оптические затворы и лабораторные методы определения концентрации оптически активных веществ. Разберём формулу, её вывод через проекцию амплитуды, схему двух поляроидов и типичные ошибки в задачах.

Формула закона Малюса

Если на анализатор падает линейно поляризованный свет интенсивностью $I_0$, то прошедшая интенсивность $I$ зависит от угла $\alpha$ между плоскостью поляризации света и осью пропускания анализатора:

$$I = I_0 \cos^2 \alpha$$

Здесь $I_0$ - интенсивность света, уже линейно поляризованного и падающего на анализатор, $\alpha$ - угол между направлением колебаний вектора $\vec{E}$ в падающем пучке и осью пропускания поляроида, а $I$ - то, что выходит наружу. Несколько контрольных точек:

• $\alpha = 0°$: оси совпадают, $\cos^2 0 = 1$, проходит вся интенсивность $I = I_0$.
• $\alpha = 30°$: $\cos^2 30° = 3/4$, проходит $75\%$.
• $\alpha = 45°$: $\cos^2 45° = 1/2$, проходит ровно половина.
• $\alpha = 60°$: $\cos^2 60° = 1/4$, проходит $25\%$.
• $\alpha = 90°$: оси скрещены, $\cos^2 90° = 0$, свет гасится полностью.

Главное, что отличает закон Малюса от наивной интуиции: затухание идёт по квадрату косинуса, а не по самому косинусу. Поэтому вблизи $\alpha = 90°$ интенсивность падает очень круто, а вблизи $\alpha = 0°$ - наоборот, почти не меняется. Чтобы не считать $\cos^2$ вручную для конкретного угла, удобно сразу собрать запрос с вашими числами - инструмент ниже подставит $I_0$ и $\alpha$, выдаст $I$, долю прошедшего света и пошаговый разбор.

Вывод через проекцию амплитуды

Закон Малюса выводится в одну строку, если вспомнить, что интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды поля: $I \propto E^2$. Идеальный поляроид пропускает только ту компоненту вектора $\vec{E}$, которая параллельна его оси пропускания. Если амплитуда падающего поля равна $E_0$, а угол между $\vec{E}$ и осью равен $\alpha$, то проходит лишь проекция:

$$E = E_0 \cos \alpha$$

Возводя в квадрат и переходя к интенсивностям, получаем:

$$I = I_0 \cos^2 \alpha$$

Поперечная компонента $E_0 \sin \alpha$ поглощается (в дихроичном поляроиде) или отводится в сторону (в призме Николя, призме Глана–Тейлора). Именно поэтому закон работает только для линейно поляризованного падающего света: у него есть выделенное направление колебаний, от которого и отсчитывается угол $\alpha$.

Поляризатор и анализатор: два поляроида

В реальной установке свет редко приходит уже поляризованным - обычно он естественный (неполяризованный). Тогда нужны два поляроида: первый делает свет поляризованным (его называют поляризатором), второй анализирует его состояние (анализатор).

Естественный свет - это хаотичная смесь всех направлений колебаний. При прохождении первого поляроида в среднем проходит ровно половина интенсивности, независимо от его ориентации:

$$I_1 = \frac{I_{\text{ест}}}{2}$$

Это не закон Малюса, а усреднение $\cos^2 \alpha$ по всем углам: $\langle \cos^2 \alpha \rangle = 1/2$. А вот уже на втором поляроиде (анализаторе) работает именно закон Малюса, где $\alpha$ - угол между осями двух поляроидов:

$$I_2 = I_1 \cos^2 \alpha = \frac{I_{\text{ест}}}{2} \cos^2 \alpha$$

Отсюда классический результат: два скрещённых поляроида ($\alpha = 90°$) полностью гасят естественный свет, а параллельные ($\alpha = 0°$) пропускают половину. Если между скрещёнными поляроидами вставить третий под углом $45°$, свет частично восстановится - этот «парадокс трёх поляроидов» прямо следует из последовательного применения закона Малюса.

Где это используется

• Жидкокристаллические дисплеи. Каждый пиксель - это слой жидкого кристалла между двумя скрещёнными поляроидами. Подавая напряжение, меняют ориентацию молекул, те поворачивают плоскость поляризации, и через закон Малюса регулируется яркость пикселя.
• Фотоупругость (фотоэластичность). Прозрачную модель детали помещают между скрещёнными поляроидами. Механические напряжения вызывают двулучепреломление, плоскость поляризации поворачивается, и по картине просветлений судят о распределении напряжений.
• Поляриметрия. Раствор сахара или другого оптически активного вещества вращает плоскость поляризации; угол поворота измеряют, добиваясь минимума интенсивности по закону Малюса. Подробнее - в разборе вращения плоскости поляризации сахарами.
• Регулируемые аттенюаторы. Пара поляроидов с регулируемым углом - простейший плавный ослабитель света для оптических стендов и лазерных установок.

Связь с другими поляризационными эффектами

Закон Малюса описывает только то, что происходит на анализаторе - он не объясняет, как свет стал поляризованным или почему плоскость поляризации повернулась. Эти вопросы закрывают смежные явления. Линейно поляризованный пучок можно получить отражением под углом Брюстера, а повернуть его плоскость - магнитным полем через эффект Фарадея или естественной оптической активностью среды. Во всех этих схемах анализатор на выходе работает по одному и тому же закону Малюса: измеряя $I(\alpha)$, восстанавливают и угол поворота, и степень поляризации. Поэтому формула $I = I_0 \cos^2 \alpha$ - это измерительный инструмент, общий для всей поляризационной оптики.

Учёт неидеальности и частичной поляризации

Реальный поляроид не идеален: даже при скрещённых осях он пропускает небольшую долю света. Это описывают двумя коэффициентами пропускания - $k_1$ (вдоль оси) и $k_2$ (поперёк, $k_2 \ll k_1$). Обобщённый закон Малюса тогда выглядит так:

$$I = I_0 \left( k_1 \cos^2 \alpha + k_2 \sin^2 \alpha \right)$$

Отношение $k_1/k_2$ называют коэффициентом экстинкции поляроида; у хороших призменных поляризаторов оно достигает $10^5$–$10^6$, у плёночных поляроидов - порядка $10^3$. Если же падающий свет лишь частично поляризован (степень поляризации $P < 1$), его представляют суммой полностью поляризованной и неполяризованной частей, и закон Малюса применяют только к поляризованной доле - отсюда и неполный контраст при вращении анализатора.

Частые ошибки

• Берут $\cos\alpha$ вместо $\cos^2\alpha$. Косинус относится к амплитуде поля; интенсивность - к квадрату амплитуды, поэтому в формуле именно $\cos^2\alpha$.
• Применяют закон к неполяризованному свету. На первом поляроиде естественный свет ослабляется в $2$ раза ($\langle\cos^2\rangle = 1/2$), а не по закону Малюса. Закон Малюса включается только начиная со второго поляроида.
• Путают, от чего отсчитывать угол $\alpha$. Это угол между плоскостью поляризации падающего света и осью пропускания анализатора, а не угол падения луча на поверхность.
• Считают, что скрещённые поляроиды гасят свет идеально. Из-за $k_2 \neq 0$ остаётся фоновое пропускание; полный ноль - только у идеального поляроида.
• Забывают про потерю половины на первом поляроиде при расчёте установки из двух поляроидов с естественным светом на входе.

FAQ

Чему равна интенсивность за двумя скрещёнными поляроидами? Для линейно поляризованного света на входе - нулю (идеальный случай): $\cos^2 90° = 0$. Для естественного света сначала теряется половина на первом поляроиде, а затем оставшееся гасится анализатором - итог тоже ноль у идеальных поляроидов.

Почему естественный свет на первом поляроиде слабеет ровно вдвое, а не по закону Малюса? Потому что у естественного света нет выделенного направления колебаний. Интенсивность усредняется по всем углам $\alpha$, а среднее значение $\cos^2\alpha$ по полному обороту равно $1/2$.

Работает ли закон Малюса для циркулярно поляризованного света? Напрямую нет: у циркулярно поляризованного света нет фиксированной плоскости колебаний, и при вращении анализатора интенсивность не меняется. Закон Малюса в чистом виде применим только к линейно поляризованной компоненте.

Коротко

Закон Малюса для поляризатора связывает интенсивность прошедшего света с углом между плоскостью поляризации и осью анализатора: $I = I_0 \cos^2 \alpha$. Формула выводится из проекции амплитуды $E = E_0 \cos\alpha$ и того, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды. В установке из двух поляроидов первый ослабляет естественный свет вдвое, а второй подчиняется закону Малюса; скрещённые поляроиды гасят свет, параллельные пропускают максимум. Реальные поляроиды учитывают через коэффициенты $k_1, k_2$. Это базовое соотношение лежит в основе ЖК-дисплеев, поляриметрии, фотоупругости и регулируемых ослабителей света.