Построение изображения в вогнутом зеркале: три луча

Вогнутое (собирающее) сферическое зеркало даёт изображение, которое меняется буквально на глазах: чуть подвинул предмет к зеркалу - и вместо маленькой перевёрнутой картинки получаешь крупное прямое отражение, как в косметическом зеркальце. Чтобы предсказать, где окажется изображение и каким оно будет, не нужно угадывать: достаточно провести три характеристических луча и применить формулу зеркала. Покрути ползунки в калькуляторе ниже, посмотри, как перестраивается изображение при движении предмета вдоль оси, и сверь результат с формулой.

Ключевые точки: полюс, фокус и центр кривизны

Любое построение в сферическом зеркале опирается на три точки, лежащие на главной оптической оси. Полюс $P$ - это центр отражающей поверхности, точка, где ось пересекает зеркало. Центр кривизны $C$ - центр той сферы, частью которой является зеркало; расстояние от полюса до него равно радиусу $R$. Фокус $F$ лежит ровно посередине между полюсом и центром, поэтому фокусное расстояние

$f = \frac{R}{2}.$

В фокусе собираются лучи, которые падают на зеркало параллельно главной оси. Именно через эти три точки удобно проводить характеристические лучи: их поведение при отражении известно заранее, и не приходится считать углы для каждого луча отдельно.

Три характеристических луча

Чтобы построить изображение вершины предмета (обычно его рисуют вертикальной стрелкой, стоящей на оси), достаточно любых двух из трёх лучей - третий служит проверкой. Изображение вершины - это точка, где отражённые лучи пересекаются.

• Луч, параллельный главной оси. После отражения от вогнутого зеркала он обязательно проходит через фокус $F$.
• Луч через фокус $F$. Симметрично предыдущему: упав в зеркало через фокус, после отражения он идёт параллельно главной оси.
• Луч через центр кривизны $C$. Он падает на зеркало вдоль радиуса, то есть перпендикулярно поверхности, и отражается сам в себя.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно, что для предмета, стоящего дальше центра $C$, все три отражённых луча сходятся в одной точке между $F$ и $C$. Эта точка и есть вершина изображения; основание изображения лежит на оси под ней. Построение изображения в вогнутом зеркале всегда сводится к этой процедуре - меняется только взаимное расположение предмета и точек $F$, $C$.

Формула зеркала и увеличение

Графическое построение хорошо показывает суть, но точные расстояния даёт формула зеркала:

$\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d'},$

где $d$ - расстояние от предмета до зеркала, а $d'$ - до изображения. Отсюда

$d' = \frac{1}{\dfrac{1}{f} - \dfrac{1}{d}}.$

Если $d'$ получается положительным, изображение действительное и находится перед зеркалом (там, где сходятся сами лучи). Если $d'$ отрицательное - изображение мнимое, оно лежит за зеркалом на продолжениях лучей.

Размер изображения задаёт линейное увеличение:

$\Gamma = -\frac{d'}{d}.$

Знак минус несёт смысл: при $\Gamma < 0$ изображение перевёрнутое, при $\Gamma > 0$ - прямое. Модуль $|\Gamma|$ говорит о масштабе: больше единицы - изображение увеличено, меньше - уменьшено. Эти же формулы заложены в калькулятор выше, так что любой результат построения можно проверить числом.

Как меняется изображение с положением предмета

Самое интересное в вогнутом зеркале - то, что характер изображения зависит от того, где стоит предмет относительно $F$ и $C$. Разберём по зонам, двигая предмет от далёкого положения к зеркалу.

Рассчитать для своей задачи

• Предмет за центром $C$ (то есть $d > 2f$). Изображение лежит между $F$ и $C$, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Так работает, например, вогнутое зеркало телескопа: далёкий объект даёт компактное действительное изображение.
• Предмет в центре $C$ ($d = 2f$). Изображение тоже в $C$, действительное, перевёрнутое, но того же размера, что и предмет ($\Gamma = -1$).
• Предмет между $C$ и $F$ ($f < d < 2f$). Изображение уходит за центр $C$, остаётся действительным и перевёрнутым, но становится увеличенным.
• Предмет в фокусе ($d = f$). Отражённые лучи идут параллельно и не пересекаются - изображение уходит в бесконечность. Этот режим используют в прожекторах и фарах: источник в фокусе даёт параллельный пучок.
• Предмет ближе фокуса ($d < f$). Отражённые лучи расходятся, и изображение строится только на их продолжениях за зеркалом. Оно мнимое, прямое и увеличенное - именно такое мы видим в зеркале для бритья или макияжа, поднеся к нему лицо вплотную.

Анимация выше показывает эти переходы непрерывно: золотая стрелка изображения сжимается, разворачивается, в момент перехода через фокус уходит на бесконечность и возникает заново уже с другой стороны зеркала.

Разбор на числах

Возьмём конкретное зеркало с фокусным расстоянием $f = 10$ см (радиус кривизны $R = 20$ см, значит центр $C$ стоит в 20 см от зеркала). Пусть предмет находится на расстоянии $d = 30$ см, то есть дальше центра. Подставляем в формулу:

$\frac{1}{d'} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 1}{30} = \frac{2}{30}, \qquad d' = 15\ \text{см}.$

Расстояние получилось положительным - изображение действительное, на 15 см перед зеркалом (то есть между $F$ и $C$, как и предсказывает построение). Увеличение

$\Gamma = -\frac{d'}{d} = -\frac{15}{30} = -0{,}5,$

то есть изображение перевёрнутое (знак минус) и вдвое меньше предмета. Теперь подвинем тот же предмет ближе фокуса, на $d = 6$ см: тогда $d' = 1/(1/10 - 1/6) = -15$ см. Минус означает, что изображение мнимое, за зеркалом, а $\Gamma = -(-15)/6 = +2{,}5$ - прямое и в 2,5 раза крупнее. Именно эти два режима и переключает калькулятор в начале статьи, если задать те же числа.

Действительное и мнимое изображение

Разница между действительным и мнимым изображением - не формальность, а практический критерий. Действительное изображение образовано пересечением самих отражённых лучей: его можно поймать на экран или матрицу, поэтому именно оно работает в проекционных схемах и зеркальных объективах. Мнимое изображение возникает там, где пересекаются не лучи, а их воображаемые продолжения за зеркало; на экран его не спроецировать, но глаз воспринимает его как обычную картинку, потому что в глаз попадает расходящийся пучок, как будто идущий из точки за зеркалом.

Для вогнутого зеркала граница между этими случаями - фокус. Пока предмет дальше фокуса, изображение действительное; как только предмет оказывается ближе фокуса, оно становится мнимым. У выпуклого зеркала, для сравнения, изображение всегда мнимое, прямое и уменьшенное независимо от положения предмета.

Частые ошибки

• Путают радиус и фокусное расстояние. В формулу зеркала входит именно $f = R/2$, а не радиус. Если в задаче дан радиус кривизны, его нужно сначала поделить пополам.
• Теряют знак $d'$. Отрицательное $d'$ - это не ошибка вычислений, а сигнал, что изображение мнимое. Подставлять модуль вместо знака нельзя: знак и есть ответ на вопрос о типе изображения.
• Строят луч через центр неверно. Луч через $C$ отражается строго сам в себя только потому, что радиус перпендикулярен сфере. Если провести его как-то иначе, пересечение лучей сместится.
• Забывают, что хватает двух лучей. Чтобы найти изображение, достаточно двух характеристических лучей; третий рисуют для контроля. Не обязательно тянуть все три, если построение и так однозначно.

FAQ

Сколько лучей нужно для построения изображения? Достаточно двух характеристических лучей - их пересечение даёт вершину изображения. Третий луч проводят для проверки: если он прошёл через ту же точку, построение верно.

Когда изображение в вогнутом зеркале будет прямым? Только когда предмет стоит ближе фокуса, чем фокусное расстояние ($d < f$). Тогда изображение мнимое, прямое и увеличенное. Во всех остальных положениях оно перевёрнутое.

Чем отличается изображение в вогнутом зеркале от выпуклого? Вогнутое зеркало даёт разные изображения в зависимости от положения предмета - и действительные, и мнимые. Выпуклое всегда даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение, где бы ни стоял предмет.

Коротко

Построение изображения в вогнутом зеркале держится на трёх характеристических лучах - параллельном оси, через фокус и через центр кривизны - и на формуле зеркала $1/f = 1/d + 1/d'$ с увеличением $\Gamma = -d'/d$. Тип изображения определяется положением предмета относительно фокуса $F$ и центра $C$: за фокусом оно действительное и перевёрнутое (уменьшенное за $C$, увеличенное между $C$ и $F$), а ближе фокуса - мнимое, прямое и увеличенное. Знак $d'$ сразу отвечает, действительное изображение или мнимое, а калькулятор выше позволяет проверить любой случай числом.