Формула тонкой линзы: решение задач по построению

Тонкая линза - это первая по-настоящему «инженерная» тема в школьной оптике: одна короткая формула связывает положение предмета, положение изображения и фокус, а знак результата сам подсказывает, реальное изображение получится или мнимое. Разобравшись в ней один раз, вы решаете и задачи про фотоаппарат, и про лупу, и про проектор по единому шаблону. Покрутите калькулятор ниже: задайте фокусное расстояние и расстояние до предмета и проследите, как меняется положение изображения, когда предмет проходит через фокус.

Что такое формула тонкой линзы

Тонкой называют линзу, толщина которой пренебрежимо мала по сравнению с расстояниями до предмета и изображения. Для собирающей линзы связь между тремя расстояниями описывает формула тонкой линзы:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f},$

где $F$ - фокусное расстояние линзы, $d$ - расстояние от предмета до линзы, а $f$ - расстояние от линзы до изображения. Все три величины измеряют вдоль главной оптической оси. Величину $D = 1/F$ называют оптической силой линзы и измеряют в диоптриях, если $F$ выражено в метрах.

Вторая рабочая величина - линейное увеличение. Оно показывает, во сколько раз изображение крупнее предмета, и связано с теми же расстояниями:

$\Gamma = \frac{f}{d} = \frac{H}{h},$

где $h$ - высота предмета, а $H$ - высота изображения. Этих двух формул достаточно для подавляющего большинства задач: одна даёт положение изображения, вторая - его размер и ориентацию.

Знак результата и тип изображения

Главная идея, которая экономит время на задачах: знак $f$ из формулы сразу сообщает тип изображения, и ничего отдельно запоминать не нужно. Выразим $f$ из формулы:

$f = \frac{1}{\,\frac{1}{F} - \frac{1}{d}\,}.$

Если предмет стоит дальше фокуса ($d > F$), то $1/F > 1/d$, знаменатель положителен и $f > 0$. Лучи реально сходятся за линзой - изображение реальное и перевёрнутое, его можно поймать на экран. Так работают фотоаппарат, глаз и проектор.

Если предмет внутри фокуса ($d < F$), знаменатель становится отрицательным и $f < 0$. Лучи за линзой расходятся, а изображение строится их продолжениями назад - оно мнимое, прямое и увеличенное. Это режим лупы. А в пограничном случае $d = F$ знаменатель обращается в ноль: лучи выходят из линзы параллельным пучком, и изображение уходит в бесконечность.

Рассчитать для своей задачи

То же самое подсказывает и знак увеличения: при $f > 0$ величина $\Gamma$ положительна по нашей записи, изображение перевёрнутое; при $f < 0$ оно прямое. По модулю $\Gamma$ говорит о размере: если $|\Gamma| > 1$, изображение крупнее предмета, если $|\Gamma| < 1$ - мельче.

Построение изображения тремя лучами

Формула даёт числа, но на экзамене почти всегда требуют ещё и чертёж. Изображение точки строится пересечением любых двух из трёх характеристических лучей, идущих из верхней точки предмета. Третий луч служит проверкой.

Рассчитать для своей задачи

Три луча выбирают так, чтобы их ход был известен заранее:

• Луч, параллельный оси, после линзы проходит через дальний фокус $F$.
• Луч через оптический центр линзы не преломляется и идёт прямо.
• Луч через ближний фокус после линзы выходит параллельно оси.

Все три пересекаются в одной точке - вершине изображения. Важная деталь, на которой часто теряют баллы: преломление рисуют ровно в плоскости линзы, то есть лучи должны касаться самой линзы, а ломаться - на ней, а не где-то рядом. Для предмета внутри фокуса лучи за линзой расходятся, поэтому изображение находят на пересечении их продолжений назад - отсюда и берётся мнимое изображение. Похожий приём построения характеристическими лучами используется и для изображения в вогнутом зеркале, где зеркало эквивалентно линзе с фокусом, равным половине радиуса кривизны.

Как решать задачи: пошаговый план

Почти любая задача на тонкую линзу укладывается в один алгоритм. Сначала выписывают, что дано и что ищут, и сразу переводят все длины в одни единицы. Затем подставляют известные величины в формулу тонкой линзы и решают её относительно неизвестного расстояния.

Чаще всего ищут $f$ при известных $F$ и $d$ - тогда удобно сразу пользоваться выражением $f = \dfrac{Fd}{d - F}$, которое получается из формулы после приведения к общему знаменателю. Если же неизвестен фокус, как в обратной задаче, формулу решают относительно $F$. После этого по знаку $f$ определяют тип изображения, а по $\Gamma = f/d$ - его размер и ориентацию.

Особый класс - задачи на заданное увеличение. Здесь к формуле тонкой линзы добавляют второе уравнение $\Gamma = f/d$ и решают систему. Например, чтобы получить действительное изображение с увеличением 2, нужно $f = 2d$; подставив это в формулу, находят и $d$, и $f$. Так связка двух формул закрывает почти весь набор школьных и вступительных задач.

Рассеивающая линза и комбинации

У рассеивающей линзы фокусное расстояние отрицательно ($F < 0$), и формула остаётся той же. Подстановка отрицательного $F$ всегда даёт $f < 0$ - рассеивающая линза для любого положения предмета строит уменьшенное мнимое прямое изображение. Это удобно проверять в калькуляторе выше: сама структура формулы делает результат предсказуемым.

В задачах с двумя линзами их рассчитывают последовательно: изображение от первой линзы становится предметом для второй. Если оно попадает за вторую линзу, расстояние до такого «предмета» берут со знаком минус. Оптические силы тонких линз, сложенных вплотную, складываются: $D = D_1 + D_2$, что упрощает расчёт системы.

Частые ошибки

• Путать, какое расстояние реальное. Расстояние до предмета $d$ почти всегда положительно. Знак несёт именно $f$: плюс - реальное изображение, минус - мнимое.
• Забывать про знак фокуса. У собирающей линзы $F > 0$, у рассеивающей $F < 0$. Подстановка фокуса не с тем знаком сразу ломает ответ.
• Считать увеличение пропорциональным расстоянию. Размер изображения задаёт отношение $f/d$, а не само $d$. У предмета вне фокуса при приближении к фокусу увеличение растёт очень быстро.
• Ломать лучи не на линзе. На чертеже преломление происходит ровно в плоскости линзы; лучи должны касаться самой линзы, иначе построение неверно.
• Терять параллельный случай. При $d = F$ изображения на конечном расстоянии нет - лучи выходят параллельным пучком. Это не «нет ответа», а отдельный физический результат.

FAQ

Когда изображение в линзе получается действительным, а когда мнимым? Решает положение предмета относительно фокуса. Если предмет дальше фокуса ($d > F$), изображение действительное и перевёрнутое - оно ловится на экран. Если предмет ближе фокуса ($d < F$), изображение мнимое, прямое и увеличенное - это режим лупы, и на экран его не спроецировать.

Как найти увеличение линзы по формуле? Линейное увеличение равно $\Gamma = f/d = H/h$. Сначала по формуле тонкой линзы находят $f$, затем делят его на $d$. Модуль отношения даёт во сколько раз изображение крупнее предмета, а знак - его ориентацию: при перевёрнутом изображении $\Gamma$ выходит со знаком, противоположным прямому.

Что будет, если предмет поставить точно в фокус? Тогда $d = F$, и в формуле $1/f = 1/F - 1/d = 0$, то есть $f$ стремится к бесконечности. Лучи после линзы идут параллельным пучком и нигде не пересекаются, поэтому изображения на конечном расстоянии нет. Именно так настраивают коллиматоры и прожекторы.

Коротко

Формула тонкой линзы $\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{f}$ вместе с увеличением $\Gamma = \dfrac{f}{d} = \dfrac{H}{h}$ закрывает практически все задачи по линзам. Знак $f$ сам сообщает тип изображения: при $d > F$ оно реальное и перевёрнутое, при $d < F$ - мнимое прямое увеличенное, а при $d = F$ уходит в бесконечность. Решение строится по простому плану: перевести единицы, подставить в формулу, найти неизвестное расстояние, по знаку определить тип, а по $\Gamma$ - размер. Чертёж выполняют тремя характеристическими лучами, преломляя их ровно на линзе, и для мнимого изображения находят пересечение их продолжений.