Увеличение телескопа: формула и ход лучей

Когда смотришь на далёкую звезду в телескоп, она не становится крупным диском, но соседние объекты начинают разъезжаться: угол, под которым глаз видит две точки, вырастает в несколько раз. Именно этот рост углового размера и называют увеличением телескопа. Формула увеличения телескопа Кеплера на удивление простая: всё определяется двумя фокусными расстояниями. Ниже разберём, откуда берётся это отношение, проследим ход лучей и посчитаем увеличение для своих чисел в калькуляторе.

Формула увеличения телескопа

Угловое увеличение зрительной трубы (телескопа Кеплера) равно отношению фокусного расстояния объектива к фокусному расстоянию окуляра:

$\Gamma = \frac{F_{об}}{f_{ок}}$

Здесь $F_{об}$ - фокусное расстояние объектива (большой собирающей линзы или зеркала, обращённого к объекту), а $f_{ок}$ - фокусное расстояние окуляра (маленькой линзы у глаза). Увеличение $\Gamma$ безразмерно: оно показывает, во сколько раз вырос угловой размер. Если объектив имеет фокус 900 мм, а окуляр - 25 мм, то

$\Gamma = \frac{900}{25} = 36 \text{ раз.}$

Главный вывод формулы: чтобы получить большое увеличение, нужен длиннофокусный объектив и короткофокусный окуляр. Смена окуляра - самый простой способ изменить увеличение у одной и той же трубы, поэтому у любительских телескопов в комплекте идёт набор окуляров.

Обратите внимание: в формуле увеличения участвуют только фокусные расстояния, но не диаметры линз. Диаметр объектива (апертура) влияет на яркость и чёткость, а кратность задаётся исключительно отношением фокусов. Поэтому два телескопа с одинаковыми объективами и окулярами дадут одно и то же увеличение, даже если у одного из них линза заметно крупнее. Эту разницу между «крупно» и «чётко» мы разберём отдельно в конце.

Рассчитать для своей задачи

Ход лучей в телескопе Кеплера

Чтобы понять, почему увеличение - это именно отношение фокусов, проследим ход лучей. От далёкой звезды на объектив приходит практически параллельный пучок света под небольшим углом $\alpha$ к оптической оси. Объектив - собирающая линза - фокусирует этот пучок в точку в своей фокальной плоскости, на расстоянии $F_{об}$ от линзы. Так возникает действительное и перевёрнутое промежуточное изображение объекта.

Окуляр ставят так, чтобы это промежуточное изображение попало в его переднюю фокальную плоскость. Тогда окуляр работает как лупа: расходящиеся от изображения лучи он снова делает параллельными, и пучок выходит из трубы под бо́льшим углом $\beta$ к оси. Глаз воспринимает направление параллельного пучка как направление на объект, поэтому видимый угловой размер становится равным $\beta$, а не $\alpha$.

Поскольку и на входе, и на выходе лучи параллельны, телескоп называют афокальной системой: он не строит конечного изображения сам, а лишь меняет угол наклона пучка. Расстояние между линзами при наводке на бесконечность равно сумме фокусов, $L = F_{об} + f_{ок}$ - это и есть длина трубы. Похожий приём «изображение строит одна линза, а вторая его разглядывает» встречается и при работе с одиночной собирающей линзой; если хочется освежить базовую оптику отражения, полезен разбор изображения в вогнутом зеркале.

Вывод формулы через углы

Свяжем углы $\alpha$ и $\beta$ с размером промежуточного изображения $h$. Параллельный пучок, пришедший под углом $\alpha$, после объектива сходится в точку, смещённую от оси на

$h = F_{об}\,\tan\alpha \approx F_{об}\,\alpha,$

где приближение справедливо для малых углов (в радианах). Это же изображение высотой $h$ лежит в фокальной плоскости окуляра, поэтому окуляр превращает его в параллельный пучок, наклонённый под углом

$\beta \approx \frac{h}{f_{ок}}.$

Подставив $h$, получаем связь углов и саму формулу увеличения:

$\beta \approx \frac{F_{об}\,\alpha}{f_{ок}} = \Gamma\,\alpha, \qquad \Gamma = \frac{\beta}{\alpha} = \frac{F_{об}}{f_{ок}}.$

Видно, что увеличение - это коэффициент, на который умножается входной угол. Промежуточное изображение играет роль «общего множителя»: чем оно крупнее (длиннее объектив) и чем ближе к нему стоит глаз через короткий окуляр, тем сильнее раскрывается выходной угол.

Эта же логика объясняет, почему телескоп не «приближает» объект в буквальном смысле. Расстояние до звезды остаётся прежним - меняется только угол, под которым приходят лучи к глазу. Телескоп берёт крошечный угловой размер $\alpha$ и растягивает его в $\Gamma$ раз. Если без трубы две звезды сливались в одну точку, потому что разница их направлений была меньше разрешающей способности глаза, то после увеличения этот угол может стать различимым. Поэтому удобнее говорить именно об угловом, а не о линейном увеличении: для бесконечно далёких объектов линейный размер изображения теряет смысл, а угол - нет.

Рассчитать для своей задачи

Почему изображение перевёрнутое

Телескоп Кеплера даёт перевёрнутое изображение - это видно и по ходу лучей: луч, пришедший сверху, после фокуса уходит вниз. Для астрономии это не помеха: у звёзд и планет нет «верха» и «низа». Но для наземных наблюдений (зрительная труба, бинокль) перевёрнутая картинка неудобна, поэтому в такие приборы добавляют оборачивающую систему - призмы Порро в биноклях или дополнительную линзу. В трубе Галилея, где окуляр - рассеивающая линза, изображение получается прямым, но поле зрения у неё заметно меньше.

Поле зрения и предел увеличения

Кажется, что достаточно взять совсем короткий окуляр и получить любое увеличение. На практике у увеличения есть разумный предел. Во-первых, чем больше $\Gamma$, тем у́же поле зрения: в окуляр попадает меньший участок неба. Во-вторых, тот же световой поток растягивается на большую видимую площадь, поэтому изображение становится тусклее. В-третьих, атмосферная турбулентность и качество оптики ограничивают полезное увеличение: обычно его берут не более удвоенного диаметра объектива в миллиметрах. Телескоп с объективом 100 мм редко имеет смысл «качать» выше 200 крат - дальше картинка только мутнеет, не добавляя деталей.

Увеличение, разрешение и апертура

Важно не путать увеличение с разрешающей способностью. Увеличение задаёт, насколько крупно вы видите картинку, а разрешение (способность различить две близкие точки) определяется диаметром объектива - апертурой. Большая апертура собирает больше света и даёт более чёткое изображение, но сама по себе не меняет увеличение: оно по-прежнему равно $\Gamma = F_{об}/f_{ок}$. Поэтому хороший телескоп - это в первую очередь крупный объектив, а нужное увеличение под задачу подбирают сменой окуляра.

Полезно держать в голове типовые числа. У школьной зрительной трубы объектив порядка 300–500 мм и окуляр 20–30 мм, что даёт скромные 10–25 крат - этого хватает, чтобы рассмотреть кратеры Луны и спутники Юпитера. Любительский рефрактор с объективом 900 мм и набором окуляров от 6 до 25 мм покрывает диапазон от 36 до 150 крат. Профессиональные инструменты идут ещё дальше, но там на первый план выходит уже апертура и качество атмосферы, а не сама кратность. Подставьте свои фокусы в калькулятор выше - и сразу увидите, в какой диапазон попадает ваша труба и где начинается «пустое» увеличение без выигрыша в деталях.

Частые ошибки

• Путают, какой фокус в числителе. В формуле сверху стоит фокус объектива, снизу - окуляра: $\Gamma = F_{об}/f_{ок}$. Если перевернуть дробь, получится дробное «увеличение» меньше единицы.
• Смешивают миллиметры и сантиметры. Оба фокуса нужно брать в одних единицах. Поскольку увеличение - это отношение, единицы сокращаются, но только при одинаковых единицах у числителя и знаменателя.
• Считают, что больше увеличение - всегда лучше. За пределом полезного увеличения картинка тускнеет и мылится, а поле зрения сужается.
• Путают увеличение с апертурой. Чёткость и яркость задаёт диаметр объектива, а не кратность; увеличение лишь масштабирует то, что уже собрала оптика.
• Забывают про длину трубы. При наводке на бесконечность линзы разнесены на $F_{об} + f_{ок}$, иначе промежуточное изображение не попадёт в фокус окуляра.

FAQ

Как найти увеличение телескопа, если известны фокусы? Поделите фокусное расстояние объектива на фокусное расстояние окуляра: $\Gamma = F_{об}/f_{ок}$. Например, при $F_{об} = 1200$ мм и $f_{ок} = 20$ мм увеличение равно 60 крат. Оба фокуса берите в одинаковых единицах.

Чем отличается труба Кеплера от трубы Галилея? В трубе Кеплера окуляр - собирающая линза, изображение перевёрнутое, поле зрения шире. В трубе Галилея окуляр рассеивающий, изображение прямое, но поле зрения меньше. Формула увеличения как отношение фокусов работает для обеих.

Можно ли бесконечно увеличивать картинку, меняя окуляр? Нет. С ростом увеличения сужается поле зрения и падает яркость, а атмосфера и качество оптики ставят предел. Практический потолок - примерно удвоенный диаметр объектива в миллиметрах.

Коротко

Увеличение телескопа Кеплера равно отношению фокусных расстояний объектива и окуляра, $\Gamma = F_{об}/f_{ок}$. Объектив строит действительное промежуточное изображение далёкого объекта в своей фокальной плоскости, а окуляр-лупа превращает расходящиеся от него лучи в параллельный пучок под бо́льшим углом, увеличивая видимый угловой размер в $\Gamma$ раз. Длиннофокусный объектив и короткий окуляр дают большое увеличение, но за разумным пределом картинка тускнеет и сужается поле зрения, а чёткость определяет уже не кратность, а апертура.