Преломление в призме: угол отклонения и его минимум

Когда луч света проходит сквозь стеклянную призму, он дважды преломляется и в итоге отклоняется от первоначального направления. Величину этого поворота описывает угол отклонения $\delta$ - он зависит от преломляющего угла призмы $A$, показателя преломления $n$ и от того, под каким углом луч падает на первую грань. Ниже в калькуляторе можно задать эти три параметра и сразу увидеть, как меняется отклонение и почему у него есть минимум.

Что происходит с лучом в призме

Призма - это прозрачный клин с преломляющим углом $A$ между двумя рабочими гранями. Луч встречает первую грань под углом падения $i_1$, преломляется внутрь стекла под углом $r_1$, идёт сквозь материал, доходит до второй грани под углом $r_2$ и выходит наружу под углом $i_2$. На обеих границах работает закон Снеллиуса:

$\sin i_1 = n \sin r_1, \qquad n \sin r_2 = \sin i_2.$

Геометрия треугольника связывает углы преломления внутри стекла простым условием:

$r_1 + r_2 = A.$

Полный угол отклонения - это угол между продолжением падающего луча и вышедшим лучом. Складывая повороты на каждой грани, получаем компактную формулу:

$\delta = i_1 + i_2 - A.$

Рассчитать для своей задачи

Формула угла отклонения

Чтобы посчитать $\delta$ для конкретного луча, идут по цепочке формул. Из закона Снеллиуса на входе находят $r_1 = \arcsin\left(\frac{\sin i_1}{n}\right)$. Затем из условия $r_2 = A - r_1$ берут угол на второй грани. Угол выхода даёт обратное преломление: $i_2 = \arcsin\left(n \sin r_2\right)$. Подстановка в $\delta = i_1 + i_2 - A$ завершает расчёт.

Эта последовательность и зашита в калькулятор выше: он считает каждый угол честно, по закону Снеллиуса на обеих гранях, поэтому числа в карточке совпадают с тем, что показывает анимация. Для стандартной школьной призмы с $A = 60^\circ$ и $n = 1{,}5$ при угле падения $50^\circ$ отклонение получается чуть больше минимального.

Разберём этот случай по шагам, чтобы видеть, откуда берётся итоговое число. На входе $\sin r_1 = \frac{\sin 50^\circ}{1{,}5} \approx 0{,}511$, отсюда $r_1 \approx 30{,}7^\circ$. Тогда угол на второй грани $r_2 = 60^\circ - 30{,}7^\circ = 29{,}3^\circ$. Угол выхода $\sin i_2 = 1{,}5 \cdot \sin 29{,}3^\circ \approx 0{,}734$, то есть $i_2 \approx 47{,}2^\circ$. Подставляя в формулу отклонения, получаем $\delta = 50^\circ + 47{,}2^\circ - 60^\circ \approx 37{,}2^\circ$. Это почти точно минимум - угол падения $50^\circ$ оказался близок к симметричному ходу, поэтому отклонение лежит у самого дна кривой.

Минимум угла отклонения

Самое интересное свойство призмы: при изменении угла падения отклонение $\delta$ не растёт монотонно, а сначала уменьшается, достигает минимума, а потом снова увеличивается. Минимум $\delta_{min}$ наступает при симметричном ходе луча, когда $i_1 = i_2$ и, соответственно, $r_1 = r_2 = A/2$. В этой точке луч внутри призмы идёт параллельно основанию.

Рассчитать для своей задачи

В положении минимума формулы упрощаются. Подставив $i_1 = i_2$ и $r_1 = r_2 = A/2$, получаем связь, по которой удобно находить показатель преломления экспериментально:

$n = \frac{\sin\dfrac{A + \delta_{min}}{2}}{\sin\dfrac{A}{2}}.$

Для призмы $A = 60^\circ$, $n = 1{,}5$ минимум составляет около $37^\circ$ при угле падения примерно $49^\circ$. Именно метод минимального отклонения чаще всего применяют в гониометрах для точного измерения $n$: симметричный ход легко поймать на глаз, поскольку вблизи минимума отклонение почти не меняется при небольшом повороте призмы.

Почему минимум появляется именно при симметрии, видно из самой структуры задачи. Функция $\delta(i_1)$ симметрична: если поменять местами вход и выход (запустить луч навстречу), картина не изменится, поэтому $\delta$ при углах падения $i_1$ и $i_2$ одинакова. Две одинаковые точки на гладкой кривой охватывают экстремум, а единственная точка, где вход и выход совпадают, - это $i_1 = i_2$. Там производная $\frac{d\delta}{di_1}$ обращается в ноль, и кривая на графике касается горизонтали - отсюда характерный плоский провал, хорошо заметный на инлайн-графике выше. Практический вывод: чтобы поймать минимум, призму медленно вращают и следят за вышедшим лучом - в момент, когда он перестаёт двигаться и начинает идти обратно, отклонение минимально.

Тонкая призма и приближение малых углов

Если преломляющий угол $A$ мал (несколько градусов), а лучи идут близко к нормали, синусы можно заменить самими углами. Тогда вся цепочка сворачивается в очень простую формулу:

$\delta \approx (n - 1) A.$

Удобство в том, что для тонкой призмы отклонение почти не зависит от угла падения - оно определяется только материалом и геометрией клина. На этом построены тонкие отклоняющие призмы в оптических приборах и призменные очки. Проверить приближение легко: задайте в калькуляторе небольшой угол $A$ и посмотрите, как близко окажется значение $\delta$ к произведению $(n-1)A$, показанному отдельной плиткой.

Дисперсия: почему призма раскладывает свет в спектр

Показатель преломления зависит от длины волны: для большинства стёкол синий свет преломляется сильнее красного. Поскольку $\delta$ растёт с $n$, разные цвета отклоняются на разные углы, и белый луч расходится в спектр. Угловую ширину спектра задаёт угловая дисперсия - разница углов отклонения для крайних длин волн. Поэтому призма с большим преломляющим углом и сильной дисперсией материала даёт более широкий и яркий спектр.

Числовую меру разложения дают через дисперсию материала, заданную разностью показателей преломления для синей и красной линий. Например, если для одного стекла $n$ отличается на сотые доли между концами видимого диапазона, то и углы отклонения для этих цветов разойдутся на доли градуса - этого хватает, чтобы спектр был хорошо различим на экране. Чем дальше призму от минимума отклонения, тем сильнее меняется $\delta$ при том же изменении $n$, поэтому спектроскопы обычно работают именно вблизи минимального отклонения, где картина устойчива и резка.

Этот же механизм - разное преломление на границе сред - лежит в основе многих оптических эффектов. Полезно сравнить ход луча в призме с более простым случаем плоскопараллельной пластины: там грани параллельны, отклонения нет, но возникает боковое смещение луча. Разница преломляющих углов и объясняет, почему пластина только сдвигает луч, а призма его ещё и поворачивает.

Полное внутреннее отражение на выходной грани

Не всякий луч выходит из призмы. Если угол падения слишком мал, угол $r_1$ оказывается маленьким, а $r_2 = A - r_1$ - большим, и на выходной грани наступает полное внутреннее отражение: луч не преломляется наружу, а отражается обратно внутрь стекла. Граничное условие - когда $r_2$ достигает критического угла $\arcsin(1/n)$. В калькуляторе такой режим отмечен отдельно: при слишком пологом падении он честно сообщает, что выхода нет. Поэтому при измерениях угол падения выбирают так, чтобы луч уверенно проходил обе грани.

Частые ошибки

• Путают преломляющий угол $A$ и угол падения $i_1$. $A$ - это угол самой призмы между гранями, а $i_1$ - угол между падающим лучом и нормалью к первой грани. Это разные величины.
• Забывают, что преломлений два. Угол отклонения складывается из поворотов на обеих гранях, а не считается по одной границе.
• Считают $\delta$ монотонной функцией угла падения. На самом деле у неё есть минимум; формула $\delta = i_1 + i_2 - A$ не линейна по $i_1$.
• Применяют приближение $(n-1)A$ к толстой призме. Оно верно только для малых $A$ и почти нормального падения, а для $A = 60^\circ$ даёт грубо неверный результат.
• Игнорируют полное внутреннее отражение. При малых углах падения луч может вообще не выйти из призмы - формулу применять нельзя.

FAQ

Чему равен угол отклонения призмы с углом 60 градусов? Зависит от показателя преломления и угла падения. Для стекла $n = 1{,}5$ минимальное отклонение около $37^\circ$, а при произвольном падении оно больше. Точное значение для своих данных удобно получить в калькуляторе выше.

Как найти показатель преломления через угол отклонения? Измеряют минимальный угол отклонения $\delta_{min}$ при симметричном ходе и подставляют в формулу $n = \sin\frac{A+\delta_{min}}{2} \big/ \sin\frac{A}{2}$. Это основной лабораторный метод определения $n$ призмы.

Почему у угла отклонения есть минимум? Из-за симметрии хода: функция $\delta(i_1)$ симметрична относительно случая $i_1 = i_2$, и в этой точке производная обращается в ноль. Физически минимум соответствует лучу, идущему внутри призмы параллельно её основанию.

Коротко

Преломление в призме описывается законом Снеллиуса на двух гранях и условием $r_1 + r_2 = A$, а полный угол отклонения равен $\delta = i_1 + i_2 - A$. При изменении угла падения отклонение проходит через минимум $\delta_{min}$ при симметричном ходе, откуда находят показатель преломления; для тонкой призмы $\delta \approx (n-1)A$. Зависимость $n$ от длины волны разворачивает белый свет в спектр, а при слишком пологом падении луч не выходит из-за полного внутреннего отражения.