Ход луча в плоскопараллельной пластинке: смещение и угол

Плоскопараллельная пластинка - это прозрачный слой с двумя плоскими параллельными гранями: оконное стекло, грань призмы, защитное покрытие объектива. Когда луч света проходит сквозь неё, он дважды преломляется: на входе и на выходе. Главный результат, ради которого эту задачу разбирают в курсе геометрической оптики, неожиданно прост: вышедший луч идёт строго параллельно падающему, но оказывается сдвинутым вбок на некоторое расстояние. Ниже разберём, как построить ход луча в плоскопараллельной пластинке, почему направление не меняется, как вывести формулу бокового смещения и длины пути луча в стекле и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь угла, показателя преломления и сдвига, покрути калькулятор: он строит схему хода луча и пересчитывает все величины по тем же формулам, что мы разберём дальше.

Почему вышедший луч параллелен падающему

Пусть луч падает из воздуха на верхнюю грань пластинки под углом $\alpha$ к нормали. На границе воздух-стекло работает закон преломления (закон Снеллиуса):

$\sin\alpha = n \sin\beta,$

где $n$ - показатель преломления пластинки относительно воздуха, а $\beta$ - угол преломления внутри стекла. Отсюда сразу находим угол хода луча в пластинке:

$\beta = \arcsin\frac{\sin\alpha}{n}.$

Поскольку $n > 1$, имеем $\beta < \alpha$: внутри более плотной среды луч прижимается к нормали. Дойдя до нижней грани, луч снова преломляется, но теперь переходит из стекла в воздух. Грани параллельны, поэтому нормаль к нижней грани та же, и угол падения изнутри равен $\beta$. Закон преломления на выходе:

$n \sin\beta = \sin\gamma.$

Сравнив с первым уравнением, видим $\sin\gamma = \sin\alpha$, то есть $\gamma = \alpha$. Угол выхода равен углу входа - значит, вышедший луч параллелен падающему. Пластинка не поворачивает луч, она лишь сдвигает его параллельно самому себе.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому через толстое оконное стекло предметы видны без искажения формы, но слегка смещёнными - наш глаз получает параллельный пучок, просто чуть сдвинутый.

Формула бокового смещения

Боковое смещение $s$ - это расстояние между вышедшим лучом и продолжением падающего луча (тем направлением, по которому луч пошёл бы, не будь пластинки). Измеряется оно по перпендикуляру к лучам. Чтобы вывести формулу, рассмотрим путь луча внутри стекла от точки входа $A$ до точки выхода $B$. Длина этого отрезка - наклонный путь сквозь толщину $d$:

$AB = \frac{d}{\cos\beta}.$

Перпендикуляр, опущенный из точки $B$ на продолжение падающего луча, и даёт смещение $s$. Угол между отрезком $AB$ и продолжением падающего луча равен разности $\alpha - \beta$, поэтому

$s = AB \cdot \sin(\alpha - \beta) = d\,\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta}.$

Это и есть рабочая формула бокового смещения в плоскопараллельной пластинке. Из неё видно: смещение тем больше, чем толще пластинка $d$, чем больше угол падения $\alpha$ и чем сильнее преломляет материал (то есть чем больше разность $\alpha - \beta$, а она растёт с показателем $n$). При $\alpha \to 90°$ смещение стремится к толщине $d$, а при нормальном падении ($\alpha = 0$) обращается в ноль - луч проходит насквозь без сдвига.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно, как складывается смещение: отрезок $AB$ внутри стекла наклонён под углом $\beta$ к нормали, а перпендикуляр от точки выхода $B$ до продолжения исходного направления и есть $s$. Прямоугольный треугольник с гипотенузой $AB$ и углом $\alpha - \beta$ при вершине $A$ напрямую даёт формулу.

Длина пути луча внутри пластинки

Часто в задаче спрашивают не смещение, а длину пути, который луч проходит в самом стекле - например, чтобы оценить набег оптической длины или поглощение. Эта величина уже встретилась нам при выводе:

$L = AB = \frac{d}{\cos\beta}.$

Геометрически это просто наклонная через слой толщиной $d$: чем больше угол преломления $\beta$, тем длиннее путь. При нормальном падении $L = d$, а с ростом угла путь удлиняется. Оптическая длина пути (та, что входит в разность фаз) равна $n L = n d / \cos\beta$ - её используют в задачах на интерференцию в тонких плёнках и пластинках.

Чтобы быстро прикинуть и смещение, и путь для своих чисел, задай угол, показатель и толщину в калькуляторе выше: он покажет угол преломления $\beta$, смещение $s$ и путь $L$, а заодно нарисует ход луча и график зависимости смещения от угла.

Разбор типовой задачи

Возьмём стандартную формулировку: луч падает на стеклянную пластинку толщиной $d = 20$ мм с показателем преломления $n = 1{,}5$ под углом $\alpha = 45°$. Найдём угол преломления, боковое смещение и путь луча в стекле. Сначала из закона Снеллиуса находим угол преломления:

$\beta = \arcsin\frac{\sin 45°}{1{,}5} = \arcsin\frac{0{,}707}{1{,}5} = \arcsin 0{,}471 \approx 28{,}1°.$

Теперь боковое смещение по основной формуле:

$s = d\,\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos\beta} = 20 \cdot \frac{\sin(45° - 28{,}1°)}{\cos 28{,}1°} = 20 \cdot \frac{0{,}290}{0{,}882} \approx 6{,}6\ \text{мм}.$

И наконец длина пути луча внутри пластинки:

$L = \frac{d}{\cos\beta} = \frac{20}{\cos 28{,}1°} = \frac{20}{0{,}882} \approx 22{,}7\ \text{мм}.$

Полезная проверка: смещение $s$ всегда меньше толщины $d$ и меньше пути $L$, а при удвоении толщины и смещение, и путь удваиваются - обе величины линейны по $d$. Если ваши числа этой логике не отвечают, ищите ошибку в переводе угла или в синусах. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку и подставляет текущие значения слайдеров в запрос для разбора в чате.

Как построить ход луча: пошагово

При построении хода луча в плоскопараллельной пластинке удобно держаться одного порядка действий:

1. Проведите нормаль к верхней грани в точке падения - все углы отсчитывают от неё, а не от поверхности.
2. Постройте преломлённый луч под углом $\beta$ к нормали внутри стекла, прижатый к нормали сильнее, чем падающий ($\beta < \alpha$).
3. В точке выхода восстановите нормаль к нижней грани (она параллельна первой) и постройте вышедший луч под тем же углом $\alpha$.
4. Продлите падающий луч пунктиром сквозь пластинку - расстояние между этим продолжением и реальным вышедшим лучом и есть боковое смещение $s$.

Такое построение сразу показывает главное: входной и выходной лучи параллельны, между ними - параллельный сдвиг. Полного внутреннего отражения здесь не возникает: луч идёт из менее плотной среды в более плотную на входе, а на выходе угол внутри ($\beta$) всегда меньше предельного, ведь $\beta < \alpha < 90°$.

Частые ошибки

• Углы отсчитывают от поверхности, а не от нормали. И в законе Снеллиуса, и в формуле смещения $\alpha$ и $\beta$ - это углы между лучом и нормалью. Отсчёт от грани даёт неверные синусы.
• Считают, что пластинка поворачивает луч. Нет: выходной луч параллелен входному. Меняется только положение луча (сдвиг $s$), но не его направление.
• Путают смещение $s$ и горизонтальный сдвиг вдоль грани. Боковое смещение $s$ измеряется по перпендикуляру к лучу, а не вдоль поверхности пластинки. Формула $s = d\,\sin(\alpha-\beta)/\cos\beta$ даёт именно перпендикулярное расстояние.
• Берут показатель преломления не той пары сред. В формуле $n$ - показатель пластинки относительно окружающей среды. Если пластинка в воде, а не в воздухе, нужно относительное $n = n_{\text{пласт}}/n_{\text{среда}}$.
• Считают синус в градусном режиме калькулятора как радианы (и наоборот). Проверьте режим: $\sin 45° \approx 0{,}707$, а не $0{,}851$.

FAQ

Чему равно боковое смещение луча в стеклянной пластинке толщиной 20 мм при угле падения 45 градусов? Для стекла $n = 1{,}5$ угол преломления $\beta = \arcsin(\sin 45°/1{,}5) \approx 28{,}1°$. Тогда $s = 20 \cdot \sin(45° - 28{,}1°)/\cos 28{,}1° \approx 6{,}6$ мм. Чем тоньше пластинка или меньше угол, тем меньше смещение.

Почему луч, прошедший плоскопараллельную пластинку, не меняет направления? Грани пластинки параллельны, поэтому преломление на выходе в точности компенсирует преломление на входе: угол выхода равен углу входа. Луч лишь смещается параллельно самому себе, направление сохраняется.

Как найти длину пути луча внутри пластинки? Путь равен наклонной через толщину: $L = d/\cos\beta$, где $\beta$ - угол преломления. При нормальном падении путь равен толщине $d$, а с ростом угла он удлиняется. Оптическая длина пути равна $nL$.

Коротко

Ход луча в плоскопараллельной пластинке - это двойное преломление, после которого луч выходит параллельно падающему, но сдвинутым вбок. Угол преломления находят из закона Снеллиуса $\beta = \arcsin(\sin\alpha/n)$, боковое смещение - по формуле $s = d\,\sin(\alpha-\beta)/\cos\beta$, а длину пути в стекле - как $L = d/\cos\beta$. Смещение растёт с углом падения, толщиной и показателем преломления, а направление луча пластинка не меняет никогда.