Фокусное расстояние двух линз: формула и задачи

Когда на оптической оси стоят две тонкие линзы, они работают как единая оптическая система со своим, эквивалентным фокусным расстоянием. В задачах нужно найти именно его: либо для линз, сложенных вплотную, либо для линз, разнесённых на расстояние $d$. Ниже разберём общую формулу фокусного расстояния двух линз, её частный случай для контакта, перевод в диоптрии и типовые постановки задач, на которых студенты чаще всего спотыкаются. Чтобы сразу увидеть, как фокус системы меняется при сдвиге линз, покрутите калькулятор ниже: он показывает эквивалентный фокус, оптическую силу, ход луча и график зависимости от промежутка - а дальше мы выведем каждую формулу строго.

Общая формула фокусного расстояния системы двух линз

Пусть на одной оптической оси стоят две тонкие линзы с фокусными расстояниями $f_1$ и $f_2$, а расстояние между ними равно $d$. Эквивалентное (заднее) фокусное расстояние $F$ всей системы находится по формуле:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} - \frac{d}{f_1 f_2}.$

Эту формулу удобнее записать через оптические силы. Сила тонкой линзы - это $D = 1/f$, измеряется в диоптриях (при $f$ в метрах). Тогда сила системы:

$D = D_1 + D_2 - d\, D_1 D_2,$

где $d$ берётся в метрах. Видно, что две линзы - это не просто сумма сил: вычитаемый член $-d\,D_1 D_2$ показывает, что промежуток ослабляет систему. Чем дальше разнесены линзы, тем больше становится фокусное расстояние и тем «слабее» система как целое.

Рассчитать для своей задачи

Знаки фокусов подставляются с учётом типа линзы: для собирающей линзы $f > 0$, для рассеивающей $f < 0$. Поэтому комбинация собирающей и рассеивающей линз может дать как собирающую, так и рассеивающую систему - всё зависит от того, какая сила перевесит.

Частный случай: линзы вплотную

Если линзы сложены вплотную, расстояние $d = 0$, и член с промежутком исчезает. Формула резко упрощается:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}, \qquad D = D_1 + D_2.$

Это самый частый вариант в задачах: оптические силы тесно сложенных линз просто складываются. Именно так устроены, например, склеенные объективы и очковые линзы из нескольких элементов. Запомнить правило легко - складываются не фокусы, а обратные к ним величины (силы).

Рассчитать для своей задачи

Отсюда сразу следует ловушка: нельзя складывать сами фокусные расстояния. Если $f_1 = 20$ см и $f_2 = 30$ см, то $F$ не равно ни $50$ см, ни $25$ см. Правильно: $1/F = 1/20 + 1/30 = 5/60$, откуда $F = 12$ см. Система оказывается «сильнее» каждой из линз по отдельности, и это закономерно - две собирающие линзы вместе собирают свет круче.

Как перевести фокус в диоптрии

Оптическую силу почти всегда удобнее считать в диоптриях, особенно когда линз несколько. Диоптрия - это обратный метр: $1\ \text{дптр} = 1/\text{м}$. Если фокус задан в сантиметрах, переводите так:

$D\,[\text{дптр}] = \frac{100}{F\,[\text{см}]}.$

Для линз вплотную алгоритм получается совсем коротким: перевести оба фокуса в диоптрии, сложить силы и при необходимости вернуться к фокусу. Например, линзы $+2$ дптр и $+3$ дптр вплотную дают $D = 5$ дптр, то есть $F = 100/5 = 20$ см. Калькулятор выше показывает обе величины сразу - и фокус в сантиметрах, и силу в диоптриях, - чтобы вы могли сверить ответ в любых единицах.

Когда система становится телескопической

У формулы есть особый режим. Если промежуток подобран так, что

$\frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} = \frac{d}{f_1 f_2},$

то правая часть выражения для $1/F$ обращается в ноль, и эквивалентный фокус уходит в бесконечность. Для двух собирающих линз это происходит при $d = f_1 + f_2$ - параллельный пучок на входе выходит из системы тоже параллельным. Так устроена зрительная труба Кеплера: фокусы линз совпадают, и система не собирает свет в точку, а меняет угловое увеличение. В калькуляторе при таком $d$ фокус системы отображается знаком бесконечности - это не ошибка, а физический предельный случай.

Рассчитать для своей задачи

Из графика видно главное свойство: сила системы линейно убывает с ростом $d$. Пока $d$ мал, система почти не отличается от линз вплотную; по мере раздвижения она слабеет, в телескопической точке проходит через ноль, а дальше может стать рассеивающей.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Две собирающие тонкие линзы с фокусными расстояниями $f_1 = 20$ см и $f_2 = 30$ см расположены на оптической оси на расстоянии $d = 10$ см. Найти эквивалентное фокусное расстояние системы и её оптическую силу.

Подставляем числа в общую формулу, аккуратно следя за единицами (работаем в сантиметрах, $d$ тоже в сантиметрах):

$\frac{1}{F} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30} - \frac{10}{20 \cdot 30}.$

Считаем по членам:

$\frac{1}{F} = 0{,}05 + 0{,}0333 - 0{,}0167 = 0{,}0667\ \text{см}^{-1}.$

Отсюда эквивалентный фокус и оптическая сила:

$F = \frac{1}{0{,}0667} \approx 15{,}0\ \text{см}, \qquad D = \frac{100}{15{,}0} \approx 6{,}67\ \text{дптр}.$

Сравните с тем же расчётом для линз вплотную ($d = 0$): там получалось $F = 12$ см. Промежуток в 10 см увеличил фокус с 12 до 15 см - система ослабла ровно на член $-d/(f_1 f_2)$, как и предсказывает формула. Подставьте эти же $f_1$, $f_2$ и $d$ в калькулятор выше: он соберёт всю цепочку автоматически, а на графике точка ляжет точно на отметку $d = 10$ см.

Частые ошибки

• Складывают сами фокусные расстояния. Нельзя писать $F = f_1 + f_2$. Складываются оптические силы (обратные величины), а для линз вплотную верно $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$.
• Забывают член с расстоянием. Если линзы разнесены, нельзя пользоваться формулой контакта. Нужен полный вид с вычитаемым $-d/(f_1 f_2)$, иначе фокус выйдет заниженным.
• Путают единицы у $d$. В формуле через диоптрии $d$ обязано быть в метрах, а $D_1$, $D_2$ - в диоптриях. Смешивание сантиметров и метров - самая частая числовая ошибка.
• Игнорируют знак фокуса рассеивающей линзы. У рассеивающей линзы $f < 0$ и $D < 0$. Подстановка её фокуса со знаком «плюс» полностью искажает результат.
• Считают бесконечный фокус ошибкой. Если $1/F = 0$, система телескопическая: фокус действительно бесконечен, это корректный предельный случай, а не сбой расчёта.

FAQ

Как найти фокусное расстояние двух линз, сложенных вплотную? Сложите оптические силы: $D = D_1 + D_2$, или эквивалентно $1/F = 1/f_1 + 1/f_2$. Для $f_1 = 20$ см и $f_2 = 30$ см получится $F = 12$ см. Складывать сами фокусы нельзя.

Зачем в формуле вычитается член $d/(f_1 f_2)$? Этот член учитывает, что между линзами есть промежуток, и свет приходит на вторую линзу уже сходящимся. Чем больше $d$, тем сильнее он ослабляет систему: фокус растёт, а оптическая сила падает. При $d = 0$ член обнуляется и остаётся простое сложение сил.

Может ли система из двух собирающих линз быть рассеивающей? Да, если разнести их достаточно далеко. После телескопической точки $d > f_1 + f_2$ суммарная сила становится отрицательной, и система начинает работать как рассеивающая. Это хорошо видно на графике в калькуляторе.

Коротко

Фокусное расстояние системы из двух тонких линз находится по формуле $1/F = 1/f_1 + 1/f_2 - d/(f_1 f_2)$, где $d$ - расстояние между линзами. Для линз вплотную ($d = 0$) она упрощается до сложения оптических сил $D = D_1 + D_2$. Удобнее всего считать в диоптриях ($D = 100/F$ при $F$ в см), не забывая про знаки фокусов и единицы у $d$. С ростом промежутка фокус увеличивается, а в точке $d = f_1 + f_2$ система становится телескопической с бесконечным фокусом.