Глаз как оптическая система: аккомодация

Глаз устроен как составная линза: роговица и хрусталик вместе создают перевёрнутое уменьшенное изображение прямо на сетчатке. В отличие от фотоаппарата, глаз фокусируется не сдвигом линзы, а изменением её формы - этот процесс называется аккомодацией. Ниже разберём физику оптической системы глаза, выведем ключевые формулы и выясним, почему с возрастом ближнее зрение ухудшается. Чтобы сразу почувствовать связь параметров, покрути калькулятор: он покажет, как перемещается фокус при изменении оптической силы хрусталика.

Оптическая сила и уравнение тонкой линзы

Основа расчёта - уравнение тонкой линзы, связывающее фокусное расстояние $f$, расстояние до предмета $d_o$ и расстояние до изображения $d_i$:

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{d_o} + \frac{1}{d_i}.$$

Оптическая сила линзы $D$ (в диоптриях, дптр) - это просто обратная величина фокусного расстояния в метрах:

$$D = \frac{1}{f(\text{м})}.$$

Если несколько линз расположены вплотную друг к другу (модель тонких линз в контакте), их оптические силы складываются:

$$D_{\text{глаза}} = D_{\text{рог}} + D_{\text{хруст}}.$$

Роговица вносит около 43 дптр - это постоянная, неизменяемая часть. Хрусталик добавляет от ~19 дптр (расслаблен, дальнее зрение) до ~33 дптр (максимальное напряжение, ближнее зрение у молодых). Суммарная оптическая сила глаза при взгляде вдаль - около 62 дптр, при максимальной аккомодации у подростка - до 76 дптр.

Рассчитать для своей задачи

Механизм аккомодации: цилиарная мышца и хрусталик

Хрусталик подвешен на зонулярных волокнах (цинновых связках), которые тянут его края и сплющивают. Аккомодация работает так:

• Дальнее зрение. Цилиарная мышца расслаблена, волокна натянуты - хрусталик плоский, оптическая сила минимальна (~19 дптр), фокус падает на сетчатку при взгляде вдаль.
• Ближнее зрение. Цилиарная мышца сокращается (кольцо сужается), волокна расслабляются - хрусталик принимает более выпуклую форму за счёт собственной эластичности, оптическая сила растёт, фокус приближается.

Расстояние от хрусталика до сетчатки в глазу взрослого человека примерно 17 мм. Именно сюда должно попасть изображение $d_i$ при любом расстоянии до предмета. Из уравнения линзы следует, что чем ближе предмет ($d_o$ уменьшается), тем большее $D$ нужно, чтобы $d_i$ оставалось 17 мм.

Рассчитать для своей задачи

Расчёт ближней точки чёткого зрения

Ближняя точка ($P_p$) - минимальное расстояние $d_o$, при котором глаз ещё может сфокусироваться, напрягая хрусталик до максимума $D_{\max}$. Из уравнения линзы:

$$\frac{1}{d_o} = \frac{1}{f_{\min}} - \frac{1}{d_i} = D_{\max} - \frac{1}{d_i},$$

откуда $d_o = \dfrac{d_i}{D_{\max} \cdot d_i - 1}$ (в единицах СИ, $d_i \approx 0{,}017$ м).

Для молодого глаза ($D_{\max} = 29$ дптр): $d_o \approx 0{,}017 / (29 \times 0{,}017 - 1) = 0{,}017 / 0{,}493 \approx 0{,}034$ м = 3,4 см - это физиологический предел, на деле комфортная ближняя точка около 10–15 см. Для глаза 50 лет ($D_{\max} \approx 20$ дптр): $d_o = 0{,}017 / (20 \times 0{,}017 - 1) = 0{,}017 / 0{,}34 \approx 0{,}05$ м = 5 см, но запас аккомодации уже почти исчерпан и глаз устаёт быстро.

Запас аккомодации и его убывание с возрастом

Запас аккомодации $A$ - разница между максимальной и минимальной оптической силой хрусталика:

$$A = D_{\max} - D_{\min}.$$

У 10-летних $A \approx 14$ дптр, у 40-летних - около 3 дптр, у 60-летних - менее 0,5 дптр. Физическая причина - постепенное уплотнение белка хрусталика: он теряет эластичность и перестаёт менять форму при сокращении цилиарной мышцы.

Этот возрастной процесс называется пресбиопией («старческое зрение»). Пресбиопия - не болезнь, а физиологическое явление: хрусталик у всех людей уплотняется к 40–45 годам, и ближняя точка чёткого зрения отодвигается дальше 25–30 см.

Аномалии рефракции: близорукость и дальнозоркость

Аккомодация компенсирует рефракционные ошибки только частично.

• Миопия (близорукость). Глаз слишком длинный или роговица слишком кривая. Фокус от далёкого предмета падает перед сетчаткой даже при расслабленном хрусталике. Хрусталик не может «растянуть» фокус назад - аккомодация тут не поможет. Коррекция - рассеивающая линза (отрицательные диоптрии).
• Гиперметропия (дальнозоркость). Глаз слишком короткий. Фокус от далёкого предмета оказался бы за сетчаткой, но хрусталик у молодых аккомодирует и компенсирует это. С возрастом запас аккомодации иссякает - коррекция собирающей линзой становится необходимой.
• Пресбиопия. Потеря запаса аккомодации. Дальнозоркость сохраняется, но ближнее зрение ухудшается независимо от исходной рефракции.

Дальняя точка чёткого зрения

Дальняя точка ($P_r$, от лат. punctum remotum) - максимальное расстояние $d_o$, при котором глаз видит резко без аккомодации (хрусталик в состоянии покоя, $D_{\min}$). Это обратная величина так называемой статической рефракции глаза.

При эмметропии (нормальном зрении) дальняя точка уходит в бесконечность: расслабленный глаз фокусирует параллельные лучи точно на сетчатку. При миопии (близорукости) $P_r$ находится на конечном расстоянии перед глазом - именно это расстояние характеризует степень близорукости. Например, $P_r = 1$ м означает миопию 1 дптр ($D = 1/1{,}0 = 1$ дптр), $P_r = 0{,}25$ м - миопию 4 дптр.

При гиперметропии (дальнозоркости) дальняя точка «мнимая» - за сетчаткой. Молодой дальнозоркий глаз компенсирует это аккомодацией: даже при взгляде вдаль хрусталик напряжён, что ускоряет утомление.

Связь оптической силы и диоптрийной коррекции

Очковые и контактные линзы добавляют $\Delta D$ к суммарной оптической силе глаза. Для миопа с $P_r = 50$ см рассеивающая линза $-2$ дптр сделает так, что расходящийся пучок от бесконечности после неё кажется исходящим из точки 50 см - именно туда, куда направлен расслабленный глаз. Формально: $D_{\text{корр}} = -1/P_r(\text{м})$.

Аккомодация «работает поверх» коррекции: в очках человек по-прежнему аккомодирует при приближении предмета - просто вся система сдвинута на $\Delta D$.

Для задач это означает: если в условии дана оптическая сила корригирующей линзы, суммарная оптическая сила глаза в очках - $D_{\text{рог}} + D_{\text{хруст}} + D_{\text{очки}}$, а не просто роговица плюс хрусталик.

Числа, которые нужно знать для задач

Из этих цифр легко восстановить любой расчёт по уравнению линзы: задав $d_o$ и $d_i = 17$ мм, найти нужную $D$, вычесть 43 дптр - получить требуемую оптическую силу хрусталика.

Частые ошибки

• Подставлять расстояния в сантиметрах. Уравнение линзы работает в метрах, оптическая сила - в дптр = 1/м. Перевод обязателен: 25 см = 0,25 м.
• Складывать фокусные расстояния вместо оптических сил. $f_{\text{общ}} \ne f_{\text{рог}} + f_{\text{хруст}}$. Складываются диоптрии: $D_{\text{глаза}} = D_{\text{рог}} + D_{\text{хруст}}$.
• Считать, что аккомодация меняет расстояние до сетчатки. Глаз не «растягивается» - меняется только форма хрусталика.
• Путать ближнюю точку с ближней точкой чёткого зрения. Ближняя точка - расстояние при максимальном напряжении хрусталика. Именно её и нужно считать через $D_{\max}$.
• Забывать о знаках. В формуле линзы для реального изображения $d_i > 0$; если изображение мнимое (виртуальное), $d_i < 0$. Для глаза изображение на сетчатке - всегда реальное, $d_i = +0{,}017$ м.

FAQ

Чем аккомодация отличается от рефракции? Рефракция - это преломление света в оптических средах глаза (общая «настройка» глаза). Аккомодация - динамическое изменение рефракции за счёт смены формы хрусталика при разных дистанциях. Рефракция может быть нормальной (эмметропия), близорукой или дальнозоркой без всякой аккомодации.

Почему у детей запас аккомодации больше, чем у взрослых? Хрусталик ребёнка состоит из мягкого, высокоэластичного белка. С возрастом в центре хрусталика образуется плотное ядро, которое практически не деформируется. Цилиарная мышца работает так же, но хрусталик уже не отвечает на её усилие - $D_{\max}$ падает, запас $A$ сокращается.

Как очки компенсируют потерю аккомодации при пресбиопии? Очки для чтения - это собирающие линзы с положительными диоптриями. Они берут на себя часть «работы» хрусталика: уже при малом напряжении цилиарной мышцы фокус попадает на сетчатку с ближнего расстояния. Подробнее про коррекцию зрения - в статье о дисперсии и аберрациях оптических систем.

Коротко

Глаз - составная линза: роговица (~43 дптр) + хрусталик (19–33 дптр) формируют изображение на сетчатке в 17 мм от хрусталика. Аккомодация - это изменение формы хрусталика цилиарной мышцей; оптическая сила хрусталика растёт при взгляде вблизь. Запас аккомодации $A = D_{\max} - D_{\min}$ убывает с возрастом из-за уплотнения хрусталика - так развивается пресбиопия. Все расчёты строятся на уравнении тонкой линзы $\tfrac{1}{f} = \tfrac{1}{d_o} + \tfrac{1}{d_i}$ и сложении оптических сил.