Уравнение cos x = 1: корни, формула и график

Уравнение $\cos x = 1$ - простейшее тригонометрическое уравнение особого вида: правая часть равна не нулю, а максимально возможному значению косинуса. Решить его означает найти все углы $x$, при которых косинус достигает своего наибольшего значения. Таких углов бесконечно много, и, как и для любого простейшего тригонометрического уравнения, их удобно собрать в одну формулу, а не перечислять по одному. Ниже разберём, где именно косинус равен единице, как из этого получается общая формула корней $x = 2\pi n$, как решать уравнения вида $\cos(kx) = 1$ и со сдвигом, как отбирать корни на отрезке и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как корни ведут себя на графике в зависимости от коэффициентов, покрути калькулятор ниже.

Где косинус равен единице

Косинус угла - это абсцисса точки на единичной окружности. Максимальное значение абсциссы, равное $1$, точка принимает ровно в одном месте окружности - в точке $(1, 0)$, которой соответствует угол $0$. Больше нигде на окружности абсцисса не достигает единицы: во всех остальных точках она строго меньше. Двигаясь по окружности дальше на полный оборот, мы возвращаемся ровно в ту же точку - поэтому косинус снова равен единице через каждые $2\pi$ радиан, а не через $\pi$, как было бы для нуля.

Рассчитать для своей задачи

Если перейти от окружности к графику функции $y = \cos x$, разница с уравнением $\cos x = 0$ видна сразу: там кривая пересекает ось $Ox$ дважды за период, а здесь она лишь касается верхней горизонтали $y = 1$ один раз за период - в точках $0$, $2\pi$, $-2\pi$ и так далее. Это не пересечение, а касание: в этих точках косинусоида достигает своего максимума и разворачивается вниз, поэтому корни здесь идут вдвое реже, чем нули синуса или косинуса.

Общая формула корней x = 2πn

Поскольку косинус равен единице только при полном обороте на окружности, эти точки собираются в формулу через целочисленный параметр:

$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Здесь $n$ - любое целое число: $n = 0$ даёт корень $x = 0$, $n = 1$ даёт $x = 2\pi$, $n = -1$ даёт $x = -2\pi$, и так далее в обе стороны. Формула охватывает сразу всё бесконечное множество корней, и в ней нет никакого множителя $\pm$ или $(-1)^n$ - это тоже частный случай общей формулы для $\cos x = a$, только предельно упрощённый.

Рассчитать для своей задачи

На окружности единице косинуса отвечает ровно одна точка, но добавление целого числа полных оборотов порождает всю бесконечную серию $x = 2\pi n$. Именно поэтому в формуле стоит шаг $2\pi$, а не $\pi$: чтобы вернуться в ту же самую точку окружности, нужен полный оборот, а не половина.

Уравнение cos kx = 1 и со сдвигом

Общий приём для более сложного аргумента косинуса один и тот же: вводим вспомогательную переменную $t$, равную аргументу косинуса целиком, решаем простейшее $\cos t = 1$, а затем возвращаемся к $x$.

Для уравнения $\cos(kx) = 1$ полагаем $t = kx$. Тогда $t = 2\pi n$, и значит:

$kx = 2\pi n \;\Rightarrow\; x = \frac{2\pi n}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Корни идут уже не через $2\pi$, а через $2\pi/k$ - чем больше коэффициент $k$, тем чаще косинусоида касается верхней горизонтали и тем гуще расположены корни. Например, у $\cos 2x = 1$ корни $x = \pi n$ идут с шагом $\pi$.

Если под косинусом есть ещё и сдвиг, $\cos(kx + \varphi) = 1$, схема та же: аргумент $kx + \varphi = 2\pi n$, откуда

$x = \frac{2\pi n - \varphi}{k}, \quad n \in \mathbb{Z}.$

В калькуляторе выше ползунки $k$ и $\varphi$ управляют именно этими параметрами: видно, как меняется шаг между корнями и как вся серия смещается вдоль оси. Шаг между соседними корнями всегда равен $2\pi/k$ и не зависит от сдвига $\varphi$ - сдвиг лишь переносит всю картину целиком, не меняя расстояния между точками касания.

Отбор корней на отрезке

В задачах часто требуют не общую формулу, а конкретные корни на отрезке, например на $[-2\pi; 2\pi]$ или $[0; 4\pi]$. Для этого подставляют формулу корней в двойное неравенство и находят допустимые целые $n$.

Возьмём $\cos x = 1$ на отрезке $[0; 4\pi]$. Подставляем $x = 2\pi n$ в неравенство $0 \le 2\pi n \le 4\pi$ и делим на $2\pi$:

$0 \le n \le 2.$

Целые $n$ в этих границах - это $0$, $1$, $2$, что даёт три корня: $x = 0$, $x = 2\pi$ и $x = 4\pi$. На более коротком отрезке $[-\pi; \pi]$ подходит только $n = 0$, то есть единственный корень $x = 0$ - потому что следующее касание случится лишь при $x = \pm 2\pi$, а это уже за пределами отрезка. Калькулятор выше показывает ровно этот отбор: измени окно по $x$ - и счётчик «корней в окне» пересчитает, сколько точек $2\pi n$ туда попало, а на графике они отметятся точками на верхней горизонтали.

Главное при отборе - помнить, что корни касания расположены редко, вдвое реже, чем у уравнений с нулём в правой части. Поэтому на отрезке длиной меньше $2\pi$ часто оказывается лишь один корень, а то и ни одного, если отрезок не захватывает точку касания.

Частые ошибки

• Шаг $\pi$ вместо $2\pi$. Самая частая ошибка: по аналогии с $\sin x = 0$ пишут $x = \pi n$, забывая, что здесь косинус не пересекает ось, а касается верхней горизонтали, и это происходит вдвое реже.
• Лишние знаки из общей формулы для $\cos x = a$. Для произвольного $a$ формула $x = \pm \arccos a + 2\pi n$ содержит знак $\pm$. При $a = 1$ он не нужен: $\arccos 1 = 0$, и оба знака дают одно и то же значение, поэтому корни просто $x = 2\pi n$.
• Путаница с $\cos x = -1$. Там косинус равен минимальному значению, и формула корней $x = \pi + 2\pi n$ - совсем другая серия точек, смещённая на $\pi$.
• Деление только числителя при $\cos kx = 1$. Из $kx = 2\pi n$ должно следовать $x = 2\pi n / k$, а не деление лишь части выражения - на $k$ делится вся правая часть целиком.
• Потеря корня на границе отрезка. При отборе концы включённого отрезка проверяются отдельно: корень, попавший точно на границу, входит в ответ.

FAQ

Сколько корней у уравнения cos x = 1? Бесконечно много: корни задаются формулой $x = 2\pi n$, где $n$ - любое целое число. На любом конечном отрезке их конечное число, равное количеству целых $n$, попадающих в соответствующие границы после подстановки формулы в неравенство.

Чему равны корни cos x = 1 на отрезке от 0 до 4π? Это $x = 0$, $x = 2\pi$ и $x = 4\pi$ - три корня при включённых концах отрезка. Они получаются при $n = 0, 1, 2$ в формуле $x = 2\pi n$.

Чем формула корней cos x = 1 отличается от cos x = 0 или cos x = -1? Для $\cos x = 0$ корни идут с шагом $\pi$ по формуле $x = \pi/2 + \pi n$. Для $\cos x = -1$ корни тоже идут с шагом $2\pi$, но сдвинуты на $\pi$: $x = \pi + 2\pi n$. Для $\cos x = 1$ формула самая простая - $x = 2\pi n$, без сдвига и без дополнительных знаков.

Коротко

Уравнение $\cos x = 1$ решается за один шаг: косинус достигает максимума в точке $(1, 0)$ единичной окружности, и эта точка повторяется через полный оборот $2\pi$, поэтому корни задаются формулой $x = 2\pi n$, $n \in \mathbb{Z}$. Для $\cos(kx) = 1$ корни сгущаются до шага $2\pi/k$ и записываются как $x = 2\pi n / k$, а сдвиг под косинусом смещает всю серию: $x = (2\pi n - \varphi)/k$. На конкретном отрезке корни отбирают, подставляя формулу в неравенство и перебирая допустимые целые $n$ - и таких корней обычно немного, ведь касание случается вдвое реже, чем пересечение нуля.