Отбор корней на тригонометрической окружности

Тригонометрическое уравнение вида $\sin x = a$ или $\cos x = a$ имеет бесконечное множество решений: корни повторяются с периодом $2\pi$. Когда задача требует найти корни на конкретном промежутке, нужен инструмент, который позволяет «увидеть» все решения сразу и выбрать нужные. Таким инструментом служит единичная тригонометрическая окружность. Ниже разберём метод пошагово - от нахождения главного значения до записи итогового ответа. Чтобы сразу поэкспериментировать с любым значением $a$ и любым промежутком, используйте интерактивный калькулятор:

Единичная окружность и точки-корни

Единичная тригонометрическая окружность - это окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Каждому углу $x$ (в радианах) соответствует точка на этой окружности с координатами $(\cos x,\; \sin x)$. Именно это соответствие и лежит в основе метода.

Для уравнения $\sin x = a$ нужно найти на окружности все точки, у которых $y$-координата равна $a$. Проведите горизонтальную линию $y = a$ - она пересечёт единичную окружность ровно в двух точках (если $|a| < 1$), в одной точке (если $|a| = 1$) или вообще не пересечёт (если $|a| > 1$, тогда решений нет).

Для уравнения $\cos x = a$ аналогично проводят вертикальную линию $x = a$ и ищут точки пересечения с окружностью по $x$-координате.

Рассчитать для своей задачи

Главное значение и симметричный корень

Пусть нужно решить $\sin x = a$, где $|a| \leq 1$. Шаги метода:

Шаг 1 - главное значение. Вычислите $x_0 = \arcsin a$. По определению, $\arcsin$ возвращает значение из $[-\pi/2;\; \pi/2]$. Это и есть первая точка на окружности (первая ветвь).

Шаг 2 - симметричный корень. Вторая точка на окружности с той же $y$-координатой получается симметрией относительно вертикальной оси: $x_1 = \pi - x_0$. Например, если $x_0 = \pi/6$, то вторая точка - $x_1 = \pi - \pi/6 = 5\pi/6$.

Шаг 3 - общее решение. Добавляем к каждой ветви все целые числа оборотов:

$x = \arcsin a + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi - \arcsin a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Для уравнения $\cos x = a$ главное значение $x_0 = \arccos a \in [0;\; \pi]$, а симметричный корень - $x_1 = -x_0$ (симметрия относительно горизонтальной оси). Общее решение:

$x = \pm\arccos a + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Для $\tan x = a$ формула компактнее: одна ветвь с периодом $\pi$:

$x = \arctan a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$

Рассчитать для своей задачи

Как отбирать корни на промежутке

Имея общее решение, нужно найти конкретные числа $n$ (целые), при которых значение $x$ попадает в заданный промежуток $[A;\; B]$. Алгоритм:

1. Запишите каждую ветвь в виде $x = x_0 + Tn$, где $T$ - период ($2\pi$ или $\pi$).
2. Из неравенства $A \leq x_0 + Tn \leq B$ выразите $n$: $\dfrac{A - x_0}{T} \leq n \leq \dfrac{B - x_0}{T}$.
3. Выберите все целые $n$ из полученного промежутка.
4. Подставьте каждое $n$ обратно и получите конкретные корни.
5. Повторите для каждой ветви.

Пример. Найдём корни $\sin x = \dfrac{1}{2}$ на промежутке $[0;\; 2\pi]$.

Главное значение: $x_0 = \arcsin\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$.

Симметричное: $x_1 = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Ветвь 1: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$. При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} \in [0;\; 2\pi]$ - подходит. При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi > 2\pi$ - не подходит. При $n = -1$ - отрицательное значение.

Ветвь 2: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$. При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{6} \in [0;\; 2\pi]$ - подходит.

Ответ: $x_1 = \frac{\pi}{6}$, $x_2 = \frac{5\pi}{6}$.

Специальные значения и таблица

Для нескольких «красивых» значений $a$ главное значение запоминается или легко вычисляется:

При $a = 1$ или $a = -1$ окружность и уровневая линия касаются: одна точка вместо двух, и общее решение содержит одну ветвь.

Промежутки с ограничениями - частые форматы задач

В ЕГЭ и университетских задачах наиболее часто встречаются четыре типа ограничений:

$[0;\; 2\pi]$ - полный оборот. Оба корня (ветвь 1 и ветвь 2) для $\sin x = a$ обычно попадают сюда. При $a = 0$ корней четыре: $0, \pi, 2\pi$ (но $x = 0$ и $x = 2\pi$ - одна и та же точка на окружности, просто разные концы промежутка).

$[-\pi;\; \pi]$ - симметричный промежуток. Удобен для $\cos x = a$: оба корня $x_0$ и $-x_0$ гарантированно попадают. Для $\sin x = a$ при положительном $a$ попадают $x_0 \in (0;\;\pi/2]$ и $x_1 \in [\pi/2;\;\pi]$; при отрицательном $a$ - их отражения.

$[0;\; \pi]$ - половина окружности. Для $\cos x = a$ попадает ровно один корень - $\arccos a$ (это и есть определение арккосинуса). Для $\sin x = a > 0$ попадают оба корня; для $a < 0$ ни одного.

$[0;\; \pi/2]$ - первая четверть. Сюда попадает главное значение $\arcsin a$ при $a \in [0;\;1]$ и $\arccos a$ при $a \in [0;\;1]$. Одна точка в каждом случае.

Как проверить ответ

После нахождения корней обязательно подставьте каждый из них в исходное уравнение. Например, для $x = \frac{5\pi}{6}$ и $\sin x = \frac{1}{2}$:

$\sin\frac{5\pi}{6} = \sin\left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}. \checkmark$

Ещё один быстрый способ - воспользоваться калькулятором выше: он мгновенно покажет точки на окружности и числовой оси при тех же параметрах.

Частые ошибки

• Забыть вторую ветвь. При решении $\sin x = a$ ученики часто пишут только $x = \arcsin a + 2\pi n$, упуская $x = \pi - \arcsin a + 2\pi n$. Это вдвое сокращает число ответов.
• Перепутать ветви $\sin$ и $\cos$. У косинуса вторая ветвь - $-\arccos a$, а не $\pi - \arccos a$. Смешение формул даёт ошибочные точки на окружности.
• Не проверить граничные точки промежутка. Если промежуток задан строгим неравенством (например, $x \in (0;\; 2\pi)$), точки $x = 0$ и $x = 2\pi$ не включаются.
• Перевести ответ в градусы там, где нужны радианы. Если в задаче промежуток записан в радианах, ответ тоже должен быть в радианах.
• Округлить иррациональный корень. Если $a$ не табличное значение, главное значение $\arcsin a$ нужно оставлять в точном виде или указывать как десятичную дробь с нужной точностью, а не заменять приближением.

FAQ

Почему у уравнения $\sin x = a$ всегда два набора корней? Синус - это $y$-координата точки на единичной окружности. Горизонтальная прямая $y = a$ при $|a| < 1$ всегда пересекает окружность ровно в двух точках: одна в правой полуплоскости ($x \in [-\pi/2;\;\pi/2]$), другая - в левой ($x \in [\pi/2;\;3\pi/2]$). Отсюда и две серии корней с периодом $2\pi$.

Как выглядит метод числовой окружности для $\tan x = a$? Тангенс - это отношение синуса к косинусу и геометрически равен длине отрезка на касательной к окружности в точке $(1, 0)$. На числовой оси функция $\tan x$ имеет период $\pi$ и вертикальные асимптоты при $x = \pi/2 + \pi n$. Главное значение $x_0 = \arctan a \in (-\pi/2;\;\pi/2)$, а единственная ветвь: $x = \arctan a + \pi n$. На самой единичной окружности всего одна точка-корень за каждый полуоборот - это упрощает визуализацию.

Что делать, если промежуток не кратен периоду? Алгебраический метод работает для любого промежутка: запишите неравенство $A \leq x_0 + Tn \leq B$, разделите на $T$ и выберите все целые $n$. Числовая ось тоже помогает: просто отметьте на ней только ту часть, что задана промежутком, и прочитайте попавшие точки.

Коротко

Метод тригонометрической окружности превращает абстрактное уравнение $\sin x = a$ в наглядную геометрическую задачу: горизонтальная линия $y = a$ выбивает две точки на единичной окружности - главное значение $\arcsin a$ и симметричное $\pi - \arcsin a$. Добавление $2\pi n$ раскатывает каждую точку в бесконечную решётку, а затем остаётся лишь отобрать $n$ так, чтобы корень попал в заданный промежуток. Для $\cos x = a$ симметрия - относительно горизонтали ($\pm\arccos a$), для $\tan x = a$ ветвь одна с периодом $\pi$.