Неравенство Минковского: формула и доказательство

Неравенство Минковского - это неравенство треугольника для $p$-нормы: длина суммы двух векторов не превосходит суммы их длин, причём «длина» здесь измеряется не только по Пифагору, но и любым показателем $p \ge 1$. Именно оно превращает выражение $\|x\|_p = \left(\sum |x_k|^p\right)^{1/p}$ в полноценную норму, а пространства $\ell^p$ и $L^p$ - в нормированные. Ниже разобраны формулировка, вывод из неравенства Гёльдера, частные случаи $p = 1$, $p = 2$ и $p = \infty$, геометрия единичных шаров и условие равенства. Калькулятор ниже считает обе части неравенства для ваших векторов и ведёт их по всем показателям сразу.

Формулировка неравенства Минковского

Для конечных или бесконечных последовательностей $x = (x_k)$, $y = (y_k)$ и показателя $p \ge 1$ выполнено

$\left(\sum_k |x_k + y_k|^p\right)^{1/p} \le \left(\sum_k |x_k|^p\right)^{1/p} + \left(\sum_k |y_k|^p\right)^{1/p},$

то есть коротко $\|x + y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p$. Для измеримых функций записывается та же строчка с интегралом: $\|f + g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$, где $\|f\|_p = \left(\int |f|^p \, d\mu\right)^{1/p}$.

Смысл именно в слове «норма». Однородность $\|\lambda x\|_p = |\lambda| \cdot \|x\|_p$ и положительность видны сразу из формулы, а третья аксиома нормы - неравенство треугольника - как раз и есть неравенство Минковского. Без него $\ell^p$ и $L^p$ остались бы просто множествами с функционалом, на них нельзя было бы говорить о расстоянии $\rho(x, y) = \|x - y\|_p$, сходимости и полноте.

Условие $p \ge 1$ принципиально: при $0 < p < 1$ выражение для $\|x\|_p$ по-прежнему считается, но неравенство меняет знак на противоположный и нормой быть перестаёт. Именно это ограничение объясняет, почему в анализе всюду фигурируют показатели от единицы до бесконечности.

Как оно выводится из неравенства Гёльдера

Стандартный вывод при $p > 1$ занимает три строки и опирается на неравенство Гёльдера с сопряжённым показателем $q = \dfrac{p}{p-1}$. Сначала раскладываем степень:

$\sum_k |x_k + y_k|^p = \sum_k |x_k + y_k| \cdot |x_k + y_k|^{p-1} \le \sum_k |x_k| \cdot |x_k + y_k|^{p-1} + \sum_k |y_k| \cdot |x_k + y_k|^{p-1}.$

К каждой сумме справа применяем Гёльдера, вынося $|x_k|$ и $|y_k|$ с показателем $p$, а хвост $|x_k + y_k|^{p-1}$ - с показателем $q$:

$\sum_k |x_k + y_k|^p \le \left(\|x\|_p + \|y\|_p\right) \left(\sum_k |x_k + y_k|^{(p-1)q}\right)^{1/q}.$

Ключевая деталь: $(p-1)q = p$, поэтому скобка справа равна $\|x + y\|_p^{p/q} = \|x + y\|_p^{p-1}$. Делим на неё обе части (если $\|x + y\|_p = 0$, доказывать нечего) и получаем ровно $\|x + y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p$. Сам Гёльдер, в свою очередь, выводится из неравенства Юнга $ab \le \dfrac{a^p}{p} + \dfrac{b^q}{q}$, так что вся цепочка стоит на одном выпуклом факте о степенях.

Случаи $p = 1$ и $p = \infty$ выводятся напрямую, без Гёльдера: при $p = 1$ достаточно сложить покоординатные неравенства $|x_k + y_k| \le |x_k| + |y_k|$, а при $p = \infty$ взять максимум обеих частей того же покоординатного неравенства.

Геометрия: единичный шар и выпуклость

У неравенства треугольника есть чисто геометрическая переформулировка. Из однородности следует, что норма полностью задана своим единичным шаром $B_p = \{z : \|z\|_p \le 1\}$, и неравенство треугольника равносильно выпуклости этого шара: середина отрезка между двумя точками шара обязана остаться внутри.

Рассчитать для своей задачи

Эту проверку легко довести до числа. Для $A = (1, 0)$ и $B = (0, 1)$ середина равна $(0{,}5;\ 0{,}5)$, а её норма

$\left\|\frac{A + B}{2}\right\|_p = \frac{1}{2} \cdot 2^{1/p}$

даёт $1{,}59$ при $p = 0{,}6$, ровно $1$ при $p = 1$, $0{,}707$ при $p = 2$ и стремится к $0{,}5$ при $p \to \infty$. Значение больше единицы означает, что середина вышла за пределы шара, то есть $\|A + B\|_p > \|A\|_p + \|B\|_p$ - неравенство треугольника нарушено. Отсюда и граница применимости: $p \ge 1$.

Частные случаи p = 1, p = 2 и бесконечность

Возьмём $x = (3, 1)$ и $y = (1, 3)$, тогда $x + y = (4, 4)$. Три классических показателя дают три разные картины запаса.

Рассчитать для своей задачи

При $p = 1$ обе части равны $8$: координаты векторов попарно одного знака, и неравенство обращается в равенство. При $p = 2$ получаем евклидов случай $\|x + y\|_2 = \sqrt{32} \approx 5{,}66$ против $2\sqrt{10} \approx 6{,}32$, то есть привычное неравенство треугольника для длин отрезков. При $p = \infty$ норма - это максимум модуля координаты: $4$ против $3 + 3 = 6$. Запас растёт с ростом $p$, потому что максимум «не чувствует» остальных координат.

Случай $p = 2$ заслуживает отдельного слова: там неравенство Минковского эквивалентно неравенству Коши-Буняковского и допускает школьное доказательство через скалярное произведение, $\|x + y\|_2^2 = \|x\|_2^2 + 2\langle x, y\rangle + \|y\|_2^2 \le (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$. Про сами евклидовы длины полезно помнить формулу длины вектора по координатам.

Вложенность шаров и сравнение норм

Чем больше показатель, тем шире единичный шар: ромб $p = 1$ лежит внутри круга $p = 2$, круг - внутри квадрата $p = \infty$. Обратная сторона того же факта: для фиксированного вектора норма убывает по $p$.

Рассчитать для своей задачи

Для $v = (0{,}8;\ 0{,}6)$ получаем $\|v\|_1 = 1{,}4$, $\|v\|_2 = 1$, $\|v\|_\infty = 0{,}8$, то есть $\|v\|_\infty \le \|v\|_2 \le \|v\|_1$. В пространстве размерности $n$ верна и оценка в обратную сторону, $\|v\|_1 \le \sqrt{n}\,\|v\|_2 \le n \|v\|_\infty$, поэтому в конечной размерности все $p$-нормы эквивалентны и задают одну и ту же сходимость. В бесконечномерном случае это уже не так: пространства $\ell^1$, $\ell^2$ и $\ell^\infty$ различны, хотя неравенство Минковского справедливо в каждом.

Когда достигается равенство

При $1 < p < \infty$ равенство $\|x + y\|_p = \|x\|_p + \|y\|_p$ возможно только для сонаправленных векторов: $y = \lambda x$ с $\lambda \ge 0$ (либо один из векторов нулевой). Причина видна из вывода: равенство должно достигаться одновременно в покоординатном неравенстве $|x_k + y_k| \le |x_k| + |y_k|$ и в обоих применениях Гёльдера, а последнее требует пропорциональности наборов $|x_k|^p$ и $|y_k|^p$.

Крайние показатели ведут себя мягче. При $p = 1$ достаточно, чтобы координаты были попарно одного знака: $x_k y_k \ge 0$ для каждого $k$ - векторы при этом могут быть неколлинеарны, как $(3, 1)$ и $(1, 3)$ из примера выше. При $p = \infty$ равенство наступает, когда максимумы модулей достигаются на одном и том же индексе с одинаковым знаком. Отрицательный коэффициент $\lambda$ равенства не даёт никогда: противоположно направленные векторы укорачивают сумму, и запас становится строго положительным.

Отдельного внимания заслуживает область $0 < p < 1$, куда неравенство не распространяется. Там величина $\left(\sum |x_k|^p\right)^{1/p}$ формально определена, но нормой не является: для $x = (1; 0)$ и $y = (0; 1)$ при $p = 1/2$ получаем $\|x\|_{1/2} = \|y\|_{1/2} = 1$, тогда как $\|x + y\|_{1/2} = (1 + 1)^{2} = 4 > 2$. Неравенство треугольника переворачивается, и выполняется обратное неравенство Минковского $\|x + y\|_p \ge \|x\|_p + \|y\|_p$. Геометрическая причина та же, что и в разделе про шары: при $p < 1$ единичный «шар» становится невыпуклым, звёздчатым, а выпуклость шара и неравенство треугольника - это одно и то же свойство, записанное двумя способами. Поэтому пространства $\ell^p$ при $p < 1$ метризуют не нормой, а метрикой $d(x, y) = \sum |x_k - y_k|^p$ без внешнего корня. Эта метрика уже удовлетворяет обычному неравенству треугольника, потому что при $0 < p < 1$ верно $(a + b)^p \le a^p + b^p$ для неотрицательных $a$ и $b$, - то самое свойство, которое при $p > 1$ работает в обратную сторону и как раз и делает норму нормой.

Интегральная форма и пространства L^p

Для измеримых функций неравенство Минковского выглядит так же:

$\left(\int_E |f + g|^p \, d\mu\right)^{1/p} \le \left(\int_E |f|^p \, d\mu\right)^{1/p} + \left(\int_E |g|^p \, d\mu\right)^{1/p},$

и доказывается той же выкладкой, где суммы заменены интегралами. Следствия те же: $L^p(E)$ замкнуто относительно сложения, $\|\cdot\|_p$ - норма, а вместе с теоремой Рисса-Фишера о полноте это делает $L^p$ банаховым пространством. На таком фундаменте стоят и пространства Соболева, и аппарат вроде теоремы Хана-Банаха.

Условие равенства в интегральной форме звучит как «$f$ и $g$ почти всюду неотрицательно пропорциональны»: существует $\lambda \ge 0$, при котором $g = \lambda f$ п.в. При $0 < p < 1$ норма пропадает, но расстояние спасти можно: функционал $d(f, g) = \int |f - g|^p \, d\mu$ (уже без внешнего корня) неравенству треугольника удовлетворяет и задаёт метрику.

Частые ошибки

• Применяют при $p < 1$. Там неравенство разворачивается: для неотрицательных наборов $\|x + y\|_p \ge \|x\|_p + \|y\|_p$. Проверьте это ползунком $p$ в калькуляторе: запас уходит в минус.
• Путают с неравенством Гёльдера. Гёльдер оценивает сумму произведений двух разных векторов через произведение норм, Минковский - норму суммы через сумму норм. Первое нужно для доказательства второго, но задачи они решают разные.
• Считают равенство равносильным коллинеарности. Нужна именно сонаправленность: при $y = -x$ равенства нет, левая часть равна нулю, а правая - удвоенной норме.
• Делят на $\|x + y\|_p^{p-1}$, не оговорив ненулевой случай. Формально это пробел в доказательстве, и на экзамене за него снимают балл.
• Переносят условие равенства из $p = 2$ на $p = 1$ и $p = \infty$. У крайних показателей оно заметно слабее, и контрпримеры строятся в две строки.

FAQ

Почему неравенство Минковского требует $p \ge 1$? Потому что при $p < 1$ единичный шар перестаёт быть выпуклым: его граница проваливается внутрь, и середина отрезка между двумя точками шара оказывается снаружи. Норма середины $\frac{1}{2} \cdot 2^{1/p}$ при $p < 1$ больше единицы, а это и есть нарушение неравенства треугольника.

Чем неравенство Минковского отличается от неравенства Гёльдера? Гёльдер связывает сумму (или интеграл) произведения $x_k y_k$ с произведением норм в сопряжённых показателях, Минковский - норму суммы $x + y$ с суммой норм в одном и том же показателе. Гёльдер отвечает за двойственность $\ell^p$ и $\ell^q$, Минковский - за то, что $\|\cdot\|_p$ вообще является нормой.

Верно ли неравенство для бесконечных сумм и несобственных интегралов? Да. Доказательство сначала проводят для конечных сумм или для функций на множестве конечной меры, а затем переходят к пределу: правая часть монотонно возрастает и ограничивает левую на каждом шаге. Побочный вывод: если $x, y \in \ell^p$, то и $x + y \in \ell^p$, то есть $\ell^p$ - линейное пространство.

Коротко

Неравенство Минковского $\|x + y\|_p \le \|x\|_p + \|y\|_p$ - это неравенство треугольника для $p$-нормы, верное при $p \ge 1$ для сумм, интегралов и любых мер. Выводится из неравенства Гёльдера с сопряжённым показателем $q = p/(p-1)$ разложением $|x + y|^p = |x + y| \cdot |x + y|^{p-1}$. При $p = 1$ и $p = \infty$ доказывается напрямую из покоординатной оценки, при $p = 2$ совпадает с классическим неравенством треугольника для длин. Геометрически оно равносильно выпуклости единичного шара, поэтому при $p < 1$ ломается вместе с ней. Равенство при $1 < p < \infty$ достигается только для сонаправленных векторов, при $p = 1$ - при попарно одинаковых знаках координат. Практическое следствие одно, но важное: $\ell^p$ и $L^p$ оказываются нормированными, а с теоремой Рисса-Фишера - и банаховыми пространствами.