Модель Ходжкина-Хаксли: уравнения, схема и расчёт ПД

В 1952 году Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли опубликовали в Journal of Physiology серию из пяти статей, последняя из которых свела нервный импульс к системе из четырёх дифференциальных уравнений. Модель Ходжкина-Хаксли до сих пор служит отправной точкой вычислительной нейронауки: из неё сами собой получаются порог, форма потенциала действия, рефрактерность и скорость проведения, а почти все последующие модели нейронов либо упрощают её, либо уточняют. Ниже калькулятор решает эту систему численно прямо в браузере: кривая потенциала не нарисована, а рассчитана из уравнений.

Откуда взялась модель: гигантский аксон кальмара

Работа началась с удачного объекта. У кальмара Loligo есть аксон, управляющий реактивным выбросом воды из мантии, толщиной около 0,5 мм, у крупных особей до 1 мм. Для сравнения, аксоны млекопитающих в сотни раз тоньше. В такой аксон можно вдоль оси ввести серебряную проволоку и измерять потенциал изнутри.

В 1939 году Ходжкин и Хаксли впервые записали потенциал действия внутриклеточным электродом и увидели овершут: на пике внутренняя сторона мембраны становится положительной. Господствовавшая тогда гипотеза Бернштейна предсказывала лишь «пробой» мембраны до нуля, и овершут её опроверг. Война прервала опыты, и продолжение пришлось на 1945-1952 годы в морской лаборатории Плимута.

Цель была не в том, чтобы описать фазы импульса (их качественный разбор есть в статье про фазы потенциала действия и ионные механизмы), а в том, чтобы измерить, как проводимость мембраны для каждого иона зависит от напряжения и времени. Для этого понадобился новый прибор.

Фиксация потенциала: как разделили токи

Метод фиксации потенциала (voltage clamp) предложили Кеннет Коул и Джордж Мармонт в 1947-1949 годах, а Ходжкин, Хаксли и Бернард Катц довели его до количественных измерений. Один электрод измеряет потенциал внутри аксона, усилитель сравнивает его с командным значением и через второй электрод впрыскивает ровно столько тока, сколько нужно, чтобы удержать потенциал неизменным.

Рассчитать для своей задачи

Смысл приёма в том, что при постоянном $V$ ёмкостный ток $C_m\,dV/dt$ равен нулю, и впрыскиваемый ток совпадает с суммарным ионным. Скачок с -65 до 0 мВ давал ранний входящий ток и поздний выходящий. Когда натрий в наружном растворе заменяли холином, ранний ток исчезал, и оставался чистый калиевый. Вычитание одной записи из другой давало натриевый ток во времени, а деление на движущую силу давало проводимость $g = I/(V - E)$.

Результат оказался принципиальным. Калиевая проводимость растёт с S-образной задержкой и держится, пока мембрана деполяризована. Натриевая растёт быстро, но спадает даже при сохранённой деполяризации. Это спадание назвали инактивацией.

Мембрана как электрическая схема

Ходжкин и Хаксли представили участок мембраны как электрическую цепь. Липидный бислой работает как конденсатор ёмкостью около 1 мкФ/см². Параллельно ему идут три ветви: натриевая, калиевая и ветвь утечки. Каждая ветвь состоит из проводимости и батареи, напряжение которой равно равновесному потенциалу иона. Откуда берутся эти потенциалы и почему покой близок к калиевому, разобрано в статье про уравнение Голдмана-Ходжкина-Катца.

По закону Кирхгофа сумма токов через мембрану равна току стимула:

$C_m \frac{dV}{dt} = I_{ст} - \bar g_{Na}\, m^3 h\,(V - E_{Na}) - \bar g_K\, n^4\,(V - E_K) - g_L\,(V - E_L)$

Это современная запись с покоем -65 мВ. В оригинале 1952 года $V$ отсчитывали от покоя и деполяризацию считали отрицательной, поэтому формулы из первоисточника со знаками учебников смешивать нельзя. Все константы получены при 6,3 °C. Для другой температуры скорости умножают на $\varphi = 3^{(T - 6{,}3)/10}$.

Воротные переменные m, h и n

Проводимость каждой ветви равна максимальной, умноженной на долю открытых каналов. Ходжкин и Хаксли предположили, что натриевый путь открыт, когда в нужном положении стоят три активирующие частицы $m$ и одна инактивирующая $h$, отсюда множитель $m^3 h$. Калиевому пути нужны четыре частицы $n$, отсюда $n^4$. Каждая переменная подчиняется одному и тому же кинетическому уравнению:

$\frac{dx}{dt} = \alpha_x(V)\,(1 - x) - \beta_x(V)\,x, \qquad x_\infty = \frac{\alpha_x}{\alpha_x + \beta_x}, \quad \tau_x = \frac{1}{\alpha_x + \beta_x}$

Здесь $\alpha_x$ и $\beta_x$ задают скорости перехода частицы в «разрешающее» положение и обратно, и обе зависят от напряжения.

Рассчитать для своей задачи

Показатели 3 и 4 подобраны по форме нарастания тока, а не выведены из структуры белка. Реальные сенсоры напряжения нашли десятилетия спустя, об их устройстве рассказывает статья про потенциал-зависимые натриевые каналы.

При -65 мВ стационарные значения равны $m_\infty = 0{,}053$, $h_\infty = 0{,}596$, $n_\infty = 0{,}318$. Отсюда покоящаяся калиевая проводимость около 0,37 мСм/см², а натриевая около 0,01 мСм/см², примерно в 35 раз меньше. Поэтому покой и лежит у калиевого потенциала. Ключ ко всей модели дают постоянные времени: при -65 мВ $\tau_m = 0{,}24$ мс, $\tau_h = 8{,}5$ мс, $\tau_n = 5{,}5$ мс. Активация натрия на порядок быстрее инактивации и калиевого тока.

Как из уравнений получается потенциал действия

Калькулятор выше интегрирует систему явным методом Эйлера с шагом 0,01 мс: $V_{k+1} = V_k + \Delta t \cdot f(V_k, m_k, h_k, n_k)$, и так же для $m$, $h$, $n$. Возьмём стимул 10 мкА/см² длительностью 1 мс.

Деполяризация поднимает $m_\infty$, и $m$ за доли миллисекунды догоняет её. Натриевый ток деполяризует мембрану ещё сильнее, это положительная обратная связь. Пик +39,3 мВ наступает через 2,5 мс после начала стимула и не доходит до $E_{Na} = +50$ мВ, потому что уже работают калиевый ток и утечка. К этому моменту $m$ близка к 0,99, но медленная $h$ падает до 0,08, а $n$ поднимается до 0,77. Натриевый путь закрывается, калиевый открыт, и мембрана реполяризуется. Следовая гиперполяризация доходит до -76,2 мВ, почти до $E_K$, а к покою потенциал возвращается лишь к 23-й миллисекунде, пока медленно закрываются калиевые каналы.

Пиковая натриевая проводимость составила 31,6 мСм/см², около четверти от 120. Произведение $m^3 h$ никогда не приближается к единице: когда $m$ уже высока, $h$ успевает упасть.

Порога в уравнениях нет, он возникает сам. Для импульса 1 мс граница лежит около 7 мкА/см² (в расчёте 6,95): чуть слабее стимул затухает, чуть сильнее даёт полный импульс по принципу «всё или ничего», но с задержкой. Пик у самого порога приходится на 5,8 мс после начала стимула против 2,5 мс при 10 мкА/см².

Хаксли в 1952 году считал распространяющийся импульс вручную на механическом арифмометре, работа заняла около трёх недель. Расчётная скорость проведения получилась 18,8 м/с при измеренной 21,2 м/с, и такое совпадение убедило физиологов.

Рефрактерность и блокада каналов в модели

Рефрактерность в модель тоже не закладывали. После импульса $h$ остаётся низкой, а $n$ высокой, и новый стимул должен перебороть оба эффекта. В калькуляторе второй стимул 10 мкА/см² срабатывает, только если начинается не раньше чем через 15 мс после первого. Для 20 мкА/см² хватает 11 мс, для 40 мкА/см² 8 мс. Даже импульс 150 мкА/см², в 20 с лишним раз выше порога, не срабатывает раньше 5 мс. Так численно выглядит переход от абсолютной к относительной рефрактерности, подробнее о клиническом смысле периодов в статье про рефрактерный период.

Ползунки доступных каналов имитируют фармакологию. Уменьшение натриевой проводимости действует как тетродотоксин: при 80 % импульс ещё есть (пик 34,6 мВ), при 70 % стимул 10 мкА/см² его уже не вызывает. Уменьшение калиевой проводимости работает как тетраэтиламмоний. При 60 % и ниже покой теряет устойчивость, и модель начинает разряжаться сама. При нуле мембрана застревает около -0,6 мВ с инактивированными натриевыми каналами.

Нобелевская премия и наследники модели

В 1963 году Ходжкин и Хаксли получили Нобелевскую премию по физиологии и медицине вместе с Джоном Экклсом, изучавшим синапсы. Предсказания модели позже подтвердились на уровне молекул: в 1973 году Армстронг и Безанилья зарегистрировали воротные токи, то есть движение самих сенсоров напряжения, а метод пэтч-кламп Неера и Закмана (1976) показал открывание одиночных каналов.

Наследники модели идут в двух направлениях.

• Упрощение. Модель ФицХью-Нагумо (1961-1962) сводит четыре переменные к двум: быструю, которая объединяет $V$ и $m$, и медленную переменную восстановления, заменяющую $h$ и $n$. На фазовой плоскости с двумя переменными порог и циклы видны геометрически. Модель Морриса-Лекара (1981) делает то же для кальциевых импульсов.
• Уточнение. Марковские модели описывают канал дискретными состояниями «закрыт, открыт, инактивирован» с вероятностями переходов. Они отражают сопряжение инактивации с активацией, которое схема независимых частиц $m^3 h$ передать не может. Сердечные модели от Денниса Нобла (1962) до современных выросли из того же каркаса, пример в статье про фазу плато кардиомиоцита.

Частые ошибки

• Считать $m$, $h$ и $n$ реальными белковыми частицами. Это феноменологические переменные, показатели степени подобраны по кривым тока.
• Смешивать знаки оригинала 1952 года с современной записью, где покой -65 мВ, а деполяризация положительна.
• Думать, что пик импульса равен $E_{Na}$. В модели пик +39 мВ при $E_{Na} = +50$ мВ.
• Задавать порог как отдельный параметр. В модели его нет, он зависит от длительности стимула и текущих $h$ и $n$.
• Брать слишком крупный шаг Эйлера. $\tau_m$ около 0,24 мс, и шаг должен быть намного меньше, иначе пик искажается.

FAQ

Почему Ходжкин и Хаксли работали именно с аксоном кальмара? Его диаметр около 0,5 мм позволял ввести внутрь проволочные электроды и равномерно фиксировать потенциал по длине. На тонких аксонах позвоночных технике 1940-х годов это было недоступно.

Чем модель Ходжкина-Хаксли отличается от уравнения Голдмана-Ходжкина-Катца? Уравнение GHK даёт стационарный потенциал по проницаемостям и концентрациям. Модель Ходжкина-Хаксли описывает, как проводимости меняются во времени и как из этого складывается импульс.

Можно ли применять модель к нейронам человека? Каркас тот же, но параметры другие: больше типов каналов, включая кальциевые, температура 37 °C и свои кинетики. Модели нейронов коры строят по схеме Ходжкина-Хаксли с десятком ионных токов.

Коротко

Модель Ходжкина-Хаксли описывает мембрану как конденсатор с тремя параллельными проводимостями, а натриевый и калиевый пути задаёт воротными переменными $m$, $h$ и $n$ с зависящими от напряжения скоростями. Параметры измерены методом фиксации потенциала на гигантском аксоне кальмара. Численное решение четырёх уравнений даёт пик около +39 мВ, следовую гиперполяризацию до -76 мВ, порог около 7 мкА/см² для импульса 1 мс и рефрактерность. Работа принесла Нобелевскую премию 1963 года и стала основой всех последующих моделей нейрона.