Уравнение Голдмана-Ходжкина-Катца: потенциал покоя

Клетка в состоянии покоя поддерживает разность потенциалов между внутренней и внешней сторонами мембраны - около -70 мВ у нейронов млекопитающих. Откуда берётся это число и почему именно оно? Ответ даёт уравнение Голдмана-Ходжкина-Катца (GHK): оно учитывает сразу несколько ионов, каждый со своей проницаемостью и концентрационным градиентом. В отличие от уравнения Нернста, которое описывает равновесный потенциал одного иона, GHK описывает стационарный потенциал реальной мембраны, через которую одновременно текут токи K+, Na+ и Cl-. Подвигайте ползунки в калькуляторе ниже - он пересчитывает E_m мгновенно и показывает, как меняется вклад каждого иона.

Вывод уравнения GHK

Уравнение GHK получают из постановки стационарного состояния: суммарный ток через мембрану равен нулю. Для каждого иона ток описывается уравнением Нернста-Планка - диффузия плюс дрейф в электрическом поле. Голдман в 1943 году добавил ключевое допущение: электрическое поле внутри мембраны постоянно («constant field»). Это линеаризует расчёт и позволяет проинтегрировать ток по толщине мембраны аналитически.

Для трёх основных ионов нейрона - $\text{K}^+$, $\text{Na}^+$ и $\text{Cl}^-$ - при условии нулевого суммарного тока получаем:

$$E_m = \frac{RT}{F} \ln \frac{P_K [\text{K}^+]_o + P_{Na} [\text{Na}^+]_o + P_{Cl} [\text{Cl}^-]_i}{P_K [\text{K}^+]_i + P_{Na} [\text{Na}^+]_i + P_{Cl} [\text{Cl}^-]_o}$$

Здесь $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К) - газовая постоянная, $F = 96485$ Кл/моль - постоянная Фарадея, $T$ - абсолютная температура. При $T = 310$ К (37 °C) множитель $RT/F \approx 26{,}7$ мВ.

Важная деталь формулы: анионы $\text{Cl}^-$ входят «перекрёстно» - внутриклеточная концентрация в числитель, внеклеточная в знаменатель, - тогда как у катионов наоборот. Это следствие противоположного знака заряда: отрицательный ион движется под действием поля в сторону, противоположную катиону.

Рассчитать для своей задачи

Концентрации и проницаемости в норме

Стандартные значения для нейрона млекопитающих (ммоль/л):

В покое проницаемости относятся как $P_K : P_{Na} : P_{Cl} \approx 1 : 0{,}04 : 0{,}45$. Такое соотношение обусловлено тем, что в покое открыты преимущественно каналы утечки для K+ и часть Cl--каналов, тогда как потенциал-зависимые каналы Na+ закрыты.

Подставив эти числа в формулу GHK при 37 °C:

$$E_m = 26{,}7 \cdot \ln \frac{1 \cdot 5 + 0{,}04 \cdot 145 + 0{,}45 \cdot 4}{1 \cdot 140 + 0{,}04 \cdot 12 + 0{,}45 \cdot 110} \approx -73 \;\text{мВ}$$

Именно такой потенциал покоя измеряют патч-кламп электродами в нейронах гиппокампа. Для сравнения, нернстовский потенциал для K+ в тех же условиях: $E_K = 26{,}7 \cdot \ln(5/140) \approx -88$ мВ. Разница в 15 мВ - вклад Na+ и Cl-, которые сдвигают E_m в деполяризующую сторону.

Связь с уравнением Нернста

Уравнение Нернста - частный случай GHK. Если мембрана проницаема только для одного иона (например, $P_{Na} = P_{Cl} = 0$), формула GHK сворачивается в классическую форму Нернста:

$$E_K = \frac{RT}{F} \ln \frac{[\text{K}^+]_o}{[\text{K}^+]_i}$$

Это равновесный потенциал: при $E_m = E_K$ диффузионный поток K+ из клетки точно уравновешивается дрейфом во входящем электрическом поле. Как только добавляется хотя бы небольшая проницаемость для Na+, равновесие нарушается, и стационарный потенциал смещается положительнее $E_K$ - это и описывает GHK.

Рассчитать для своей задачи

Правый столбчатый график в калькуляторе показывает это наглядно: высота каждого столбика - насколько нернстовский потенциал иона отличается от рассчитанного E_m. Чем выше столбик K+, тем сильнее K+ «тянет» мембрану к -88 мВ, не давая ей деполяризоваться.

Роль каждого иона

Калий. Решающий вклад в потенциал покоя. Высокий внутриклеточный $[\text{K}^+]_i = 140$ мМ против $[\text{K}^+]_o = 5$ мМ создаёт градиент, выталкивающий K+ наружу. Отток положительных зарядов делает цитоплазму отрицательной. Канальная утечка K+ (Kir, TREK) постоянно открыта в покое.

Натрий. Небольшая покоящаяся проницаемость ($P_{Na} \approx 0{,}04 P_K$) через каналы утечки Na+ (NALCN) «подтягивает» E_m от -88 мВ к -73 мВ. При возбуждении потенциал-зависимые каналы Nav1 открываются и $P_{Na}$ за доли миллисекунды возрастает в 500-1000 раз, что и вызывает деполяризационную фазу потенциала действия.

Хлор. У большинства нейронов взрослых $E_{Cl} \approx E_m$, поэтому Cl- не генерирует тока в покое - его вклад нейтрален. Однако у незрелых нейронов $[\text{Cl}^-]_i$ выше, и тогда ГАМК-рецепторы, открывая Cl--каналы, вызывают деполяризацию, а не гиперполяризацию, как у взрослых.

Потенциал действия через призму GHK

При потенциале действия последовательно меняются проницаемости. Деполяризационная фаза: $P_{Na}$ резко растёт, числитель и знаменатель GHK меняются так, что E_m устремляется к $E_{Na} \approx +67$ мВ (пика он не достигает из-за быстрой инактивации Nav1). Реполяризационная фаза: Nav1 инактивируется, открываются задержанные K+-каналы (Kv), $P_K$ многократно превышает $P_{Na}$ - E_m возвращается к покою и на короткое время уходит ниже (следовая гиперполяризация), пока K+-каналы полностью не закроются.

Таким образом GHK описывает не только покой, но и динамику возбуждения - в нём зашита вся логика ионной природы биопотенциалов.

Частые ошибки

• Использование уравнения Нернста там, где нужно GHK. Уравнение Нернста даёт равновесный потенциал одного иона. Если в задаче участвуют два и более ионов с разными проницаемостями, нужно GHK.
• Перепутать знак для Cl-. В числителе GHK стоит $[\text{Cl}^-]_i$, в знаменателе $[\text{Cl}^-]_o$ - обратный порядок по сравнению с катионами. Ошибка в знаке меняет E_m на 10-20 мВ.
• Подставить температуру в градусах Цельсия. RT/F = 26,7 мВ при 37 °C, но в формулу идёт абсолютная температура T = 310 К.
• Пренебречь Cl-. В упрощённых версиях учебников Cl- часто опускают. Это даёт E_m ≈ -80 мВ вместо -73 мВ, то есть ошибку в 7-10 мВ.
• Спутать E_m с E_K. Нернстовский $E_K \approx -88$ мВ - это предел, к которому стремится E_m при $P_{Na} \to 0$. Реальный потенциал покоя положительнее из-за утечки Na+.

FAQ

Почему K+ определяет потенциал покоя, а не Na+? Потому что в покое $P_K \approx 25 P_{Na}$: через каналы утечки K+ проходит в 25 раз легче, чем Na+. Значит, именно K+ задаёт «якорь» E_m вблизи $E_K$. Если бы $P_{Na} = P_K$, потенциал покоя установился бы около $-11$ мВ - посередине между $E_K$ и $E_{Na}$.

Чем GHK отличается от уравнения Нернста? Нернст описывает равновесие одного иона с нулевым нетто-током через идеально избирательную мембрану. GHK описывает стационарное состояние реальной мембраны, через которую текут токи нескольких ионов одновременно, но в сумме дают ноль. GHK сводится к Нернсту, если обнулить проницаемости всех ионов кроме одного.

Как гиперкалиемия изменяет потенциал покоя? При повышении $[\text{K}^+]_o$ с 5 до 15 мМ числитель GHK растёт, знаменатель не меняется - отношение увеличивается, логарифм становится менее отрицательным. Расчёт: $E_m \approx 26{,}7 \cdot \ln\!\bigl((15 + 0{,}04 \cdot 145 + 0{,}45 \cdot 4)/(140 + 0{,}04 \cdot 12 + 0{,}45 \cdot 110)\bigr) \approx -56$ мВ. Деполяризация с -73 до -56 мВ приводит к спонтанной активности и мышечным судорогам - что и наблюдается клинически при гиперкалиемии.

Коротко

Уравнение GHK объединяет нернстовские потенциалы K+, Na+ и Cl- в единую формулу стационарного мембранного потенциала. В покое нейрона E_m ≈ -73 мВ определяется высокой проницаемостью для K+ при малой проницаемости для Na+ и Cl-. Именно соотношение проницаемостей, а не сами концентрации, управляет тем, какой ион «весит» больше в итоговом потенциале.