Модель GARCH волатильность: условная дисперсия ряда

Модель GARCH описывает волатильность финансового ряда как величину, которая сама меняется во времени и зависит от прошлого. Доходности акций, валют и индексов ведут себя не как ряд с постоянным разбросом: спокойные периоды сменяются всплесками, а крупные изменения тянут за собой новые крупные изменения. Это явление называют кластеризацией волатильности, и обычная регрессия с гомоскедастичными ошибками его не улавливает. Модель GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity) обобщает модель ARCH Энгла, позволяя условной дисперсии зависеть и от прошлых шоков, и от собственных прошлых значений. Ниже разберём уравнение условной дисперсии, переход от ARCH к GARCH(1,1), условие стационарности и персистентность, прогноз волатильности и оценку параметров.

Что моделирует GARCH

Модель GARCH описывает не саму доходность, а её условную дисперсию - ожидаемый разброс на следующий шаг при известном прошлом. Доходность представляют как

$r_t = \mu + \varepsilon_t, \qquad \varepsilon_t = \sigma_t z_t, \quad z_t \sim \text{i.i.d.}(0, 1),$

где $\mu$ - среднее (часто близкое к нулю), $z_t$ - стандартизированный шум, а $\sigma_t$ - условное стандартное отклонение, то есть волатильность в момент $t$. Ключевая идея: $\sigma_t^2$ не постоянна, а сама эволюционирует. Безусловная дисперсия ряда может существовать и быть конечной, но условная дисперсия меняется от наблюдения к наблюдению - это и есть условная гетероскедастичность, давшая модели название.

Чтобы прочувствовать, как коэффициенты $\omega$, $\alpha$, $\beta$ задают уровень и инерцию волатильности, удобно подставить конкретные значения и посмотреть на прогноз. Этим занимается калькулятор ниже.

Модель ARCH как отправная точка

Прежде чем перейти к GARCH, стоит понять модель ARCH($q$), предложенную Робертом Энглом в 1982 году. В ней условная дисперсия зависит только от прошлых квадратов шоков:

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \dots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2.$

Логика прозрачна: крупный шок $\varepsilon_{t-1}$ в прошлом поднимает прогноз дисперсии на следующий шаг, что и воспроизводит кластеризацию волатильности. Проблема в том, что для адекватного описания инерции реальных рядов приходится брать большой порядок $q$ - десятки лагов, - а это много параметров и неустойчивые оценки. Именно эту громоздкость и решает обобщение до GARCH: оно заменяет длинный хвост лагов компактным авторегрессионным членом.

Уравнение GARCH(1,1)

Модель GARCH, введённая Тимом Боллерслевом в 1986 году, добавляет в уравнение условной дисперсии её собственные прошлые значения. Самая употребительная форма - GARCH(1,1):

$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2,$

где $\omega > 0$ - постоянная (базовый уровень дисперсии), $\alpha \ge 0$ - коэффициент при прошлом квадрате шока (реакция на новости, ARCH-член), $\beta \ge 0$ - коэффициент при прошлой условной дисперсии (инерция, GARCH-член). Член $\alpha\,\varepsilon_{t-1}^2$ отвечает за быструю реакцию волатильности на свежий шок, а $\beta\,\sigma_{t-1}^2$ - за её плавное затухание и память. По сути одно слагаемое $\beta\,\sigma_{t-1}^2$ заменяет бесконечный хвост ARCH-лагов: подставляя уравнение в само себя, GARCH(1,1) можно развернуть в ARCH($\infty$) с геометрически убывающими весами.

Именно поэтому GARCH(1,1) с тремя параметрами часто описывает данные лучше, чем ARCH с десятком. Эта же модель родственна экспоненциально взвешенному скользящему среднему (EWMA), которое получается как частный случай при $\omega = 0$ и $\alpha + \beta = 1$.

Условие стационарности и безусловная дисперсия

Чтобы у ряда существовала конечная постоянная безусловная дисперсия, сумма коэффициентов должна быть строго меньше единицы:

$\alpha + \beta < 1.$

При выполнении этого условия безусловная (долгосрочная) дисперсия равна

$\sigma^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta}.$

Это тот уровень, к которому стягивается прогноз волатильности на длинном горизонте. Условие $\alpha + \beta < 1$ играет здесь ту же роль, что и устойчивость авторегрессии: при $\alpha + \beta \ge 1$ безусловная дисперсия не определена, и ряд не является ковариационно стационарным. Граничный случай $\alpha + \beta = 1$ выделяют в отдельную модель - интегрированный GARCH (IGARCH), где шоки в волатильность не затухают, а накапливаются бессрочно, аналогично единичному корню в уровне ряда. По духу это близко к средневозвратной диффузии процесса Орнштейна-Уленбека: там тоже устойчивость определяется тем, тянет ли система процесс обратно к долгосрочному уровню.

Персистентность и прогноз волатильности

Сумма $\alpha + \beta$ называется персистентностью волатильности: она показывает, насколько долго шок отзывается в будущей дисперсии. Для дневных финансовых рядов типичны значения около $0.95$–$0.99$, то есть волатильность очень инерционна - всплеск гаснет медленно. Прогноз условной дисперсии на $h$ шагов вперёд от момента $t$ удобно записать через отклонение от долгосрочного уровня:

$E_t[\sigma_{t+h}^2] = \sigma^2 + (\alpha + \beta)^{h-1}\bigl(\sigma_{t+1}^2 - \sigma^2\bigr).$

Текущее отклонение волатильности от своего среднего уровня затухает геометрически со скоростью $(\alpha + \beta)^{h}$: чем ближе персистентность к единице, тем дольше прогноз держится вдали от $\sigma^2$ и тем медленнее сходится. Это прямое следствие того же условия стационарности - оно гарантирует, что прогноз вообще сходится к конечному пределу $\sigma^2$, а не расходится. Полупериод затухания шока примерно равен $\ln(0.5)/\ln(\alpha + \beta)$ дней.

Оценка параметров методом максимального правдоподобия

Параметры $\omega$, $\alpha$, $\beta$ оценивают методом максимального правдоподобия (ML), поскольку обычный МНК здесь неприменим - дисперсия ненаблюдаема и нелинейно зависит от прошлого. При нормальном $z_t$ логарифмическая функция правдоподобия складывается из вкладов всех наблюдений:

$\ln L = -\frac{1}{2}\sum_{t=1}^{T}\left(\ln 2\pi + \ln \sigma_t^2 + \frac{\varepsilon_t^2}{\sigma_t^2}\right),$

где каждое $\sigma_t^2$ рекуррентно вычисляется по уравнению GARCH из предыдущих значений. Максимум этой функции ищут численно (итеративными методами оптимизации), задавая начальное $\sigma_1^2$ безусловной дисперсией выборки. Если стандартизированные остатки $\varepsilon_t/\sigma_t$ имеют более тяжёлые хвосты, чем нормальное распределение (а у финансовых данных так почти всегда), вместо нормального правдоподобия берут $t$-распределение Стьюдента или используют квази-ML с робастными стандартными ошибками. Наличие самой ARCH/GARCH-структуры предварительно проверяют тестом на условную гетероскедастичность остатков: если эффекта нет, GARCH-модель попросту не нужна.

Расширения: асимметрия и эффект рычага

Базовый GARCH симметричен: положительный и отрицательный шоки одинакового размера дают одинаковый прирост волатильности, потому что в уравнение входит квадрат $\varepsilon_{t-1}^2$. Но на рынках акций падение обычно повышает волатильность сильнее, чем рост той же величины, - это эффект рычага (leverage effect). Чтобы его уловить, используют асимметричные расширения: EGARCH Нельсона работает с логарифмом дисперсии и включает знак шока, а GJR-GARCH (модель Глостена-Джаганнатана-Ранкла) добавляет отдельный член, активирующийся только при отрицательных шоках. Эти модели сохраняют ядро GARCH, но делают реакцию волатильности зависящей от направления движения, что важно для оценки риска и ценообразования опционов.

Частые ошибки

• Путают условную и безусловную дисперсию: GARCH моделирует меняющуюся во времени условную $\sigma_t^2$, а постоянная $\sigma^2 = \omega/(1-\alpha-\beta)$ - лишь её долгосрочный предел.
• Игнорируют условие $\alpha + \beta < 1$. При $\alpha + \beta \ge 1$ безусловная дисперсия не существует, а прогноз волатильности не сходится к конечному уровню.
• Считают, что положительные и отрицательные шоки действуют по-разному в базовом GARCH. Из-за квадрата шока модель симметрична - для эффекта рычага нужны EGARCH или GJR-GARCH.
• Оценивают параметры через МНК. Условная дисперсия ненаблюдаема, поэтому корректна только оценка по максимуму правдоподобия с рекуррентным вычислением $\sigma_t^2$.
• Применяют нормальное правдоподобие к данным с тяжёлыми хвостами, занижая риск экстремальных движений. Лучше брать $t$-распределение или квази-ML.

FAQ

Чем GARCH отличается от ARCH? ARCH выражает условную дисперсию только через прошлые квадраты шоков и требует много лагов для описания инерции. GARCH добавляет прошлые значения самой дисперсии ($\beta\,\sigma_{t-1}^2$), поэтому даже GARCH(1,1) с тремя параметрами воспроизводит длинную память волатильности, эквивалентную ARCH($\infty$).

Что означает условие $\alpha + \beta < 1$? Это условие ковариационной стационарности: при его выполнении у ряда есть конечная безусловная дисперсия $\omega/(1-\alpha-\beta)$, а прогноз волатильности сходится к ней. Сумма $\alpha + \beta$ - персистентность; чем она ближе к единице, тем медленнее затухают шоки.

Почему параметры оценивают максимумом правдоподобия, а не МНК? Условная дисперсия $\sigma_t^2$ ненаблюдаема и нелинейно зависит от всей предыстории, так что обычный МНК неприменим. Функцию правдоподобия с рекуррентно вычисляемыми $\sigma_t^2$ максимизируют численно, при тяжёлых хвостах - с $t$-распределением.

Коротко

Модель GARCH описывает волатильность финансового ряда как условную дисперсию, которая зависит и от прошлых шоков, и от своих прошлых значений: $\sigma_t^2 = \omega + \alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 + \beta\,\sigma_{t-1}^2$. Это обобщение ARCH воспроизводит кластеризацию волатильности компактно - тремя параметрами вместо длинного хвоста лагов. Условие $\alpha + \beta < 1$ обеспечивает стационарность и конечную безусловную дисперсию $\omega/(1-\alpha-\beta)$, а сумма $\alpha + \beta$ задаёт персистентность и скорость затухания прогноза. Параметры оценивают максимумом правдоподобия, а для эффекта рычага используют асимметричные расширения EGARCH и GJR-GARCH.