Модель Блэка-Шоулза: цена опциона за пять параметров

Модель Блэка-Шоулза опционы превращает в задачу с замкнутым решением: вместо перебора сценариев цена европейского контракта считается по одной формуле через пять входных величин. Эта статья разбирает, откуда берётся формула, что значат вспомогательные переменные $d_1$ и $d_2$, как влияет волатильность, чем call отличается от put и где студенты чаще всего ошибаются в расчётах.

Что описывает модель Блэка-Шоулза

Модель Блэка-Шоулза (1973) даёт цену европейского опциона - контракта, который можно исполнить только в дату экспирации. Базовый актив (акция) считается следующим геометрическому броуновскому движению:

$dS = \mu S\,dt + \sigma S\,dW.$

Здесь $S$ - цена актива, $\mu$ - ожидаемая доходность, $\sigma$ - волатильность, $dW$ - приращение винеровского процесса. Ключевая идея - построить безрисковый портфель из опциона и базового актива так, чтобы случайная составляющая $dW$ полностью сократилась. Тогда такой портфель обязан приносить безрисковую ставку $r$, иначе возникает арбитраж.

Из этого требования выводится дифференциальное уравнение в частных производных - уравнение Блэка-Шоулза:

$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS\frac{\partial V}{\partial S} - rV = 0,$

где $V$ - стоимость производного инструмента. Решая его с граничным условием $V(S,T)=\max(S-K,0)$ для колл-опциона, получают замкнутую формулу. Важно, что в итоговом ответе исчезает $\mu$: реальная ожидаемая доходность актива не влияет на цену опциона. Это и есть принцип риск-нейтрального оценивания - мир заменяется «искусственным», где все активы растут по ставке $r$.

Пять входных параметров

Чтобы оценить европейский опцион по модели Блэка-Шоулза, нужно знать ровно пять величин:

• $S_0$ - текущая цена базового актива (спот);
• $K$ - страйк, цена исполнения;
• $T$ - время до экспирации в годах;
• $r$ - безрисковая ставка (непрерывное начисление);
• $\sigma$ - годовая волатильность доходности актива.

Дивиденды и купоны добавляются отдельными поправками, но в классической формуле их нет. Подставьте свои числа в калькулятор ниже - он соберёт условие и пошагово посчитает цену call и put.

Формула цены call и put

Для европейского колл-опциона без дивидендов цена равна:

$C = S_0\,N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2),$

а для пут-опциона:

$P = K e^{-rT} N(-d_2) - S_0\,N(-d_1),$

где $N(\cdot)$ - функция распределения стандартного нормального закона. Вспомогательные переменные:

$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)\,T}{\sigma\sqrt{T}}, \qquad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}.$

Цены call и put связаны паритетом: $C - P = S_0 - K e^{-rT}$. Это удобная проверка: если посчитанные по отдельности call и put не удовлетворяют паритету, где-то ошибка в подстановке.

Смысл переменных d1 и d2

Переменные $d_1$ и $d_2$ - не магические константы. Множитель $N(d_2)$ - это вероятность того, что в риск-нейтральном мире опцион окажется «в деньгах», то есть $S_T > K$. Слагаемое $S_0 N(d_1)$ - текущая стоимость получения актива при условии исполнения, дисконтированная с учётом ожидаемой цены. Разность $d_1 - d_2 = \sigma\sqrt{T}$ показывает, что чем выше волатильность и чем дольше срок, тем сильнее «расходятся» эти две вероятности.

Логарифм $\ln(S_0/K)$ называют «лог-моментностью»: при $S_0 = K$ опцион «при деньгах» (at-the-money), и знак $d_1$, $d_2$ определяется почти целиком слагаемым со ставкой и волатильностью. Когда $S_0$ заметно больше $K$ (опцион глубоко «в деньгах»), оба аргумента уходят далеко вправо, $N(d_1)\to 1$, и цена call приближается к $S_0 - Ke^{-rT}$ - внутренней стоимости с дисконтом. Наоборот, при $S_0 \ll K$ обе вероятности стремятся к нулю, и премия за такой «безнадёжный» опцион почти исчезает. Так формула непрерывно интерполирует между двумя крайними режимами, а вся «временная стоимость» опциона сосредоточена около страйка, где неопределённость исхода максимальна.

Роль волатильности

Волатильность $\sigma$ - единственный параметр модели, который нельзя прочитать с рынка напрямую: ставку, спот, страйк и срок мы знаем точно. Поэтому на практике задачу часто разворачивают: по рыночной цене опциона находят подразумеваемую волатильность (implied volatility), решая уравнение $C_{\text{модель}}(\sigma) = C_{\text{рынок}}$ численно. Цена опциона строго растёт по $\sigma$, поэтому решение единственно.

Производная цены по волатильности называется вегой: $\mathcal{V} = \partial C/\partial\sigma = S_0\,\varphi(d_1)\sqrt{T}$, где $\varphi$ - плотность нормального распределения. Чем больше вега, тем чувствительнее опцион к оценке $\sigma$ - и тем дороже ошибка в этом параметре. Вега максимальна для опционов «при деньгах» и растёт с увеличением срока: долгосрочные at-the-money контракты - самый «волатильно-чувствительный» инструмент.

Интуиция проста: волатильность измеряет разброс возможных будущих цен. Чем шире распределение, тем больше шанс, что цена уйдёт далеко «в деньги», а убыток покупателя при этом ограничен уплаченной премией. Асимметрия выплаты «неограниченная прибыль - ограниченный убыток» и делает опцион тем дороже, чем выше $\sigma$. Поэтому всплески рыночной неопределённости (отчётности, выборы, кризисы) поднимают цены опционов даже при неизменном споте.

Греки: чувствительности цены

Частные производные цены опциона по параметрам называют «греками». Они показывают, как меняется премия при сдвиге одного фактора:

• Дельта $\Delta = \partial C/\partial S_0 = N(d_1)$ - реакция на цену актива, она же коэффициент хеджирования.
• Гамма $\Gamma = \partial^2 C/\partial S_0^2 = \varphi(d_1)/(S_0\sigma\sqrt{T})$ - скорость изменения дельты.
• Тета $\Theta = \partial C/\partial T$ - временной распад, обычно отрицателен для покупателя.
• Ро $\rho = \partial C/\partial r$ - чувствительность к ставке.

Греки выводятся прямым дифференцированием формулы и лежат в основе дельта-хеджирования: продавец опциона держит $N(d_1)$ единиц актива, чтобы локально занулить риск. Поскольку дельта меняется при движении цены (на это указывает гамма), хеджирующую позицию приходится периодически перебалансировать - именно непрерывность такой перебалансировки и предполагает идеальная модель. На практике ребалансировка дискретна, и остаточный риск тем меньше, чем чаще трейдер корректирует портфель. Если вы разбираете доказательства через производные нормального распределения, смежной может оказаться статья про характеристическую функцию в теории вероятностей.

Допущения и границы применимости

Формула красива, но опирается на жёсткие предположения: постоянная волатильность, отсутствие транзакционных издержек, возможность непрерывного хеджирования, лог-нормальное распределение цен и европейский тип исполнения. Реальные рынки нарушают почти каждое из них - отсюда «улыбка волатильности», когда implied volatility зависит от страйка. Для американских опционов (исполнение в любой момент) формула не работает напрямую: нужны биномиальные деревья или численные методы.

Частые ошибки

• Проценты вместо долей. Ставка $r = 5\%$ должна войти как $0.05$, волатильность $\sigma = 20\%$ - как $0.2$. Подстановка $5$ и $20$ даёт абсурдные цены.
• Срок не в годах. $T$ измеряется в годах: 3 месяца - это $0.25$, а не $3$.
• Дисконтируется не тот член. В call дисконтируется страйк ($Ke^{-rT}$), а не спот; $S_0$ остаётся без множителя $e^{-rT}$.
• Путаница знаков в put. В пут-формуле аргументы берутся со знаком минус: $N(-d_2)$ и $N(-d_1)$, а не $N(d_2)$ и $N(d_1)$.
• Игнорирование дивидендов. Для акции с дивидендной доходностью $q$ нужно заменить $S_0$ на $S_0 e^{-qT}$ (модель Мертона).

FAQ

Чем европейский опцион отличается от американского в контексте модели? Европейский исполняется только в дату экспирации - именно для него выведена формула. Американский можно исполнить раньше, поэтому его цена считается численно (биномиальное дерево, метод конечных разностей), и в общем случае она выше или равна европейской.

Почему в формуле фигурирует $\sigma^2/2$, а не просто $\sigma$? Это поправка Ито: при переходе к логарифму цены $\ln S$ в дрейфе появляется член $-\sigma^2/2$. Он отражает разницу между средним арифметическим и средним геометрическим доходностей.

Что делать, если волатильность неизвестна? Если известна рыночная цена опциона, решают обратную задачу - ищут подразумеваемую волатильность численно (метод Ньютона или деление пополам), используя монотонность цены по $\sigma$.

Коротко

Модель Блэка-Шоулза оценивает европейский опцион по пяти параметрам - спот, страйк, срок, ставка и волатильность - через формулу $C = S_0 N(d_1) - K e^{-rT} N(d_2)$. Переменные $d_1$ и $d_2$ кодируют риск-нейтральные вероятности исполнения, греки описывают чувствительности и дают рецепт хеджирования, а единственный «скрытый» параметр - волатильность - на практике извлекают обратно из рыночных цен. Помните о допущениях (постоянная $\sigma$, непрерывное хеджирование, европейский тип) и следите за единицами измерения.