Расширенный тест Дики-Фуллера: проверка на единичный корень

Расширенный тест Дики-Фуллера (ADF, augmented Dickey-Fuller) - это статистический критерий, который проверяет, есть ли у временного ряда единичный корень, то есть является ли ряд нестационарным. Это первый шаг почти любого анализа временных рядов: пока вы не убедились, что ряд стационарен, регрессии по нему дают мнимые зависимости, а прогнозы расходятся. Слово «расширенный» означает, что к исходному тесту Дики-Фуллера добавляют лаги разностей ряда, чтобы убрать автокорреляцию остатков. Ниже разберём, что такое единичный корень, как строится ADF-регрессия, как считается статистика и почему её сравнивают не с таблицей Стьюдента, а с критическими значениями MacKinnon. Чтобы сразу почувствовать связь между коэффициентом авторегрессии и выводом теста, покрутите калькулятор: он строит ряд, считает ADF-статистику и показывает, по какую сторону критического значения она оказалась.

Что такое единичный корень и зачем его искать

Простейшая модель временного ряда - авторегрессия первого порядка AR(1):

$y_t = \rho\,y_{t-1} + \varepsilon_t,$

где $\rho$ - коэффициент авторегрессии, а $\varepsilon_t$ - белый шум. Поведение ряда целиком определяется значением $\rho$. Если $|\rho| < 1$, ряд стационарен: любое отклонение со временем затухает, и ряд возвращается к своему среднему уровню. Если же $\rho = 1$, мы получаем случайное блуждание $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ - у такого ряда единичный корень, отклонения не затухают, а накапливаются, и ряд медленно уплывает в сторону без всякой тенденции к возврату. Именно случай $\rho = 1$ и проверяет тест: наличие единичного корня означает нестационарность.

Различие между двумя режимами видно невооружённым глазом, если менять $\rho$ и смотреть на форму ряда - мень-реверсивный ряд жмётся к среднему, а блуждание разбредается.

Рассчитать для своей задачи

Как строится ADF-регрессия

Вычитая $y_{t-1}$ из обеих частей уравнения AR(1), удобно переписать модель через разности. Обозначим $\gamma = \rho - 1$, тогда

$\Delta y_t = \gamma\,y_{t-1} + \varepsilon_t,$

где $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$. Теперь нулевая гипотеза о единичном корне $\rho = 1$ превращается в простое и удобное условие $H_0: \gamma = 0$. Если $\gamma = 0$, разности зависят только от шума - это и есть случайное блуждание. Если же $\gamma < 0$ (то есть $\rho < 1$), ряд стационарен. Расширенная версия добавляет в регрессию $p$ лагов разностей, чтобы поглотить автокорреляцию остатков, плюс при необходимости константу $\alpha$ и тренд $\beta t$:

$\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma\,y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t.$

Это и есть полная ADF-регрессия. Лаговые члены $\delta_i\,\Delta y_{t-i}$ - единственное, чем расширенный тест отличается от обычного теста Дики-Фуллера: они нужны, чтобы остатки $\varepsilon_t$ оставались некоррелированными, иначе статистика теста будет смещена. Число лагов $p$ выбирают так, чтобы остатки очистились, но не раздувать модель лишними параметрами.

Как считается ADF-статистика

Коэффициенты ADF-регрессии оценивают обычным методом наименьших квадратов. Тестовая статистика - это t-отношение для коэффициента $\gamma$ при $y_{t-1}$:

$\text{ADF} = \frac{\hat\gamma}{\text{SE}(\hat\gamma)},$

где $\hat\gamma$ - оценка коэффициента, а $\text{SE}(\hat\gamma)$ - его стандартная ошибка. Логика простая: если $\gamma$ значимо отрицателен, значит, ряд возвращается к среднему и единичного корня нет. Поэтому статистика всегда сравнивается с отрицательными критическими значениями, а гипотеза отвергается, когда ADF оказывается достаточно глубоко в отрицательной зоне.

Рассчитать для своей задачи

Правило решения наглядно ложится на числовую ось. Слева от критического значения находится область отвержения: если наблюдаемая ADF-статистика попала в неё, единичный корень отвергаем и считаем ряд стационарным. Если же статистика правее критического значения (ближе к нулю), отвергнуть гипотезу не удаётся - данных не хватает, чтобы отличить ряд от случайного блуждания.

Критические значения MacKinnon

Здесь кроется главная тонкость теста. При $H_0$ ряд нестационарен, поэтому стандартная теория t-статистики не работает: распределение ADF-статистики при единичном корне несимметрично и смещено влево, его табулировал Дики-Фуллер, а уточнил MacKinnon. Поэтому ADF-статистику нельзя сравнивать с обычной таблицей Стьюдента - нужны специальные критические значения. Для спецификации с константой и большого числа наблюдений они примерно равны:

$-3{,}51\ (1\%), \qquad -2{,}89\ (5\%), \qquad -2{,}58\ (10\%).$

Конкретные числа зависят от спецификации (без константы, с константой, с константой и трендом) и от длины ряда, поэтому в отчётах ADF-теста критические значения всегда приводятся рядом со статистикой. В калькуляторе выше переключение уровня значимости меняет именно эту границу: чем строже уровень (1% против 10%), тем дальше влево должна уйти статистика, чтобы отвергнуть единичный корень.

Динамику решения удобно проследить на одной оси: пока коэффициент $\rho$ падает от единицы, ADF-статистика едет влево и в какой-то момент пересекает критическую черту.

Рассчитать для своей задачи

Как читать вывод теста на практике

Сравнение статистики с критическим значением можно записать через p-value, которое выдают статистические пакеты (adfuller в Python, ur.df в R). Если p-value меньше выбранного уровня значимости, единичный корень отвергается и ряд стационарен. Если ряд оказался нестационарным, его обычно приводят к стационарности взятием разностей: $\Delta y_t = y_t - y_{t-1}$. Часто одной разности достаточно - такой ряд называют интегрированным первого порядка, $I(1)$. После дифференцирования тест прогоняют заново и убеждаются, что единичный корень больше не обнаруживается. Этот же ход рассуждений лежит в основе моделей ARIMA, где буква I как раз отвечает за число взятых разностей. Полезно помнить, что тест проверяет именно нестационарность по причине единичного корня, а не нестационарность вообще: ряд с детерминированным трендом - отдельный случай, для которого в регрессию добавляют член $\beta t$.

Частые ошибки

• Перепутана нулевая гипотеза. В тесте Дики-Фуллера $H_0$ - это наличие единичного корня (ряд нестационарен), а не наоборот. Маленькое p-value означает стационарность, а не её отсутствие.
• Сравнение со Стьюдентом. ADF-статистику нельзя сверять с обычными критическими значениями t-распределения: при единичном корне распределение другое, нужны значения MacKinnon.
• Не та спецификация. Для ряда с явным трендом нужна спецификация с трендом, иначе тест систематически не отвергает единичный корень. Лишняя константа или тренд, наоборот, снижают мощность.
• Слишком мало или слишком много лагов. При недостатке лагов остатки автокоррелированы и статистика смещена, при избытке падает мощность теста. Число $p$ подбирают по критериям AIC или BIC.
• Вывод по одному тесту. ADF имеет низкую мощность при $\rho$ близком к единице, поэтому его результат полезно подкреплять тестом KPSS, у которого нулевая гипотеза обратная.

FAQ

Что означает, если расширенный тест Дики-Фуллера не отверг единичный корень? Это значит, что данных не хватило, чтобы отличить ряд от случайного блуждания: ряд считают нестационарным. Обычно берут первую разность и прогоняют тест снова. Важно, что неотвержение $H_0$ не доказывает наличие единичного корня, а лишь не опровергает его.

Чем расширенный тест Дики-Фуллера отличается от обычного? Расширенная версия добавляет в регрессию лаги разностей $\Delta y_{t-i}$. Они нужны, чтобы убрать автокорреляцию остатков, которая в простом тесте Дики-Фуллера смещает статистику. На стационарных рядах с автокорреляцией расширенный вариант надёжнее, поэтому на практике используют именно его.

Как выбрать число лагов в ADF-тесте? Чаще всего по информационным критериям: перебирают значения $p$ и берут то, что минимизирует AIC или BIC, либо начинают с верхней границы и убирают незначимые лаги. Цель - добиться некоррелированных остатков минимальным числом параметров, чтобы не терять мощность теста.

Коротко

Расширенный тест Дики-Фуллера проверяет нулевую гипотезу о единичном корне $H_0: \gamma = 0$ в регрессии $\Delta y_t = \alpha + \beta t + \gamma\,y_{t-1} + \sum \delta_i\,\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t$. Статистика считается как t-отношение $\text{ADF} = \hat\gamma / \text{SE}(\hat\gamma)$ и сравнивается с критическими значениями MacKinnon, а не с таблицей Стьюдента. Если статистика ниже критической, единичный корень отвергаем и ряд считаем стационарным; иначе ряд приводят к стационарности взятием разностей. Лаги разностей в расширенной версии нужны, чтобы остатки оставались некоррелированными, а число лагов подбирают по информационным критериям.