Метод Хэйра: квота, наибольшие остатки и парадоксы

Метод Хэйра, он же метод наибольших остатков Хэйра–Нимейера или, в американской традиции, метод Гамильтона, решает техническую, но политически острую задачу: как превратить голоса за партийные списки в целое число мандатов. Сумму голосов делят на число мест, каждому списку выдают столько мест, сколько целых квот он набрал, а оставшиеся раздают по наибольшим дробным остаткам. Так распределяются 225 списочных мандатов Государственной Думы. В задачах метод обычно сравнивают с делителями д’Ондта и Сент-Лагю. Калькулятор ниже проводит расчёт на ваших числах и показывает, где методы расходятся.

Что такое квота Хэйра

Квота Хэйра - число голосов, которое «стоит» один мандат:

$$q = \frac{V}{S},$$

где $V$ - сумма голосов за списки, допущенные к распределению, а $S$ - число мандатов. Точная квота списка

$$e_i = \frac{v_i}{q} = S \cdot \frac{v_i}{V}$$

показывает, сколько мест ему полагалось бы, если бы мандат можно было резать на части. Резать нельзя, и дробные хвосты надо куда-то деть.

Квота названа в честь английского юриста Томаса Хэйра, описавшего её в 1850-е годы. Вторая фамилия принадлежит немецкому математику Хорсту Нимейеру, который в 1970-е предложил этот способ Бундестагу вместо метода д’Ондта. В США тот же алгоритм ещё в 1792 году предложил Александр Гамильтон для распределения мест в Палате представителей между штатами.

В $V$ входят только голоса списков, прошедших заградительный пункт. Как барьер отсекает партии и сколько голосов при этом пропадает, разобрано в статье про избирательный барьер; здесь мы начинаем с уже прошедших списков.

Алгоритм: целая часть и наибольшие остатки

1. Квота. Складываем голоса допущенных списков и делим на число мандатов: $q = V/S$.
2. Первичное распределение. Каждый список получает целую часть точной квоты $\lfloor e_i \rfloor$.
3. Остаток мест. Нераспределённых мандатов $S - \sum \lfloor e_i \rfloor$, их всегда меньше, чем списков.
4. Вторичное распределение. Эти мандаты раздаются по одному спискам с наибольшими дробными частями $e_i - \lfloor e_i \rfloor$.
5. Ничья. При равных остатках российский закон отдаёт мандат списку с большим числом голосов.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда главное свойство метода: каждый список получает либо целую часть своей точной квоты, либо на единицу больше. Это называют правилом квоты. Метод Хэйра соблюдает его всегда, делительные методы нет.

Пошаговый пример: 10 мандатов на пять партий

Пять партий набрали 100 000 голосов, распределяется 10 мандатов. Квота $q = 100\,000 / 10 = 10\,000$ голосов.

По целой части роздано 7 мандатов, осталось 3. Остатки по убыванию: Г (0,95), Б и Д (по 0,60), В (0,55), А (0,30), поэтому места уходят Г, Б и Д. Итог: 4, 3, 1, 1, 1. Партия Д с 6 % голосов получает 10 % мест, а лидер с 43 % голосов получает 40 %: метод Хэйра скорее подтягивает малые списки.

Хэйр против д’Ондта, Сент-Лагю и Друпа: кому что выгодно

Делительные методы делят голоса каждого списка на ряд делителей, а мандаты получают $S$ наибольших частных: у д’Ондта делители 1, 2, 3…, у Сент-Лагю 1, 3, 5…

У д’Ондта на тех же данных десять наибольших частных: 43 000 (А), 26 000 (Б), 21 500 (А), 15 500 (В), 14 333 (А), 13 000 (Б), 10 750 (А), 9 500 (Г), 8 667 (Б), 8 600 (А). Результат 5, 3, 1, 1, 0: лидер забирает место партии Д. Сент-Лагю здесь совпадает с Хэйром. Квота Друпа $q = \lfloor V/(S+1) \rfloor + 1 = 9\,091$ меньше квоты Хэйра, по целой части уходит 8 мест, остатков хватает на два мандата, они достаются Б и А: снова 5, 3, 1, 1, 0.

• Квота Хэйра самая дружелюбная к малым спискам среди квотных методов: остаток 0,6 у маленькой партии весит столько же, сколько у гиганта.
• Квота Друпа и д’Ондт дают премию крупным партиям; д’Ондт может выдать лидеру больше целой части квоты плюс один.
• Сент-Лагю ближе всего к нейтральному; вариант с первым делителем 1,4, как в Норвегии, немного придерживает самые малые партии.
• Метод Империали с делителями 2, 3, 4… сильнее всех искажает пропорцию в пользу лидера.

Как правило подсчёта влияет на число партий в парламенте, показано в статье про законы Дюверже; выбор между Хэйром и д’Ондтом лишь тонкая настройка того же механического эффекта.

Парадокс Алабамы и парадокс новых штатов

В 1880 году служащий Бюро переписи США Чарльз Ситон пересчитал распределение мест для палат разного размера и обнаружил: при 299 местах Алабама получает 8 мандатов, а при 300 только 7. Мест стало больше, а штат потерял одно.

Наш пример воспроизводит сбой. При 11 мандатах квота $100\,000 / 11 \approx 9\,090{,}91$, точные квоты 4,73; 2,86; 1,705; 1,045; 0,66. Целые части дают 8 мест, три оставшихся получают Б (0,86), А (0,73) и В (0,705). Итог 5, 3, 2, 1, 0: партия Д теряет единственный мандат, хотя её голоса не изменились. Каждый добавленный мандат увеличивает точную квоту на $v_i/V$: у А на 0,43, у В на 0,155, а у Д лишь на 0,06, и крупные остатки обгоняют малый. Сент-Лагю на 11 мандатах даёт 4, 3, 2, 1, 1: делительные методы от этого парадокса свободны по построению.

Рассчитать для своей задачи

Парадокс новых штатов проявился в 1907 году: после принятия Оклахомы палату увеличили на положенные ей пять мест, но пересчёт передвинул одно место от Нью-Йорка к Мэну. Есть и парадокс населения: быстрее растущий штат может потерять место в пользу медленного. Мишель Балински и Пейтон Янг доказали, что ни один метод не может одновременно соблюдать правило квоты и быть свободным от парадокса населения. После этих сбоев США в 1911 году перешли на метод Уэбстера, аналог Сент-Лагю, а с 1941 года применяют метод Хантингтона–Хилла.

Метод Хэйра на выборах в Государственную Думу

Методика записана в статье 89 федерального закона от 22.02.2014 № 20-ФЗ «О выборах депутатов Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации». Сумма голосов за допущенные федеральные списки делится на 225, результат закон называет первым избирательным частным; это и есть квота Хэйра. Целая часть от деления голосов списка на частное даёт первичное распределение, оставшиеся мандаты уходят спискам с наибольшей дробной частью, а при равенстве дробных частей до шестого знака выигрывает список с большим числом голосов. Между региональными группами внутри списка мандаты делятся тем же способом, через второе избирательное частное.

Проверим на выборах 2021 года. Пять прошедших списков получили 50 176 609 голосов, частное равно 223 007,15. Точные квоты: «Единая Россия» 125,844, КПРФ 47,804, ЛДПР 19,068, «Справедливая Россия - За правду» 18,841, «Новые люди» 13,442. По целой части роздано 222 мандата, три оставшихся ушли ЕР, СРЗП и КПРФ. Итог 126, 48, 19, 19, 13, ровно столько списочных мандатов партии и получили. ЛДПР набрала на 50 тысяч голосов больше «Справедливой России», но мандатов у них поровну: остаток ЛДПР всего 0,068. На этих данных д’Ондт и Сент-Лагю дают тот же результат, методы сильнее расходятся в небольших округах. На региональных выборах методику задаёт закон субъекта, и с 2007 года часть регионов перешла на метод Империали.

Где ещё применяют метод Хэйра

Бундестаг распределял места по Хэйру–Нимейеру на выборах 1987–2005 годов, а с 2009 года перешёл на метод Сент-Лагю - Шеперса. Квоту Хэйра с наибольшими остатками используют на выборах парламентов Украины и Литвы. В Гонконге метод применяли в территориальных округах Законодательного совета, и там проявилась его уязвимость: крупные партии дробили список на несколько, потому что два списка с хорошими остатками получают больше мест, чем один большой. При д’Ондте дробление невыгодно.

Метод Хэйра и единый передаваемый голос: не путать

Томас Хэйр придумал квоту для системы единого передаваемого голоса: избиратель ранжирует кандидатов, набравший квоту избирается, а излишек его голосов переходит к следующим предпочтениям. Поэтому в англоязычной литературе «системой Хэйра» называют именно этот вариант, а в теории общественного выбора «правилом Хэйра» зовут поочерёдное выбывание кандидата с наименьшим числом первых мест. Современные системы единого передаваемого голоса в Ирландии и на Мальте считают по квоте Друпа. Если в задаче есть ранжированные бюллетени, это не метод наибольших остатков. Близкая проблема агрегирования предпочтений разобрана в статье про парадокс Кондорсе.

Частые ошибки

• Считают квоту от всех бюллетеней. В $V$ входят только голоса допущенных списков, без недействительных и не прошедших барьер.
• Округляют точные квоты по школьным правилам. Сумма может не совпасть с $S$; правильно брать целую часть и рейтинг остатков.
• Отдают остатки крупным в первую очередь. Рейтинг строится по дробной части, размер списка важен лишь при ничьей.
• Путают квоту Хэйра с квотой Друпа или с системой единого передаваемого голоса.

FAQ

Чем метод Хэйра отличается от метода д’Ондта?

Хэйр делит голоса на одну квоту и раздаёт хвосты по остаткам, д’Ондт берёт наибольшие частные от деления на 1, 2, 3… На практике д’Ондт даёт премию крупным партиям, Хэйр поддерживает малые.

Какой метод выгоден малым партиям?

Наибольшие остатки с квотой Хэйра, затем Сент-Лагю. Меньше всего шансов у малых списков при д’Ондте и Империали.

Почему в законе о выборах в Госдуму нет слов «квота Хэйра»?

Закон называет её первым избирательным частным: это сумма голосов допущенных списков, делённая на 225.

Коротко

Метод Хэйра переводит голоса в мандаты через квоту $q = V/S$: списки получают целые части точных квот, а оставшиеся места уходят наибольшим дробным остаткам. Он соблюдает правило квоты и дружелюбнее к малым партиям, чем д’Ондт и квота Друпа, но подвержен парадоксам Алабамы и новых штатов. В России это методика статьи 89 закона о выборах депутатов Госдумы, которая в 2021 году дала 126, 48, 19, 19 и 13 списочных мандатов; с системой единого передаваемого голоса его путать не стоит.