Метод д’Ондта: таблица частных и пример расчёта

Метод д’Ондта чаще других применяют в мире, чтобы перевести голоса за партийные списки в мандаты. Его называют делительным методом или методом наибольших средних: голоса каждой партии по очереди делят на 1, 2, 3 и так далее, а места достаются наибольшим частным. Бельгийский юрист и математик Виктор д’Ондт описал способ в 1878 году, а в 1899-м Бельгия первой ввела по нему пропорциональные выборы в парламент. У метода устойчивая репутация: он заметно щедрее к крупным партиям, чем квота Хэйра. Калькулятор ниже строит таблицу частных на ваших числах и показывает, откуда берётся эта премия.

Формула метода: частное V/(s+1)

Правило укладывается в одну строку. Пусть список $i$ получил $v_i$ голосов и уже имеет $s_i$ мандатов. Его частное

$$Q_i = \frac{v_i}{s_i + 1}$$

показывает, сколько голосов пришлось бы на каждый мандат, если отдать списку ещё одно место. Очередной мандат получает список с наибольшим $Q_i$, его $s_i$ растёт на единицу, частное пересчитывается, и так $S$ раз. Отсюда второе название: место уходит тому, у кого средняя «цена» мандата после его получения останется самой высокой.

Для ручного счёта удобнее равносильная табличная форма. Для каждого списка выписывают ряд $v_i/1,\ v_i/2,\ v_i/3,\dots$ и отбирают $S$ наибольших чисел из всей таблицы. Сколько чисел из строки списка попало в отбор, столько у него мандатов. Наименьшее из отобранных частных называют ценой мандата, или последним выигравшим частным.

В расчёт идут только голоса списков, прошедших заградительный пункт. Как барьер отсекает партии ещё до делителей, разобрано в статье про избирательный барьер.

Пошаговый пример: таблица делителей на 8 мандатов

Пять партий делят 8 мандатов. Партия А набрала 46 000 голосов, Б 29 000, В 12 000, Г 8 000, Д 5 000, всего 100 000. Делим голоса каждой на 1, 2, 3, 4 и 5. Частные округлены до целых, жирным выделены восемь наибольших:

Мандаты раздаются в таком порядке: 46 000 (А), 29 000 (Б), 23 000 (А), 15 333 (А), 14 500 (Б), 12 000 (В), 11 500 (А), 9 667 (Б). Восьмое место досталось Б по частному $29\,000/3 \approx 9\,666{,}67$, это и есть цена мандата. Первое не прошедшее частное равно 9 200 у партии А, за ним идёт 8 000 у партии Г. Итог: А 4, Б 3, В 1, Г и Д без мест.

Рассчитать для своей задачи

Проверим через средние. У А после четырёх мандатов на каждый приходится 11 500 голосов, у Б после трёх 9 667, у В 12 000. Партия Г с 8 000 голосов не дотягивает до цены мандата и остаётся без места, хотя по доле голосов (8 %) ей полагалось бы 0,64 мандата.

Почему д’Ондт выгоден крупным партиям

Сравним доли. Партия А с 46 % голосов получает 50 % мест, Б с 29 % получает 37,5 %. Партии Г и Д вместе собрали 13 % голосов и не получили ничего. Премия лидеру составила 4 процентных пункта, второй партии 8,5.

Механика премии видна по делителям. Делитель растёт на единицу, поэтому частные крупной партии убывают медленно: четвёртое частное А (11 500) всё ещё больше первого частного Г. Малой партии нужно одно частное выше цены мандата, а цену задают «хвосты» крупных. Мандат гарантирован только списку, у которого доля голосов больше $1/(S+1)$. При 8 мандатах это 11,1 %: В с 12 % порог перешагнула, Г с 8 % нет.

Доказательство короткое. Если список с $v > V/(S+1)$ голосов остался без мест, то каждое выигравшее частное не меньше $v$, и у любой партии с $s_j$ местами $v_j \ge s_j v$. Суммируя, получаем $V \ge S v + v = (S+1)v$, что противоречит условию.

Этот встроенный «естественный барьер» тем выше, чем меньше мандатов в округе. В округе на 3 места гарантия начинается только с 25 %: партия с 45 % голосов берёт там два мандата из трёх, а партия с 15 % остаётся ни с чем (пресет «Малый округ» в калькуляторе). Поэтому в Испании, где Конгресс депутатов избирают по 52 округам и многие провинции делят от 2 до 5 мест, д’Ондт ощутимо усиливает крупнейшие партии. Как такой механический эффект со временем сокращает число партий, объясняют законы Дюверже.

Эквивалентность методу Джефферсона

В США тот же результат столетием раньше дал метод Томаса Джефферсона: по нему распределяли места в Палате представителей между штатами после переписей 1790–1830 годов. Формулировка другая: подобрать общий делитель $d$, при котором сумма целых частей частных равна числу мест:

$$\sum_i \left\lfloor \frac{v_i}{d} \right\rfloor = S.$$

Почему получается то же распределение. Условие $v_i/k \ge d$ равносильно $k \le v_i/d$, поэтому число частных списка, которые не меньше $d$, в точности равно $\lfloor v_i/d \rfloor$. Если взять $d$ между первым не прошедшим частным и ценой мандата, не меньше $d$ окажутся ровно выигравшие частные. В примере годится любой $d$ из промежутка $(9\,200;\ 9\,666{,}67]$. При $d = 9\,500$ получаем $\lfloor 4{,}84 \rfloor + \lfloor 3{,}05 \rfloor + \lfloor 1{,}26 \rfloor + \lfloor 0{,}84 \rfloor + \lfloor 0{,}53 \rfloor = 4 + 3 + 1 + 0 + 0 = 8$.

Под другими именами тот же итог дают метод Хагенбаха-Бишоффа в Швейцарии и метод Бадера-Офера в Израиле. Ближайший родственник с иными делителями, метод Сент-Лагю, берёт нечётные 1, 3, 5 и почти не делает разницы между большими и малыми списками: в нашем примере он, как и квота Хэйра, отдаёт восьмой мандат партии Г, а не Б. Подробное сравнение делителей с квотами есть в статье про метод Хэйра.

Эффект блоков: почему малым выгодно объединяться

Д’Ондт наказывает дробление и вознаграждает объединение. Пусть Г и Д из примера идут единым списком с 13 000 голосов. Первое частное блока, 13 000, входит в восьмёрку наибольших, цена мандата поднимается до 11 500 (четвёртое частное А), и третий мандат Б уходит блоку. Порознь у Г и Д ноль мест, вместе один.

Рассчитать для своей задачи

Это общее свойство метода: объединённый список получает не меньше мандатов, чем его части по отдельности. Через Джефферсона это видно сразу. При прежнем делителе $d$ выполняется $\lfloor (v_1+v_2)/d \rfloor \ge \lfloor v_1/d \rfloor + \lfloor v_2/d \rfloor$, мест раздаётся не меньше $S$, делитель приходится только поднимать, и остальные списки могут лишь потерять. Обратное тоже верно: крупной партии дробиться на два списка при д’Ондте невыгодно, в отличие от метода наибольших остатков. Поэтому там, где действуют делители д’Ондта, законы нередко разрешают блокирование списков без слияния: в Швейцарии это соединения списков на выборах Национального совета, в Израиле соглашения об излишках голосов.

Где применяют метод д’Ондта

По д’Ондту распределяют места в парламентах Испании, Португалии, Бельгии, Нидерландов, Польши, Чехии, Финляндии, Хорватии, а за пределами Европы, например, в Аргентине, Чили, Турции и в пропорциональной части палаты представителей Японии. В Шотландии и Уэльсе делителями д’Ондта раздают региональные списочные места, а в Северной Ирландии тем же способом партии делят министерские портфели в правительстве.

На выборах в Европарламент д’Ондта применяет большинство государств ЕС, среди них Испания, Франция, Польша, Нидерланды, Португалия и Австрия. Германия и Швеция считают по Сент-Лагю, а Ирландия и Мальта голосуют по системе единого передаваемого голоса.

В России федеральные списки в Государственную Думу делят по квоте Хэйра, а способ для региональных парламентов выбирает закон субъекта. Часть регионов с 2007 года перешла на метод Империали с делителями 2, 3, 4…, то есть на д’Ондта без первого делителя. Он ещё сильнее помогает лидеру: в нашем примере А получила бы 5 мандатов, Б 3, а В лишилась бы единственного места. Прежде чем решать задачу по конкретному региону, сверьтесь с его избирательным законом.

Частые ошибки

• Делить на 1, 3, 5. Это Сент-Лагю. У д’Ондта делители идут подряд: 1, 2, 3, 4.
• Брать частные построчно. Мандаты получают $S$ наибольших чисел из всей таблицы, а не первые столбцы каждой строки.
• Включать голоса не прошедших списков. В таблицу идут только списки, преодолевшие барьер.
• Путать цену мандата с квотой Хэйра. Цена мандата никогда не превышает $V/S$: в примере 9 667 против 12 500.
• Забывать о ничьей. Если на границе два частных равны, закон решает спор жребием или по числу голосов, и в задаче это нужно оговорить.

FAQ

Чем метод д’Ондта отличается от метода Хэйра?

Хэйр делит сумму голосов на одну квоту $V/S$ и раздаёт хвосты по остаткам, д’Ондт выбирает наибольшие частные от деления на 1, 2, 3. Д’Ондт никогда не даёт списку меньше целой части его точной квоты, но может дать больше, чем квота, округлённая вверх. Хэйр держится в пределах квоты и мягче к малым спискам.

Почему его называют методом наибольших средних?

Частное $v_i/(s_i+1)$ равно среднему числу голосов на мандат, если список получит ещё одно место. Мандат уходит тому, у кого это среднее наибольшее.

Бывает ли при д’Ондте парадокс Алабамы?

Нет. Если добавить мандат, таблица частных не меняется, в отбор просто входит ещё одно число, поэтому ни один список места не теряет. Нарушение правила квоты при этом возможно: крупнейшая партия иногда получает больше мест, чем её точная квота, округлённая вверх.

Коротко

Метод д’Ондта делит голоса каждого списка на 1, 2, 3… и отдаёт $S$ мандатов наибольшим частным; последнее из них задаёт цену мандата. Он равносилен методу Джефферсона с общим делителем, гарантирует место лишь списку с долей больше $1/(S+1)$ и поэтому даёт премию крупным партиям, особенно в малых округах, а малым выгоднее идти блоком. Им пользуются Испания, Польша, Нидерланды и большинство стран ЕС на выборах в Европарламент; в России Дума считает по Хэйру, регионы выбирают метод сами.