Эффект Нернста-Эттингсгаузена: поперечная ЭДС в поле

В 1886 году Вальтер Нернст и Альберт фон Эттингсгаузен, работая в лаборатории Больцмана в Граце, заметили: если поместить брусок висмута в магнитное поле и греть один его край, между двумя боковыми гранями появляется напряжение. Открытие стало архетипом термомагнитного явления - отклика, где смешаны термоэлектричество и магнитное поле. Сегодня эффект Нернста-Эттингсгаузена снова актуален: на нём держится поиск термоэлектриков с высоким $ZT$, диагностика тяжелофермионных систем и аномальный отклик в магнитных вейлевских полуметаллах.

Определение: поперечная ЭДС без тока

Возьмём прямоугольный образец, через который не течёт ток. По оси $x$ задан градиент температуры $\partial_x T$ (один край горячее другого). По оси $z$ приложено магнитное поле $B_z$. Тогда поперёк образца, по оси $y$, возникает электрическое поле:

$$E_y = N\, B_z\, \partial_x T$$

Это и есть прямой эффект Нернста-Эттингсгаузена (часто пишут просто «эффект Нернста», когда речь о поперечной ЭДС от градиента температуры). Коэффициент $N$ называют коэффициентом Нернста, его размерность - В/(К$\cdot$Тл) или эквивалентно м$^2$/(К$\cdot$с).

Ключевая особенность: продольного тока нет - есть только поток тепла. Поле $E_y$ компенсирует отклонение диффундирующих носителей силой Лоренца, аналогично тому, как в обычном эффекте Холла поле компенсирует силу Лоренца на токе.

Обратный эффект Эттингсгаузена: ток создаёт поперечный градиент

Если поменять причину и следствие местами, получим обратный эффект (его и называли «эффектом Эттингсгаузена», когда нужно различить две стороны медали). Через образец пускают ток $j_x$, в поле $B_z$ возникает поперечный градиент температуры:

$$\partial_y T = P\, j_x\, B_z$$

Коэффициент $P$ - коэффициент Эттингсгаузена. С коэффициентом Нернста его связывает соотношение Бриджмена (термодинамическое тождество Онсагера):

$$P = \frac{N\, T}{\kappa}$$

где $\kappa$ - теплопроводность. На обратном эффекте Эттингсгаузена работают термомагнитные холодильники: ток + магнитное поле создают разницу температур поперёк образца - без всякого внешнего нагревателя. У висмута и его сплавов эффект достаточно силён, чтобы в 1950–1970-х годах строить лабораторные термомагнитные охладители на жидкий азот.

Чтобы не считать коэффициенты руками и сразу прикинуть, какая поперечная ЭДС получится в реальных условиях, собери запрос ниже. Выбираешь материал (Bi, графен у точки Дирака, тяжелофермионная Ce-система или магнитный топологический полуметалл), задаёшь магнитное поле и градиент температуры, выбираешь, что считать - поле Нернста, коэффициент $N$, эффект Эттингсгаузена или вклад в $ZT$.

Связь с эффектами Зеебека и Холла: тензор кинетических коэффициентов

Эффекты Зеебека, Холла, Нернста и Эттингсгаузена - это четыре проекции одного объекта: тензора отклика электрического тока $j$ и теплового потока $q$ на электрическое поле $E$ и градиент температуры $\nabla T$ при наличии магнитного поля $B$. В линейном приближении:

$$\begin{aligned} j_i &= \sigma_{ij}(B)\, E_j - \alpha_{ij}(B)\, \partial_j T \\ q_i &= T\, \alpha_{ij}(B)\, E_j - \kappa_{ij}(B)\, \partial_j T \end{aligned}$$

где $\sigma_{ij}$ - тензор электропроводности, $\alpha_{ij}$ - термоэлектрический тензор (его симметричная диагональная часть даёт коэффициент Зеебека $S$), $\kappa_{ij}$ - тензор теплопроводности. В магнитном поле все три тензора приобретают антисимметричные компоненты $\sigma_{xy}, \alpha_{xy}, \kappa_{xy}$.

При условии $j = 0$ (разомкнутая цепь) из первого уравнения получаем:

$$E_i = \rho_{ij}\, \alpha_{jk}\, \partial_k T$$

Продольная компонента $E_x = S\, \partial_x T$ - это эффект Зеебека. Поперечная компонента $E_y$ при $\partial_x T \neq 0$ - это эффект Нернста-Эттингсгаузена:

$$N = \frac{1}{B}\cdot\frac{\alpha_{xy}\sigma_{xx} - \alpha_{xx}\sigma_{xy}}{\sigma_{xx}^2 + \sigma_{xy}^2}$$

Видно, что коэффициент Нернста - не просто «холловский партнёр Зеебека»: в нём сцеплены и термоэлектрический тензор $\alpha_{ij}$, и проводимость $\sigma_{ij}$. В пределе слабого поля и одной зоны носителей формула упрощается до теоремы Сондхеймера: $N \propto (k_B^2 T / e \varepsilon_F)\, \tau'(\varepsilon_F)$ - коэффициент Нернста чувствителен к производной времени релаксации по энергии на уровне Ферми, поэтому он информативнее, чем Зеебек, для диагностики тонких особенностей электронной структуры.

Типичные значения и материалы

Величина коэффициента $N$ - от единиц нВ/(К$\cdot$Тл) в обычных металлах до сотен мкВ/(К$\cdot$Тл) в специальных системах. Полезные ориентиры:

• Висмут. Исторический эталон: $N \sim 10$–$50$ мкВ/(К$\cdot$Тл) при комнатной температуре, до нескольких мВ/(К$\cdot$Тл) при $T \sim 4$ К. Малая эффективная масса и большая длина свободного пробега дают рекордные значения.
• Графен у точки Дирака. Из-за линейного спектра энтропия квазичастиц расходится при $\mu \to 0$, и коэффициент Нернста становится аномально большим: пики $N$ в десятки мкВ/(К$\cdot$Тл) даже при комнатной температуре. Это прямой пробник дираковской физики.
• Тяжелофермионные системы (CeCoIn$_5$, URu$_2$Si$_2$, CeRu$_2$Si$_2$). Большая эффективная масса $m^* \sim 100\, m_e$ - заметный сигнал Нернста, особенно вблизи квантовой критической точки, где он часто меняет знак и используется как индикатор реструктуризации поверхности Ферми.
• Магнитные топологические полуметаллы (Co$_3$Sn$_2$S$_2$, Mn$_3$Sn, Mn$_3$Ge). Здесь работает аномальный эффект Нернста - поперечная ЭДС, связанная с намагниченностью и кривизной Берри вблизи вейлевских узлов. Получены значения $S_{xy}^{ano} \sim 5$–$10$ мкВ/К в нулевом поле - рекорды среди магнитных проводников.

Применения: сенсоры и поиск термоэлектриков

Эффект Нернста-Эттингсгаузена работает в двух прикладных направлениях.

Термомагнитные сенсоры. Прямой эффект - это датчик одновременно теплового потока и магнитного поля. Чувствительные элементы из висмута и его сплавов использовали в инфракрасных болометрах и датчиках слабых полей в 1960-х; для специальных задач (высокое $T$, экстремальные поля) термомагнитные элементы остаются конкурентоспособны.

Поиск термоэлектриков с высоким $ZT$. Обычная термоэлектрическая добротность определяется как $ZT_{Seebeck} = S^2 \sigma T / \kappa$ и упирается в потолок ~2 для лучших современных материалов. В термомагнитной геометрии играет другая фигура:

$$ZT_{Nernst} = \frac{N^2 B^2\, \sigma\, T}{\kappa}$$

Принципиальное преимущество: устройство - однородная пластина в магнитном поле, никаких p-n-переходов, никакого подгона легирования. Если найти материал с $N$, сопоставимым по «оптимизированности» с $S$ обычных термоэлектриков, в магнитном поле получится термоэлектрик нового типа. Сейчас на эту роль активно тестируют магнитные вейлевские полуметаллы (Co$_3$Sn$_2$S$_2$, Fe$_3$Ga и др.), где аномальный эффект Нернста работает даже без внешнего $B$.

Аномальный эффект Нернста в магнитных системах

В магнитоупорядоченных проводниках, как и в аномальном эффекте Холла, разделяют обычный и аномальный Нернст:

$$E_y = N_0\, B_z\, \partial_x T + N_A\, M_z\, \partial_x T$$

Аномальный коэффициент $N_A$ не связан с внешним полем напрямую - он отражает намагниченность $M_z$ и определяется кривизной Берри $\Omega_z(k)$ заполненных зон в области уровня Ферми. По формуле Мотта:

$$\alpha_{xy}^{ano} = -\frac{\pi^2}{3}\cdot \frac{k_B^2 T}{e}\cdot \left.\frac{\partial \sigma_{xy}^{ano}}{\partial \varepsilon}\right|_{\varepsilon_F}$$

• аномальный термоэлектрический отклик пропорционален производной аномальной проводимости Холла. Из-за этой производной аномальный эффект Нернста часто ярче аномального эффекта Холла как зонда вейлевских точек: производная подсвечивает узкие пики $\sigma_{xy}^{ano}(\varepsilon)$, которые в самом $\sigma_{xy}^{ano}$ интегрально сглажены. В курсе физики твёрдого тела по термомагнетизму обычно требуется: из зависимости $E_y(B)$ при фиксированном $\partial_x T$ найти $N$ и сравнить с теорией одной зоны; по двум измерениям ($S$ и $N$ как функции $T$) восстановить производную $\tau'(\varepsilon_F)$; для магнитного материала разделить $N_0$ (линейный по $B$) и $N_A$ (плато по намагниченности) на кривой $E_y(B)$; через соотношение Бриджмена оценить поперечный градиент $\partial_y T$, который создаст заданный ток $j_x$ в висмуте.

Частые ошибки

• Путают эффект Нернста с эффектом Зеебека. Зеебек - продольная ЭДС от продольного градиента температуры, без магнитного поля. Нернст - поперечная ЭДС, требует и градиента, и магнитного поля одновременно.
• Считают, что $N$ - это «холловский партнёр $S$». Формула через тензор показывает, что в $N$ замешаны и $\alpha_{xy}$, и $\sigma_{xy}$ - это не просто «Зеебек, повёрнутый магнитным полем».
• Игнорируют соотношение Бриджмена. При расчёте обратного эффекта Эттингсгаузена пишут $P = N\, B$, забывая множитель $T/\kappa$.
• Меряют аномальный Нернст без вычитания $N_0 B$. В магнитном материале нужно строить $E_y(B)$ и экстраполировать линейный «хвост» к $B = 0$ - отрезок и есть $N_A M_s$.
• Пробуют посчитать $N$ через формулу Сондхеймера для произвольной системы. Она верна для слабого поля и одной зоны; в висмуте уже при умеренных $B$ нужен полный тензорный расчёт.

FAQ

Чем эффект Нернста-Эттингсгаузена отличается от эффекта Холла? Эффект Холла - поперечная ЭДС от продольного электрического тока в магнитном поле. Эффект Нернста - поперечная ЭДС от продольного градиента температуры в магнитном поле. Холл регистрируют при $\partial_x T = 0$, Нернст - при $j_x = 0$. Это два разных столбца кинетического тензора отклика, связанные через $\sigma_{ij}$ и $\alpha_{ij}$.

Почему коэффициент Нернста больше у материалов с малой эффективной массой? Через формулу Сондхеймера $N \propto k_B T / \varepsilon_F$: чем меньше Ферми-энергия (а значит больше «термический» отклик квазичастиц), тем больше отношение $k_B T / \varepsilon_F$ при той же температуре. В висмуте $\varepsilon_F$ из-за полуметалличности мала, в графене у точки Дирака формально стремится к нулю - отсюда рекордные значения $N$.

Можно ли использовать аномальный эффект Нернста для термоэлектрики без магнитного поля? Да - это именно то, чем интересны магнитные вейлевские полуметаллы. В Co$_3$Sn$_2$S$_2$ и Mn$_3$Sn внутренняя намагниченность задаёт ненулевой $N_A$ даже при $B_{ext} = 0$. Получается «термоэлектрик в поперечной геометрии» без внешнего поля и без p-n-перехода - однородная плёнка с собственной магнитной структурой. Сегодня это активная область поиска новых поколений термоэлектриков.

Коротко

Эффект Нернста-Эттингсгаузена - поперечная ЭДС в проводнике с продольным градиентом температуры в магнитном поле, $E_y = N B_z \partial_x T$, без продольного тока. Его обратная сторона - эффект Эттингсгаузена: продольный ток в поле создаёт поперечный градиент температуры, $\partial_y T = P j_x B_z$, с соотношением Бриджмена $P = N T/\kappa$. Коэффициент $N$ выражается через тензор кинетических коэффициентов и связан с эффектами Зеебека и Холла, но не сводится к ним: он чувствителен к производной времени релаксации по энергии и поэтому информативнее в задачах диагностики поверхности Ферми. Особенно силён в висмуте, графене у точки Дирака, тяжёлых фермионах и магнитных топологических полуметаллах, где аномальный вклад от кривизны Берри открывает путь к термоэлектрикам с высоким $ZT$ без p-n-перехода.