Уравнение Клейна-Гордона: релятивистский Шрёдингер

Уравнение Шрёдингера прекрасно работает в нерелятивистской квантовой механике, но как только частица разгоняется до скоростей, сравнимых со скоростью света, его дисперсионное соотношение $E = p^2/(2m)$ перестаёт быть верным. Первая попытка обобщить уравнение для релятивистских частиц - уравнение Клейна–Гордона (1926). Оно описывает скалярное поле массы $m$ со спином 0 и хотя как одночастичное уравнение оказалось проблемным, в квантовой теории поля стало одним из базовых.

Релятивистское дисперсионное соотношение

Для свободной классической релятивистской частицы:

$$E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$$

Уравнение Шрёдингера получают подстановкой операторов $E \to i\hbar\,\partial_t$ и $\vec{p} \to -i\hbar\,\nabla$ в нерелятивистское $E = \vec{p}^{\,2}/(2m) + V$. Сделаем то же самое с релятивистским соотношением. Возведя оба оператора в квадрат и подставив в $E^2 - p^2 c^2 - m^2 c^4 = 0$:

$$-\hbar^2\, \frac{\partial^2 \phi}{\partial t^2} = -\hbar^2 c^2\, \nabla^2 \phi + m^2 c^4\, \phi$$

Разделив на $\hbar^2 c^2$ и собрав всё налево, получаем уравнение Клейна–Гордона:

$$\left(\frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + \frac{m^2 c^2}{\hbar^2}\right)\phi = 0$$

В естественных единицах ($\hbar = c = 1$) и с компактным обозначением д’аламбертиана $\Box = \partial^\mu \partial_\mu = \partial_t^2 - \nabla^2$ оно выглядит максимально лаконично:

$$(\Box + m^2)\,\phi = 0$$

Прежде чем переходить к следующим темам, можно сразу разобрать тот аспект уравнения, который нужен лично вам. Ниже - мини-форма: выбираете аспект (вывод, плоские волны, отрицательные энергии, 4-ток, сравнение с Шрёдингером или Дираком, кулоновская задача), при необходимости задаёте свой вопрос - собранный запрос откроет чат с готовым разбором.

Плоско-волновые решения и проблема отрицательных энергий

Ищем решение в виде плоской волны $\phi(x) = e^{-i p \cdot x} = e^{-i(E t - \vec{p}\cdot\vec{r})}$. Подстановка в уравнение даёт условие массовой оболочки:

$$p^\mu p_\mu = m^2, \qquad E^2 = \vec{p}^{\,2} + m^2$$

Это уравнение второго порядка по $E$, поэтому корней два:

$$E = \pm\sqrt{\vec{p}^{\,2} + m^2}$$

Положительная ветвь - это привычные частицы с массой $m$. Но и отрицательная $E = -\sqrt{\vec{p}^{\,2} + m^2}$ есть в спектре, и просто её отбросить нельзя: полный набор решений должен быть полным. В одночастичной интерпретации это катастрофа - частица могла бы скатываться по сколь угодно низким уровням энергии, излучая фотоны. Реальные электроны так себя не ведут.

Проблема плотности вероятности

В уравнении Шрёдингера $|\psi|^2$ - плотность вероятности, положительная по построению, и её интеграл сохраняется во времени. С уравнением Клейна–Гордона так не работает. Если по той же схеме построить 4-ток

$$j^\mu = \frac{i}{2m}\left(\phi^{*}\,\partial^\mu \phi - \phi\,\partial^\mu \phi^{*}\right)$$

то он удовлетворяет уравнению сохранения $\partial_\mu j^\mu = 0$, но его временная компонента

$$j^0 = \frac{i}{2m}\left(\phi^{*}\,\partial_t \phi - \phi\,\partial_t \phi^{*}\right)$$

не положительно определена. Для плоской волны с $E > 0$ получается $j^0 > 0$, для $E < 0$ - $j^0 < 0$. Никакой плотности вероятности из этого не сделать.

Интерпретация в КТП: поле, а не волновая функция

Выход нашёлся в квантовой теории поля. Решение, предложенное Паули, Вайскопфом, Фейнманом и Штюкельбергом: $\phi$ - не волновая функция одной частицы, а классическое поле, которое затем квантуется. Положительно-частотные решения интерпретируются как операторы рождения частиц, отрицательно-частотные - как операторы рождения античастиц с положительной энергией. Сохранённая величина $j^\mu$ становится не плотностью вероятности, а плотностью заряда - отсюда и тот факт, что она может менять знак (заряд частицы и античастицы противоположен). Само существование сохраняющегося тока - следствие глобальной U(1)-симметрии лагранжиана и теоремы Нётер.

В этой картине уравнение Клейна–Гордона никуда не девается - это уравнение движения для свободного скалярного поля, эквивалентное лагранжиану

$$\mathcal{L} = \frac{1}{2}\,\partial^\mu \phi\,\partial_\mu \phi - \frac{1}{2}\,m^2 \phi^2$$

Вариация по $\phi$ через уравнение Эйлера–Лагранжа сразу даёт $(\Box + m^2)\phi = 0$.

Заряженное скалярное поле и античастицы

Для нейтральной частицы (например, $\pi^0$) поле $\phi$ можно взять действительным. Для заряженной (например, $\pi^+$ и $\pi^-$ как пара) - комплексным. Действительная и мнимая части $\phi$ независимы, и их можно комбинировать в операторы рождения частицы и античастицы:

$$\phi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3 \sqrt{2 E_p}}\,\left[a_p\, e^{-i p \cdot x} + b_p^\dagger\, e^{+i p \cdot x}\right]$$

$a_p$ уничтожает $\pi^+$, $b_p^\dagger$ - рождает $\pi^-$. Симметрия $\phi \to \phi^{*}$ соответствует зарядовому сопряжению. Античастицы получаются автоматически - не как «дырки в море Дирака», а просто как нормальные одночастичные возбуждения второго типа того же поля.

Лоренц-ковариантность

Уравнение Клейна–Гордона ковариантно относительно преобразований Лоренца по построению: его записывают через свёртку 4-векторов $\partial^\mu \partial_\mu = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu \partial_\nu$, где метрика $\eta_{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+1, -1, -1, -1)$. Под преобразованием Лоренца $x^\mu \to \Lambda^\mu_{\,\nu}\, x^\nu$ скалярное поле меняется как $\phi(x) \to \phi(\Lambda^{-1} x)$, а оператор $\Box$ инвариантен - значит, инвариантна и сама форма уравнения. Это резко отличается от уравнения Шрёдингера, у которого время и пространство участвуют несимметрично (одна производная по $t$ и две по координатам).

Отличия от уравнения Шрёдингера

Ключевые различия суммируются в таблице по-человечески:

• Порядок по времени. Шрёдингер - первого ($i\hbar\,\partial_t \psi = \hat H \psi$), Клейн–Гордон - второго ($\partial_t^2 \phi = \ldots$). У второго порядка нужны два начальных условия: $\phi$ и $\partial_t \phi$ в момент $t_0$.
• Лоренц-ковариантность. Шрёдингер - нерелятивистский, инвариантен относительно Галилея. Клейн–Гордон - релятивистский, ковариантен относительно Лоренца.
• Сохранение $|\psi|^2$. В уравнении Шрёдингера сохраняется $\int |\psi|^2\,dV$, и это даёт интерпретацию вероятности. В уравнении Клейна–Гордона $\int j^0\,dV$ сохраняется, но знак не фиксирован.
• Предел применимости. При $|\vec{p}| \ll m c$ из уравнения Клейна–Гордона при подстановке $\phi = e^{-i m c^2 t/\hbar}\, \psi$ и разложении по малому параметру получается обычное уравнение Шрёдингера для $\psi$. Так что нерелятивистский предел корректен.

Отличие от уравнения Дирака

Дирак искал релятивистское уравнение первого порядка по $t$, чтобы сохранить вероятностную интерпретацию. Он буквально «извлёк корень» из $E^2 = \vec{p}^{\,2} + m^2$, потребовав факторизации $(\gamma^\mu p_\mu - m)(\gamma^\nu p_\nu + m) = p^2 - m^2$. Это привело к гамма-матрицам $4\times 4$ и 4-компонентным спинорам $\psi$. Главные различия:

• Спин. Клейн–Гордон - спин 0 (скалярное поле, одна компонента). Дирак - спин 1/2 (биспинор, 4 компоненты).
• Порядок уравнения. Клейн–Гордон - второго порядка, Дирак - первого.
• Решение проблемы антиматерии. В уравнении Дирака отрицательные энергии тоже есть, но их вначале интерпретировали через «море Дирака» (заполненный фон, дырка = позитрон). В уравнении Клейна–Гордона такая интерпретация невозможна (бозоны не подчиняются принципу Паули), и переинтерпретация через КТП пришла раньше и неизбежнее.
• Связь. Каждая компонента дираковского спинора по отдельности удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона - это автоматическое следствие применения $\gamma^\nu p_\nu + m$ к дираковскому уравнению.

Где это применяется

• Пионы $\pi^0$, $\pi^\pm$ - мезоны со спином 0, основной полигон для уравнения Клейна–Гордона. Расчёт пионного атома (захват $\pi^-$ на боровскую орбиту вокруг ядра) даёт спектр с характерными отличиями от водорода.
• Хиггсовский бозон. Поле Хиггса - комплексный SU(2)-дублет скалярных полей; после спонтанного нарушения симметрии физический бозон $H$ (масса $\approx 125$ ГэВ) описывается как раз уравнением Клейна–Гордона с массивным членом.
• Скалярная теория поля $\phi^4$ и её обобщения - учебная лаборатория для квантовой теории поля, ренормгрупп, фазовых переходов в космологии.
• Космология ранней Вселенной. Инфлатон (гипотетическое скалярное поле, ответственное за инфляцию) удовлетворяет уравнению Клейна–Гордона в расширяющемся пространстве-времени.
• Бозе-эйнштейновские конденсаты. Нерелятивистский предел для слабовзаимодействующего скалярного поля даёт уравнение Гросса–Питаевского - рабочую модель БЭК.

Частые ошибки

• Пытаются интерпретировать $|\phi|^2$ как плотность вероятности. В одночастичной картине это не работает - сохраняется $j^0$ из 4-тока, а не $|\phi|^2$, и знак $j^0$ не фиксирован.
• Применяют к электрону. Электрон - фермион со спином 1/2, для него нужен Дирак. Уравнение Клейна–Гордона ошибочно предскажет водородный спектр без тонкой структуры спин-орбитального взаимодействия.
• Забывают, что уравнение второго порядка. Для постановки задачи Коши нужны и $\phi(t_0)$, и $\partial_t \phi(t_0)$ - в отличие от Шрёдингера, где достаточно одного $\psi(t_0)$.
• Считают «отрицательные энергии» ошибкой уравнения. Они неизбежны для любого релятивистского уравнения второго порядка; ошибкой была попытка одночастичной интерпретации, а не само уравнение.
• Путают метрику. В $\Box = \partial^\mu\partial_\mu$ важна сигнатура: в $(+,-,-,-)$ получается $\partial_t^2 - \nabla^2$, в $(-,+,+,+)$ - $-\partial_t^2 + \nabla^2$. Знак при $m^2$ в уравнении зависит от выбора.

FAQ

Почему уравнение Клейна–Гордона второго порядка по времени, а уравнение Шрёдингера - первого? Потому что мы выводили его из релятивистского $E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4$, в котором оператор энергии входит в квадрате. Чтобы получить уравнение первого порядка, пришлось бы «извлечь корень» - именно это сделал Дирак, и заплатил за это 4-компонентным спинором вместо скалярного поля.

Описывает ли уравнение Клейна–Гордона электрон? Нет. Электрон - фермион со спином 1/2, для него работает уравнение Дирака. Уравнение Клейна–Гордона описывает скалярные частицы со спином 0: $\pi^0$, $\pi^\pm$, хиггсовский бозон, гипотетические инфлатонные поля.

Что такое «отрицательные энергии» в уравнении Клейна–Гордона и куда они делись? Они никуда не делись - это часть полного решения. В современной интерпретации $\phi$ - не волновая функция, а оператор поля; отрицательно-частотные моды соответствуют операторам рождения античастиц с положительной энергией. Так что «море отрицательных энергий» - пережиток ранней одночастичной интерпретации.

Коротко

Уравнение Клейна–Гордона $(\Box + m^2)\phi = 0$ - простейшее релятивистски-ковариантное обобщение уравнения Шрёдингера. Как одночастичное уравнение оно проблемно: дает отрицательные энергии и неположительную «плотность вероятности». Как уравнение для квантового поля - корректно и фундаментально: описывает скалярные частицы со спином 0 (пионы, хиггсовский бозон), естественно содержит античастицы и служит вводным примером квантовой теории поля.