Учёное незнание Кузанского: знание о незнании

Формулу «знаю, что ничего не знаю» приписывают Сократу, а через девятнадцать веков её повторил кардинал римской церкви, юрист и математик Николай Кузанский. Только повторил он её иначе: не как признание слабости ума, а как результат строгого рассуждения о том, почему конечное не может измерить бесконечное. Трактат «Об учёном незнании» закончен 12 февраля 1440 года, и главный его ход не риторический, а геометрический. Ниже разобрано, из чего складывается это незнание, зачем в философском трактате многоугольники и дуги и почему из них следует вселенная без центра. Числа, на которых держится аргумент, можно прогнать в калькуляторе.

Учёное незнание: что именно назвал так Кузанский

Латинское docta ignorantia переводится буквально как «наученное незнание»: незнание не природное, а добытое, результат работы ума, а не её отсутствия. Кузанский рассуждает так: всякое познание есть сравнение неизвестного с известным, то есть измерение одного другим. Но между конечным и бесконечным нет никакой пропорции: сколько раз ни отложи конечную меру, до бесконечного не дойдёшь. Значит, точное знание о бесконечном недостижимо в принципе, и ум, который это понял, знает больше того, кто считает себя близким к цели.

Отсюда парадоксальный вывод: мудрость измеряется не количеством усвоенного, а ясностью понимания собственного предела. Незнание становится учёным ровно в тот момент, когда оно перестаёт быть смутным ощущением и превращается в доказанное утверждение о несоизмеримости. Сам Кузанский подчёркивал, что эта мысль пришла к нему на корабле по дороге из Константинополя в 1438 году, и посвятил трактат кардиналу Джулиано Чезарини как дар свыше, а не как школьное упражнение.

Многоугольник и круг: где кончается точность

Главный образ трактата взят из геометрии. Впишем в окружность правильный многоугольник и будем удваивать число сторон. Периметр вписанного $n$-угольника при радиусе 1 равен

$P_n = 2n\sin\frac{\pi}{n},$

а длина окружности равна $2\pi \approx 6{,}2832$. У шестиугольника периметр ровно 6, расхождение с кругом 4,5 процента. У девяностошестиугольника, до которого дошёл Архимед, уже 6,2821, то есть 0,018 процента. У тысячесторонней фигуры расхождение падает до стотысячных долей процента, и на любом чертеже многоугольник неотличим от круга.

И всё же он не круг. Прибавление сторон уменьшает разницу, но никогда её не отменяет: у многоугольника всегда есть углы, у окружности их нет. Разница здесь не количественная, а по роду. Именно так, по Кузанскому, наш ум относится к истине: он вписан в неё, приближается к ней бесконечно, но совпасть с ней не может, потому что истина неделима, а приближения делимы всегда. В калькуляторе выше шкала расхождения сделана логарифмической специально: линия опускается, но нуля не касается ни при каком числе сторон.

Совпадение противоположностей: максимум сходится с минимумом

Из того же круга Кузанский выводит второй принцип, ради которого его и помнят, - coincidentia oppositorum, совпадение противоположностей. Возьмём дугу постоянной длины и будем увеличивать радиус. Кривизна равна $k = 1/R$ и падает вместе с ростом радиуса: при $R = 16$ дуга длиной в единицу отходит от своей хорды всего на 0,0078, то есть меньше чем на процент своей длины. Продолжим мысленно: у окружности бесконечного радиуса кривизна обращается в ничто, и наибольшая из кривых линий оказывается прямой.

Рассчитать для своей задачи

Тот же приём работает с максимумом и минимумом. Максимум есть то, больше чего ничего быть не может; минимум - то, меньше чего ничего быть не может. В конечном мире они предельно далеки, а в бесконечности сходятся: тому, что абсолютно велико, нечему быть противоположным, и потому абсолютный максимум есть одновременно и минимум. Логика противоречия здесь не нарушается, а отменяется как неприменимая: закон исключённого третьего работает там, где вещи ограничены и потому различимы.

Абсолютный максимум: Бог, которому нечего противопоставить

Первая книга трактата целиком посвящена абсолютному максимуму, и это имя Бога. Он не наибольшая вещь среди вещей, иначе рядом с ним мыслилось бы нечто меньшее и он оказался бы конечным. Он единственный, кто не входит ни в какое сравнение, а потому о нём нельзя высказать ничего точного: любое утверждение берёт меру из нашего опыта и потому заведомо мало. Отсюда прямой мост к традиции отрицательного богословия, которая учит говорить о Боге через отрицания; как эта линия шла от Дионисия Ареопагита к Паламе, разобрано в статье про апофатическое богословие.

Рассчитать для своей задачи

Новизна Кузанского в том, что отрицание у него получает точную форму. Он не просто говорит «Бог непостижим», а показывает, при каком условии непостижимость необходима: там, где нет пропорции, нет и меры, а без меры нет точного высказывания. Богословский тезис оказывается следствием геометрической теоремы о несоизмеримости, и потому спорить с ним приходится уже не цитатами, а рассуждением.

Стянутый максимум: вселенная как развёртывание

Вторая книга переносит ту же схему на мир. Вселенная тоже названа максимумом, но максимумом стянутым: она есть всё, что есть, однако существует не абсолютно, а во множестве конечных вещей. Отношение Бога и мира Кузанский описывает парой понятий: свёртывание и развёртывание. В Боге всё содержится свёрнуто, как в единице свёрнут весь числовой ряд, а мир есть развёртывание того же содержания во времени и пространстве. Каждая вещь при этом стягивает вселенную по-своему, откуда старая формула Анаксагора: всё во всём.

Отсюда следует важная оговорка. Мир не бесконечен так, как бесконечен Бог: он не имеет границы, но и не абсолютен, он лишь неограничен. Различие тонкое, и именно его чаще всего теряют в пересказах, превращая Кузанского в пантеиста. Похожий ход мысли позже воспроизвела русская религиозная философия, где мир мыслится как содержимое абсолютного начала; см. разбор всеединства у Соловьёва.

Мир без центра: чем Кузанский предвосхитил Коперника

Если у мира нет границы, у него не может быть и центра: центр определяется только относительно края. Кузанский формулирует это одной из самых цитируемых своих фраз: машина мира имеет центр повсюду, а окружность нигде. Отсюда следствия, за которые его вспоминают историки науки: Земля не находится в середине вселенной, она движется, она не самое низкое и не самое грубое тело, а звёзды - такие же области, возможно населённые.

Рассчитать для своей задачи

Важно не переоценить это предвосхищение. Кузанский не наблюдал небо, не считал орбит и не предлагал никакой кинематической модели: у него нет ни гелиоцентризма, ни расчётов, которые сделал Коперник век спустя. Его вывод метафизический - точной окружности, точного центра и точного покоя в мире нет, потому что точность принадлежит одному Богу. Джордано Бруно, который прямо называл Кузанца божественным, довёл этот тезис до учения о бесконечной вселенной и множестве миров, а вот доказательств, что Коперник читал трактат 1440 года, у нас нет.

Между схоластикой и Возрождением

По образованию Кузанский схоласт: доктор канонического права из Падуи, участник Базельского собора, автор трактата о согласии в церкви. Его источники - Дионисий Ареопагит, Мейстер Экхарт, Раймунд Луллий, Прокл, то есть вполне средневековый набор. Но метод уже другой: вместо силлогизма и разбора авторитетов он берёт математический образ и заставляет его работать как доказательство. Богослов Иоганн Венк обвинил его в том, что учёное незнание разрушает науку и ведёт к ереси, и Кузанскому пришлось отвечать отдельной «Апологией учёного незнания» в 1449 году.

От гуманистов его тоже отличает многое: филология, риторика и античный вкус занимали его меньше, чем математика и метафизика, поэтому в ряд с Пико и Фичино он встаёт неудобно, хотя эпоха общая; о самом сдвиге эпохи см. антропоцентризм Возрождения. И от сократовского незнания его позиция отличается принципиально: у Сократа незнание - исходная точка, расчищающая место для поиска, инструмент майевтики, а у Кузанского это итог, доказанное свойство любого конечного ума.

Частые ошибки

• Путать учёное незнание со скептицизмом. Скептик воздерживается от суждения, Кузанский же утверждает вполне определённое: точность недостижима, и это знание, а не отказ от него.
• Читать совпадение противоположностей как отмену логики. Противоречие снимается только в бесконечном, где вещи перестают быть ограниченными; в конечном мире законы логики у Кузанского работают как обычно.
• Приписывать ему понятие предела. Современный аппарат позволяет сказать, что периметр стремится к длине окружности; у Кузанского же вывод обратный по смыслу: предельный переход показывает не достижение цели, а её принципиальную недостижимость.
• Делать из него астронома. Тезисы о движении Земли и об отсутствии центра выведены из метафизики неограниченности, а не из наблюдений, и никакой гелиоцентрической системы в трактате нет.
• Считать его пантеистом. Мир у Кузанского не Бог, а его развёртывание; различие абсолютного и стянутого максимума проведено намеренно, чтобы избежать отождествления.

FAQ

Почему трактат называется «Об учёном незнании», а не «О незнании»? Потому что незнание здесь - результат обучения, а не его отсутствие. Обычное невежество не знает даже того, чего оно не знает; учёное незнание точно указывает границу и объясняет, почему она непреодолима.

Что такое coincidentia oppositorum простыми словами? Это утверждение, что в бесконечности противоположности перестают различаться: наибольшая окружность совпадает с прямой, максимум с минимумом, покой с движением. Работает принцип не как фокус, а как следствие того, что различие требует границы, а в бесконечном границы нет.

Кузанский повлиял на науку или только на философию? На науку - косвенно. Прямых расчётов он не дал, а его собственные попытки решить квадратуру круга были ошибочны, за что его критиковал математик Региомонтан. Но идея неограниченного мира без привилегированного центра вошла в оборот и через Бруно дошла до новой космологии.

Коротко

Учёное незнание Кузанского - это доказанное знание о том, что конечный ум не может точно измерить бесконечное, потому что между ними нет пропорции. Многоугольник в круге и распрямляющаяся дуга дают образ этого предела, а заодно ведут к совпадению противоположностей: в бесконечности максимум сходится с минимумом. Из того же принципа выходит Бог как абсолютный максимум, вселенная как максимум стянутый и мир без центра и края - набор идей, который через Бруно повлиял на новую картину космоса, хотя написан был кардиналом в 1440 году.