Теорема синусов: нахождение угла и сторон

Теорема синусов - одна из двух главных теорем тригонометрии треугольника наряду с теоремой косинусов. Она связывает все три стороны треугольника с синусами противолежащих углов через единый делитель: диаметр описанной окружности. Это делает её незаменимым инструментом, когда известны два угла и одна сторона или две стороны и угол, не заключённый между ними. Чтобы сразу почувствовать, как работает формула, двигайте ползунки в калькуляторе ниже: все стороны и радиус пересчитываются мгновенно, а на графике видно, как меняется сторона $b$ при изменении угла $B$.

Формула теоремы синусов

Для любого треугольника $ABC$ со сторонами $a, b, c$ и противолежащими углами $A, B, C$ справедливо равенство:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$

где $R$ - радиус описанной окружности. Все три дроби равны одному числу - диаметру $2R$ описанной окружности. Именно эта форма позволяет немедленно найти любую сторону или угол, если известны остальные два элемента пары.

Рассчитать для своей задачи

Геометрический смысл: в окружность можно вписать любой треугольник, и каждая сторона «видна» из центра под двойным центральным углом. Вписанный угол при вершине треугольника равен ровно половине центрального - отсюда и получается соотношение через $2R$.

Как найти угол по теореме синусов

Наиболее частая учебная задача - найти угол по двум сторонам и одному известному углу. Пусть даны $a, b$ и угол $A$. Тогда из основной пропорции:

$$\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \implies \sin B = \frac{b \sin A}{a}.$$

Отсюда $B = \arcsin\!\left(\dfrac{b \sin A}{a}\right)$. Здесь важно помнить об амбигуитете: уравнение $\sin B = k$ имеет два решения на промежутке $(0°; 180°)$ - острый угол $B_1 = \arcsin k$ и тупой $B_2 = 180° - B_1$. Оба могут давать допустимый треугольник, если их сумма с углом $A$ не превышает $180°$.

Рассчитать для своей задачи

Правило проверки: после нахождения $B$ вычислите $C = 180° - A - B$ и убедитесь, что $C > 0°$. Если оба варианта дают $C > 0°$ - задача имеет два решения. Если только один - единственное решение. Если $\sin B > 1$ - треугольника с такими данными не существует.

Нахождение третьего угла и оставшихся сторон

Как только найден угол $B$, третий угол следует немедленно из суммы углов:

$$C = 180° - A - B.$$

Затем по той же пропорции находятся обе оставшиеся стороны:

$$b = \frac{a \sin B}{\sin A}, \qquad c = \frac{a \sin C}{\sin A}.$$

Порядок действий фиксированный: сначала все углы, потом стороны. Пытаться найти стороны до того, как известны все три угла, - типичная ошибка, которая приводит к лишним вычислениям.

Радиус описанной окружности

Одно из самых ценных следствий теоремы синусов - мгновенная формула для радиуса описанной окружности:

$$R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{b}{2 \sin B} = \frac{c}{2 \sin C}.$$

Можно использовать любую из трёх дробей - все они дадут один и тот же результат. Диаметр описанной окружности $D = 2R$ и есть тот единый делитель из основной пропорции.

Частный случай: если угол $A = 90°$, то $\sin A = 1$, и формула принимает вид $R = a/2$ - радиус равен половине гипотенузы. Это знакомый факт о прямоугольном треугольнике, вписанном в окружность: гипотенуза является диаметром.

Случай тупоугольного треугольника

Теорема синусов работает одинаково для остроугольных, прямоугольных и тупоугольных треугольников. Но при нахождении угла по синусу нужна осторожность: если $A$ - тупой угол ($A > 90°$), то $B$ и $C$ обязательно острые (сумма углов 180°, и только один может быть тупым). Значит, в случае тупоугольного треугольника амбигуитет автоматически исчезает - из двух значений $\arcsin$ остаётся только острый.

Пример пошагового решения

Задача. В треугольнике $ABC$ угол $A = 40°$, угол $B = 65°$, сторона $a = 8$. Найдите сторону $b$, сторону $c$ и радиус описанной окружности.

Шаг 1. Найдём третий угол: $C = 180° - 40° - 65° = 75°.$

Шаг 2. Вычислим стороны по теореме синусов: $b = \frac{a \sin B}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} \approx \frac{8 \cdot 0{,}906}{0{,}643} \approx 11{,}27.$ $c = \frac{a \sin C}{\sin A} = \frac{8 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} \approx \frac{8 \cdot 0{,}966}{0{,}643} \approx 12{,}01.$

Шаг 3. Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{8}{2 \cdot 0{,}643} \approx 6{,}22.$

Проверка: вычислим $R$ через другую сторону: $R = b / (2 \sin B) \approx 11{,}27 / (2 \cdot 0{,}906) \approx 6{,}22$ - совпадает. Такая взаимная проверка занимает секунды и сразу выявляет арифметические ошибки.

Теорема синусов и теорема косинусов: когда что применять

Теорему синусов удобнее, когда известны:

• два угла и любая сторона (ASA или AAS) - третий угол находится немедленно;
• две стороны и угол, не заключённый между ними (SSA) - нужно учесть возможные два решения.

Теорему косинусов применяют, когда:

• известны три стороны (SSS) - синус через косинус не берётся напрямую;
• известны две стороны и заключённый между ними угол (SAS).

На практике в задаче о «найдите угол» часто сначала применяют теорему косинусов, чтобы найти первый угол, а затем остальные два - уже по теореме синусов. Именно поэтому обе теоремы учат вместе.

Частые ошибки

• Арксинус даёт единственный ответ - забывают второй. $\arcsin$ возвращает значение в $(-90°; 90°)$, но угол треугольника может быть тупым. Всегда проверяйте второй вариант $180° - B_1$.
• Деление синуса на синус без перекрёстного умножения. Из пропорции $a/\sin A = b/\sin B$ выводят $b = a \cdot \sin A / \sin B$ (перепутан числитель и знаменатель). Правильно: $b = a \cdot \sin B / \sin A$.
• Радиус считают как $a / \sin A$ вместо $a / (2 \sin A)$. Множитель $2$ в знаменателе соответствует диаметру, не радиусу, в основной пропорции.
• Не проверяют $C > 0°$. После нахождения $B$ нужно убедиться, что третий угол положителен, иначе треугольника не существует.
• Смешивают стороны и углы. Сторона $a$ всегда лежит напротив угла $A$. Если задача переформулирована с другим обозначением, перепишите в стандартное.

FAQ

Можно ли применить теорему синусов к прямоугольному треугольнику?

Да, и это особенно удобно: если угол $C = 90°$, то $\sin C = 1$, и пропорция принимает вид $c/(1) = 2R$, то есть гипотенуза равна диаметру описанной окружности. Остальные соотношения тоже упрощаются.

Что делать, если оба решения $B_1$ и $B_2$ дают допустимый треугольник?

Задача имеет два решения - оба корректны. Нужно рассмотреть оба треугольника и записать ответ для каждого. В условии иногда добавляют уточнение «угол тупой» или «треугольник остроугольный», чтобы исключить одно из решений.

Как связаны теорема синусов и формула площади?

Из теоремы синусов следует, что $b = 2R \sin B$. Подставляя в формулу площади $S = \tfrac{1}{2} ac \sin B$, получаем $S = \tfrac{abc}{4R}$ - стандартная формула площади через стороны и радиус описанной окружности.

Коротко

Теорема синусов гласит: $a/\sin A = b/\sin B = c/\sin C = 2R$. Она позволяет найти любой неизвестный угол или сторону треугольника, если даны два угла и сторона или две стороны и не заключённый угол. При нахождении угла по синусу нужно проверять оба варианта арксинуса. Радиус описанной окружности вычисляется сразу как $R = a/(2\sin A)$.