Двойные тригонометрические неравенства: метод решения

Двойные тригонометрические неравенства - это неравенства вида $a < \sin x < b$ или $a < \cos x < b$, в которых функция одновременно ограничена снизу и сверху. Они встречаются в задачах ЕГЭ и вузовских контрольных чаще, чем кажется: за «двойным» видом скрывается два простых неравенства, объединённых пересечением. Ключевой инструмент решения - единичная окружность: вы мысленно проводите две горизонтальные хорды (для синуса) или две вертикальных хорды (для косинуса) и читаете длину дуги между ними.

Разница с одиночным неравенством принципиальна. Если $\sin x > a$ даёт бесконечную последовательность полуокружностей, то дополнительное условие $\sin x < b$ «обрезает» каждую из них с другой стороны, оставляя лишь конечную дугу на каждом периоде. Именно поэтому ответ двойного неравенства всегда выражается двусторонним промежутком, а не лучом. Ниже - рабочий алгоритм с формулами, иллюстрациями и разборами ошибок. Прежде чем читать теорию, покрутите калькулятор: выберите функцию и границы - график сразу покажет, какие дуги попадают в допустимую зону.

Что такое двойное тригонометрическое неравенство

Запись $a < \sin x < b$ означает систему из двух неравенств:

$$\begin{aligned} \sin x &> a, \\ \sin x &< b. \end{aligned}$$

Решение - пересечение двух множеств. На единичной окружности это не одна граничная точка, а дуга, где ордината точки одновременно больше $a$ и меньше $b$. Именно поэтому такие неравенства называют двойными: ответ всегда промежуток (или объединение промежутков), а не луч.

Рассчитать для своей задачи

Граничные значения достигаются при $\sin x = a$ и $\sin x = b$. Если неравенство нестрогое ($\leq$), граничные точки включаются в ответ. Если строгое ($<$) - исключаются; это важно при записи ответа через квадратные или круглые скобки.

Алгоритм решения для sin x

Рассмотрим $a < \sin x < b$, где $-1 \leq a < b \leq 1$.

Шаг 1. Найти главное значение нижней границы:

$$x_1 = \arcsin a.$$

Шаг 2. Найти второй корень на отрезке $[0°, 360°]$, симметричный первому относительно $90°$:

$$x_1' = 180° - \arcsin a.$$

Шаг 3. Аналогично для верхней границы:

$$x_2 = \arcsin b, \quad x_2' = 180° - \arcsin b.$$

Шаг 4. Дуга, где $\sin x > a$, лежит между $x_1$ и $x_1'$ (в первой полуокружности). Дуга, где $\sin x < b$, лежит за пределами $[x_2, x_2']$. Пересекаем:

$$\arcsin a < x < \arcsin b \quad \text{или} \quad 180° - \arcsin b < x < 180° - \arcsin a.$$

Шаг 5. Добавляем период $360° \cdot n$, $n \in \mathbb{Z}$:

$$\arcsin a + 360°n < x < \arcsin b + 360°n.$$

Если $a$ и $b$ одного знака, часть дуг выпадает - проверяйте каждую дугу вручную на числовой оси.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке видно: дуга, где $\sin x \in (a, b)$, расположена строго между двумя параллельными хордами $y = a$ и $y = b$. Это «полоска» на единичной окружности, и её длина определяет, насколько широк промежуток ответа.

Алгоритм решения для cos x

Для $a < \cos x < b$ рассуждение симметрично, но ось симметрии другая - вертикальная ось $0°$ / $360°$, а не $90°$.

Шаг 1–2. Главное значение и симметричный корень для нижней границы:

$$x_1 = \arccos a, \quad x_1' = -\arccos a = 360° - \arccos a.$$

Дуга, где $\cos x > a$: $-\arccos a < x < \arccos a$ (то есть $x$ близко к нулю).

Шаг 3. Аналогично верхняя граница: $\cos x < b$ выполняется для $x \in (\arccos b,\, 360° - \arccos b)$.

Шаг 4. Пересечение:

$$\arccos b < x < \arccos a.$$

Шаг 5. Общее решение:

$$\arccos b + 360°n < x < \arccos a + 360°n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Обратите внимание: здесь $\arccos b < \arccos a$, потому что косинус убывает - большему значению $b > a$ соответствует меньший угол $\arccos b < \arccos a$.

Разбор типового примера

Задача. Решить неравенство: $-\dfrac{1}{2} < \sin x < \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Обе границы - табличные значения, поэтому $\arcsin$ считается точно. Переходим к обратным функциям:

$$x_{\text{нижн}} = \arcsin\!\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -30°, \qquad x_{\text{верх}} = \arcsin\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 60°.$$

Прямая дуга (правая полуплоскость): $-30° < x < 60°$.

Симметричная дуга (левая полуплоскость): $180° - 60° = 120°$ и $180° - (-30°) = 210°$, то есть $120° < x < 210°$.

Добавляем период:

$$-30° + 360°n < x < 60° + 360°n \quad \cup \quad 120° + 360°n < x < 210° + 360°n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Проверка: при $x = 0°$ имеем $\sin 0° = 0 \in (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2})$ - верно. При $x = 90°$ имеем $\sin 90° = 1 \notin (-\tfrac{1}{2}, \tfrac{\sqrt{3}}{2})$ - правильно, $90°$ не входит в первую дугу. При $x = 150°$ имеем $\sin 150° = \tfrac{1}{2} < \tfrac{\sqrt{3}}{2}$, и $150° \in (120°, 210°)$ - тоже верно.

Важно убедиться, что граничные точки $x = -30° + 360°n$ и $x = 60° + 360°n$ не включены в ответ (строгое неравенство): на этих точках $\sin x$ равен ровно $-\tfrac{1}{2}$ или $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$ соответственно, что нарушает строгость.

Особые случаи

Случай 1: $a \leq -1$ и $b \geq 1$. Тогда $\sin x \in (-1, 1)$ всегда, и решение - вся числовая прямая $x \in (-\infty, +\infty)$. Это частный случай, который часто встречается в задачах на проверку понимания: студент, не проверив диапазон функции, начинает считать $\arcsin$ несуществующего значения.

Случай 2: $a \geq 1$ или $b \leq -1$. Нет ни одного $x$, решения не существует. Если задача предполагает конкретный числовой ответ, это означает пустое множество $\varnothing$.

Случай 3: $a = b$. Пустое множество: нельзя одновременно $\sin x > a$ и $\sin x < a$. При $a = b$ единственный вариант - уравнение $\sin x = a$, которое решается отдельно.

Случай 4: границы - «табличные» значения. Если $a = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ или $b = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, выражайте ответ через $\pi$ (радианы), а не через десятичные дроби. В ЕГЭ формат ответа указан в условии; в вузовских задачах по умолчанию ответ в радианах.

Случай 5: одна граница попадает в $[-1, 1]$, другая - нет. Например, $-2 < \sin x < 0{,}5$. Тогда нижняя граница автоматически становится $-1$ (синус никогда не бывает меньше $-1$), и задача сводится к $-1 \leq \sin x < 0{,}5$. Это означает, что из дуги исключается лишь правая часть (где $\sin x \geq 0{,}5$).

Радианная и градусная мера в ответе

В школьных задачах ЕГЭ ответ традиционно пишут в радианах, потому что $\arcsin$ и $\arccos$ возвращают радианы. Если условие дано в градусах, удобно работать в градусах, а потом перевести: $1\,\text{рад} = 180°/\pi \approx 57{,}3°$.

Главные «табличные» значения, которые нужно знать наизусть:

Обратные значения получаются с минусом: $\arcsin(-1/2) = -\pi/6$, $\arccos(-\sqrt{3}/2) = 5\pi/6$.

Если границы «нетабличные» (например, $a = 0{,}3$), ответ оставляют через $\arcsin 0{,}3$ - это допустимо на экзамене. Калькулятор выше помогает оценить приближённое положение дуг на графике даже для нетабличных значений.

Как записать ответ на числовой оси

После нахождения дуг их изображают на числовой прямой: отрезки закрашивают, граничные точки обозначают заштрихованными (включена) или незаштрихованными (исключена) кружочками. Для строгого неравенства $a < \sin x < b$ граничные точки $x = \arcsin a + 360°n$ и $x = \arcsin b + 360°n$ исключены. Это важно не только для корректной записи, но и для задач, где нужно посчитать количество целых решений на отрезке.

Связь с тригонометрическими уравнениями

Двойное неравенство можно понять как «интервал» между двумя тригонометрическими уравнениями. Уравнение $\sin x = a$ задаёт изолированные точки; неравенство $\sin x > a$ - «промежутки между» ними. Пересечение двух таких промежутков и даёт решение двойного неравенства.

Это объясняет, почему метод единичной окружности так удобен: вместо алгебрических преобразований вы просто смотрите, какая дуга лежит между двумя горизонтальными (для $\sin$) или вертикальными (для $\cos$) хордами.

Тот же принцип работает при решении систем с двойными неравенствами, когда ограничения накладываются на разные тригонометрические функции одновременно - тогда ответ строится как пересечение нескольких дуг на общей числовой оси. О базовом методе единичной окружности подробно написано в статье про тригонометрические уравнения.

Частые ошибки

• Путают знак у $\arcsin$. При $a < 0$ значение $\arcsin a < 0$ - это угол в четвёртой или третьей четверти. Нельзя автоматически писать $x > |\arcsin a|$.
• Не строят вторую дугу. Синус принимает каждое значение дважды за период (в первой и второй четверти для положительных, в третьей и четвёртой для отрицательных). Пропуск второй дуги - потеря половины ответа.
• Забывают про период. Ответ обязан содержать $+360°n$; запись без $n$ даёт только частное решение.
• Неверно расставляют скобки при нестрогом неравенстве. При $a \leq \sin x \leq b$ граничные точки включены: нужны квадратные скобки $[{-30°}, 60°]$, а не круглые.
• Делят область $\arccos$ как $\arcsin$. Для косинуса ось симметрии вертикальная ($0°$ / $360°$), а не горизонтальная ($90°$). Смешение приводит к неправильным границам.

FAQ

Как определить, есть ли решение у двойного тригонометрического неравенства $a < \sin x < b$? Решение существует тогда и только тогда, когда $a < b$ и хотя бы часть отрезка $[a, b]$ пересекает интервал $(-1, 1)$. Если $a \geq 1$ или $b \leq -1$ - решений нет. Если $a \leq -1$ и $b \geq 1$ - решение вся числовая прямая.

Можно ли решать двойное неравенство через тангенс или котангенс? Двойное неравенство вида $a < \tan x < b$ решается аналогично, но метод проще: тангенс монотонен на каждом промежутке $(-90° + 180°n; 90° + 180°n)$, поэтому достаточно взять $\arctan a < x < \arctan b$ и добавить период $180°n$, $n \in \mathbb{Z}$.

В чём разница между $a < \sin x < b$ и $|\sin x - c| < r$? Запись $|\sin x - c| < r$ - это то же двойное неравенство $c - r < \sin x < c + r$, сдвинутое и сжатое. Если раскрыть модуль, получаете стандартную форму двойного неравенства и решаете по тому же алгоритму.

Коротко

Двойное тригонометрическое неравенство $a < \sin x < b$ сводится к пересечению двух простых неравенств и решается через $\arcsin a$ и $\arcsin b$: дуга ответа лежит между хордами $y = a$ и $y = b$ на единичной окружности. Для $\cos x$ ось симметрии вертикальная, поэтому ответ строится через $\arccos b$ и $\arccos a$ (порядок аргументов обращается). Главные ловушки - забытая вторая дуга, отсутствие периода $+360°n$ и неверный знак у $\arcsin$ при отрицательных границах.