Совокупные и совместные измерения: определение и примеры

Совокупные и совместные измерения объединяет одно: искомое значение нельзя ни прочитать со шкалы, ни вычислить по одной готовой формуле. Его получают, решая систему уравнений. Различаются они единственным признаком. Совокупные измерения находят несколько одноимённых величин, например массы гирь одного набора. Совместные находят разноимённые величины и связь между ними, например сопротивление при нуле градусов и температурный коэффициент. Ниже разберём классификацию по РМГ 29-2013, два классических примера с числами, переопределённую систему, оценку погрешности и путаницы, на которых теряют баллы на экзамене. Калькулятор ниже решает типовую задачу совместных измерений: по нескольким парам «температура, сопротивление» он находит $R_0$ и $\alpha$ методом наименьших квадратов.

Виды измерений по способу получения результата

Рекомендации РМГ 29-2013 «ГСИ. Метрология. Основные термины и определения» делят измерения по способу получения результата на четыре вида. Вся классификация отвечает на один вопрос: откуда берётся число, которое попадает в протокол.

Рассчитать для своей задачи

Прямые измерения лежат в основе остальных трёх видов: каждое уравнение в совокупных и совместных измерениях опирается на отдельный прямой отсчёт. Как обрабатывать серию таких отсчётов (среднее, СКО, коэффициент Стьюдента), разобрано в статье про обработку прямых многократных измерений. Здесь мы начинаем с того места, где отдельные отсчёты уже получены и их нужно связать в систему.

Косвенное измерение отличается тем, что формула связи известна и разрешена относительно искомой величины: подставили $U$ и $I$, получили $P$. Погрешность при этом переносится по правилу сложения погрешностей. В совокупных и совместных измерениях готовой формулы нет. Есть несколько уравнений, в каждом из которых искомые величины перемешаны, и распутать их можно только решив все уравнения вместе.

Совокупные измерения: определение и пример с гирями

Совокупные измерения, по РМГ 29-2013, это проводимые одновременно измерения нескольких одноимённых величин, при которых искомые значения находят решением системы уравнений, полученных при измерении этих величин в различных сочетаниях. Документ отдельно оговаривает: уравнений должно быть не меньше, чем искомых величин.

Классический пример из того же документа: калибровка набора гирь. Взвесить каждую гирю по отдельности можно, но сравнивать их сочетания точнее и надёжнее. Пусть у нас три гири номиналом 10, 20 и 50 г, а компаратор дал массы трёх пар:

$$\begin{aligned} m_1 + m_2 &= 30{,}006\ \text{г},\\ m_1 + m_3 &= 60{,}004\ \text{г},\\ m_2 + m_3 &= 70{,}008\ \text{г}. \end{aligned}$$

Сложив все три уравнения, получим $2(m_1 + m_2 + m_3) = 160{,}018$ г, то есть сумма масс равна 80,009 г. Вычитая из неё каждое уравнение, находим $m_3 = 50{,}003$ г, $m_2 = 20{,}005$ г, $m_1 = 10{,}001$ г. Все три величины одноимённые (масса), все измерены в сочетаниях, и ни одна не взята со шкалы напрямую. Это и есть совокупное измерение.

Само сравнение на компараторе реализует нулевой метод измерения: весы доводят до равновесия, и отсчёт определяется образцовой мерой, а не шкалой. Образцовая мера, в свою очередь, привязана к эталону единицы массы через цепочку метрологической прослеживаемости.

Совместные измерения: температурный коэффициент сопротивления

Совместные измерения, по тем же рекомендациям, это проводимые одновременно измерения двух или нескольких неодноимённых величин для определения зависимости между ними. В системе оказываются величины разной природы, и цель состоит не просто в их значениях, а в параметрах закона, который их связывает.

Классика жанра: определение температурного коэффициента сопротивления. Для металлов в умеренном диапазоне температур

$$R(t) = R_0\,(1 + \alpha t),$$

где $R_0$ означает сопротивление при 0 °C, а $\alpha$ является температурным коэффициентом сопротивления в 1/°C. Проводник помещают в термостат и при нескольких температурах одновременно фиксируют $t_i$ по термометру и $R_i$ по омметру или мосту.

Рассчитать для своей задачи

Искомые $R_0$ (Ом) и $\alpha$ (1/°C) разноимённые, и измерить их по отдельности нельзя: $\alpha$ не прочитать ни с одной шкалы, а для $R_0$ нужна точка ровно при нуле, которую в эксперименте часто и не ставят. Удобна замена $a = R_0$, $b = R_0\alpha$: модель становится линейной, $R = a + bt$, и каждое измерение даёт одно линейное уравнение.

Пример с числами (они же стартовые значения калькулятора). Медная обмотка: при $t = 20,\ 40,\ 60,\ 80$ °C измерено $R = 10{,}87;\ 11{,}70;\ 12{,}60;\ 13{,}43$ Ом. Четыре уравнения на два неизвестных, то есть система переопределённая, и решать её будем методом наименьших квадратов.

Чем совокупные измерения отличаются от совместных

Главный признак здесь род искомых величин:

• совокупные: все искомые одноимённые (массы гирь, ёмкости конденсаторов набора, сопротивления резисторов магазина), а уравнения обычно получаются из разных сочетаний этих величин;
• совместные: искомые разноимённые (сопротивление и температурный коэффициент, длина стержня при 0 °C и коэффициент линейного расширения), а уравнения получаются при разных значениях внешнего параметра, чаще всего температуры.

Общее у них одно, но важное: результат даёт система уравнений, а не одна формула. Поэтому математика обработки у обоих видов одинаковая, отличается только физический смысл неизвестных.

Отличие от косвенных измерений удобно запомнить через вопрос «сколько уравнений». В косвенном измерении уравнение одно, и оно явно разрешено: $\rho = m/V$. В совместном уравнений много, и каждое содержит все неизвестные сразу. Если у вас есть готовая формула для искомой величины и значения аргументов, это косвенное измерение, даже если аргументов пять.

Система уравнений и переопределённость

В общем виде совокупные и совместные измерения сводятся к линейной (или линеаризованной) системе

$$A\,\boldsymbol{\theta} = \mathbf{y},$$

где $\boldsymbol{\theta}$ означает вектор из $m$ искомых величин, $\mathbf{y}$ содержит $n$ результатов прямых измерений, а $A$ является матрицей коэффициентов (у гирь это нули и единицы, у резистора столбец единиц и столбец температур). При $n = m$ система определённая: решение единственное, но проверить его нечем, и любая ошибка отсчёта целиком уходит в результат. Поэтому на практике берут $n > m$, и система становится переопределённой. Точного решения у неё нет: отсчёты содержат погрешности, и уравнения слегка противоречат друг другу.

Лучшую оценку в этом случае даёт метод наименьших квадратов: он выбирает $\boldsymbol{\theta}$, при котором сумма квадратов невязок минимальна,

$$\hat{\boldsymbol{\theta}} = (A^{\mathsf T}A)^{-1}A^{\mathsf T}\mathbf{y}.$$

Для резистора это нормальная система МНК из двух уравнений. На наших данных $\sum t_i = 200$, $\sum R_i = 48{,}60$, $\sum t_i^2 = 12\,000$, $\sum t_iR_i = 2515{,}8$:

$$\begin{aligned} 4a + 200\,b &= 48{,}60,\\ 200a + 12\,000\,b &= 2515{,}8. \end{aligned}$$

Отсюда $b = 343{,}2/8000 = 0{,}0429$ Ом/°C, $a = R_0 = 10{,}005$ Ом и $\alpha = b/a = 4{,}288\cdot10^{-3}$ 1/°C, что близко к справочному значению для меди (около $4{,}3\cdot10^{-3}$ 1/°C).

Для гирь добавим к трём сочетаниям четвёртое: все три гири вместе дали $m_1 + m_2 + m_3 = 80{,}012$ г, а не 80,009 г, как следует из первых трёх уравнений. Теперь уравнений четыре на три неизвестных, и МНК даёт $m_1 = 10{,}00143$ г, $m_2 = 20{,}00543$ г, $m_3 = 50{,}00343$ г. Невязки: минус 0,86 мг у каждой пары и плюс 1,71 мг у полной суммы. Лишнее уравнение не только уточнило результат, но и показало, насколько согласованы отсчёты.

Схема «уравнений больше, чем неизвестных» встречается и за пределами метрологии. В эконометрике похожую задачу для систем одновременных уравнений решает косвенный метод наименьших квадратов, и идея минимизации невязок там та же.

Оценка погрешности совокупных и совместных измерений

Погрешность оценивают по остаткам. Дисперсия единичного уравнения равна

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} e_i^2}{n - m},$$

где $e_i$ обозначает невязки, а $n - m$ является числом степеней свободы, то есть избыточных уравнений. Ковариационная матрица оценок равна $s^2 (A^{\mathsf T}A)^{-1}$, её диагональ даёт дисперсии искомых величин.

Для резистора невязки равны $+0{,}007;\ -0{,}021;\ +0{,}021;\ -0{,}007$ Ом, степеней свободы $4 - 2 = 2$, $s = 0{,}022$ Ом, СКО $R_0$ составляет 0,027 Ом. Для $\alpha = b/a$ погрешность переносят через частные производные с учётом ковариации $a$ и $b$: они коррелированы отрицательно, потому что опираются на одни и те же точки.

$$s_\alpha^2 = \frac{s_b^2}{a^2} + \frac{b^2 s_a^2}{a^4} - \frac{2b}{a^3}\,\mathrm{cov}(a,b).$$

Итог: $R_0 = (10{,}005 \pm 0{,}027)$ Ом и $\alpha = (4{,}288 \pm 0{,}060)\cdot10^{-3}$ 1/°C, где после «±» стоит СКО. Для доверительной вероятности 0,95 его умножают на коэффициент Стьюдента при двух степенях свободы ($t = 4{,}30$), и интервалы расширяются примерно до $\pm0{,}12$ Ом и $\pm0{,}26\cdot10^{-3}$ 1/°C. Как записать такой результат, подсказывают правила округления результата и погрешности. Вывод простой: две избыточные точки дают слабую статистику, для надёжного интервала точек нужно больше.

У гирь всего одна степень свободы: $s = 2{,}27$ мг, а СКО каждой массы равно $\sqrt{5/7}\,s \approx 1{,}9$ мг (множитель $5/7$ стоит на диагонали матрицы $(A^{\mathsf T}A)^{-1}$). Коэффициент Стьюдента при одной степени свободы равен 12,7, поэтому при калибровке гирь сочетаний берут заметно больше, чем неизвестных.

Частые ошибки

• Путать совместные измерения с косвенными. Плотность по формуле $\rho = m/V$ из измеренных массы и объёма является косвенным измерением, хотя величины разноимённые. Совместное измерение ищет параметры зависимости по многим парам значений.
• Считать совокупными любые измерения нескольких величин. Три вольтметра, снятые одновременно, дают три прямых измерения; совокупным измерение делает система уравнений из сочетаний.
• Ставить ровно столько уравнений, сколько неизвестных, и потом «оценивать погрешность» по нулевым невязкам. При $n = m$ разброс взять неоткуда, поэтому калькулятор при двух точках показывает прочерк.
• Делить на $n$ или на $n - 1$ вместо $n - m$ в формуле для $s^2$. Оценка выходит заниженной, особенно когда избыточных уравнений мало.
• Не смотреть на остатки. Одна промахнувшаяся точка (пресет «Медь с промахом» в калькуляторе) искажает $\alpha$ и раздувает СКО. Большая невязка у одной точки означает, что точку надо перемерить, а не усреднять.

FAQ

Совокупные и совместные измерения это одно и то же? Нет. Оба вида решают систему уравнений, но совокупные ищут одноимённые величины (массы нескольких гирь), а совместные ищут разноимённые величины и зависимость между ними (сопротивление и температурный коэффициент).

Сколько уравнений нужно в совокупных измерениях? Не меньше, чем неизвестных: это прямое требование РМГ 29. На практике берут больше, потому что избыточные уравнения позволяют найти результат методом наименьших квадратов и оценить погрешность по невязкам.

Почему определение температурного коэффициента не считают косвенным измерением? Потому что нет формулы, по которой $\alpha$ вычисляется из одного набора отсчётов. Параметры $R_0$ и $\alpha$ находят одновременно, из системы уравнений по нескольким температурам, и каждый отсчёт входит в оценку обоих параметров.

Коротко

По способу получения результата измерения бывают прямыми, косвенными, совокупными и совместными. Совокупные и совместные отличаются от первых двух тем, что результат дают из системы уравнений, а друг от друга отличаются родом искомых величин: одноимённые (массы гирь набора) против разноимённых ($R_0$ и $\alpha$ в законе $R = R_0(1 + \alpha t)$). Уравнений берут больше, чем неизвестных, решают переопределённую систему методом наименьших квадратов, а погрешность оценивают по невязкам с числом степеней свободы $n - m$.