Сложение перпендикулярных колебаний: уравнение эллипса

Когда точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях вдоль перпендикулярных осей $x$ и $y$, её движение перестаёт описываться одной синусоидой и превращается в плоскую кривую. В отличие от сложения колебаний вдоль одной прямой, где амплитуды складываются или гасят друг друга, перпендикулярные колебания не мешают друг другу напрямую - вместо этого точка одновременно движется по двум независимым законам, и результатом становится траектория на плоскости. Ниже разберём общий вид этой траектории, выведем уравнение эллипса и угол его наклона при равных частотах, а затем посмотрим, что происходит, когда частоты относятся как целые числа и рождаются именные фигуры Лиссажу. Чтобы сразу увидеть, как амплитуды, частоты и фаза определяют форму кривой, покрутите калькулятор ниже - он строит траекторию мгновенно и параллельно рисует оба исходных колебания.

Общий вид траектории при сложении двух колебаний

Пусть точка одновременно колеблется вдоль оси $x$ и вдоль оси $y$ по гармоническим законам

$x = A \sin(a\,\theta + \varphi), \qquad y = B \sin(b\,\theta),$

где $\theta = \omega t$ - безразмерная фаза времени, $A$ и $B$ - амплитуды, $a$ и $b$ - целые множители частоты, $\varphi$ - разность фаз между колебаниями. В каждый момент пара $(x, y)$ задаёт положение точки, и по мере роста $\theta$ она вычерчивает кривую. Это ровно та же идея суперпозиции, что и при сложении коллинеарных колебаний, только результат складывается не в новую амплитуду вдоль одной прямой, а в двумерную траекторию: каждая координата растёт независимо, а фигура на плоскости - это просто параметрический график двух синусов друг против друга.

Уравнение эллипса и угол его наклона

Самый содержательный случай - равные частоты, $a = b = 1$. Тогда время можно исключить явно: раскрывая $\sin(\theta + \varphi) = \sin\theta\cos\varphi + \cos\theta\sin\varphi$ и выражая $\sin\theta$, $\cos\theta$ через $x/A$ и $y/B$, получают общее уравнение траектории

$\frac{x^2}{A^2} + \frac{y^2}{B^2} - \frac{2xy\cos\varphi}{AB} = \sin^2\varphi.$

Это уравнение эллипса, вписанного в прямоугольник $2A \times 2B$, но повёрнутого относительно осей координат (кроме частных значений фазы). Угол наклона большой оси эллипса $\theta_0$ находится из условия поворота квадратичной формы к главным осям:

$\tan 2\theta_0 = \frac{2AB\cos\varphi}{A^2 - B^2}.$

Если амплитуды равны, $A = B$, эта формула вырождается: при любой фазе, кроме $\varphi = 0, \pi$, оси эллипса направлены под $45^\circ$ к координатным. Именно эта формула наклона - тот же результат, который в оптике задаёт ориентацию эллипса поляризации при сложении двух перпендикулярных световых колебаний, так что задача о фигуре Лиссажу и задача об эллиптически поляризованном свете математически совпадают.

Рассчитать для своей задачи

Вырожденные случаи: отрезок и окружность

При $\varphi = 0$ произведение $\cos\varphi = 1$ обращает правую часть уравнения в нуль, и квадратичная форма распадается на пару прямых, из которых физический смысл имеет одна: $y = (B/A)\,x$. Колебания идут строго в такт, и точка движется по прямому отрезку по диагонали прямоугольника. При $\varphi = \pi$ получается тот же отрезок, но с противоположным наклоном - колебания в противофазе.

При $\varphi = \pi/2$ слагаемое с произведением $xy$ исчезает, и уравнение превращается в канонический эллипс с осями вдоль координатных: $x^2/A^2 + y^2/B^2 = 1$. Если вдобавок амплитуды равны, $A = B$, этот эллипс становится окружностью - точка равномерно движется по кругу. Так один и тот же механизм сложения двух перпендикулярных колебаний с равными частотами даёт целое семейство фигур: от прямой через наклонный эллипс до окружности, и всё зависит только от фазы и отношения амплитуд.

Кратные частоты и фигуры Лиссажу

Если частоты неравны, но их отношение $a:b$ выражается целыми числами, кривая остаётся замкнутой: за один общий период $\theta \in [0, 2\pi)$ оба слагаемых успевают вернуться в исходную фазу, потому что $\sin(a(\theta+2\pi)) = \sin(a\theta)$ при целом $a$. Такие замкнутые кривые с целым отношением частот и называют фигурами Лиссажу - они устроены сложнее эллипса, но подчиняются тому же принципу: координаты $x$ и $y$ меняются независимо, каждая по своему синусу, а форма получившейся фигуры зависит от отношения $a:b$ и от фазы $\varphi$.

Рассчитать для своей задачи

Если же отношение частот иррационально, точка никогда не возвращается в исходное положение: кривая постепенно, виток за витком, заполняет весь прямоугольник $A \times B$, не замыкаясь. Практически отличить очень близкое к целому, но иррациональное отношение от истинно целого можно по тому, замирает фигура на экране или медленно "плывёт", смещаясь при каждом новом обходе.

Как прочитать отношение частот по фигуре

У замкнутой фигуры Лиссажу есть удобный практический признак: число касаний боковых, левой и правой, стенок прямоугольника равно множителю частоты по оси $x$, то есть числу $a$, а число касаний верхней и нижней стенок равно множителю частоты по оси $y$, то есть числу $b$. Это следует напрямую из формул: экстремумы $x$ достигаются при $a\theta + \varphi = \pi/2 + k\pi$ и повторяются $a$ раз за период, а экстремумы $y$ - при $b\theta = \pi/2 + k\pi$ и повторяются $b$ раз.

Рассчитать для своей задачи

Именно на этом принципе основано измерение неизвестной частоты с помощью электронно-лучевого осциллографа: на один вход подают эталонное колебание известной частоты, на другой - исследуемое, и по устойчивой неподвижной фигуре считают число касаний рамки с каждой стороны. Несократимое отношение этих чисел и есть отношение частот, а зная одну из них, легко найти вторую.

Пример: угол эллипса для конкретных значений

Пусть точка участвует в двух колебаниях одинаковой частоты с амплитудами $A = 4$ см по оси $x$ и $B = 3$ см по оси $y$, а разность фаз составляет $\varphi = 60^\circ$ (то есть $\pi/3$). Найдём угол наклона большой оси получившегося эллипса.

Подставляем значения в формулу наклона:

$\tan 2\theta_0 = \frac{2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ}{4^2 - 3^2} = \frac{24 \cdot 0{,}5}{7} = \frac{12}{7} \approx 1{,}714.$

Отсюда $2\theta_0 = \arctan(1{,}714) \approx 59{,}7^\circ$, а значит $\theta_0 \approx 29{,}9^\circ$. Большая ось эллипса наклонена почти точно на $30^\circ$ к оси $x$ - заметно меньше, чем $45^\circ$, которые получились бы при равных амплитудах. Такой расчёт полностью совпадает с тем, что покажет калькулятор выше, если выставить в нём отношение частот $1{:}1$, эти же амплитуды и фазу $60^\circ$.

Частые ошибки

• Путают, какая стенка отвечает за какую ось. Касания боковых, левой и правой, стенок дают множитель частоты по оси $x$, а касания верхней и нижней - по оси $y$. Перепутав их местами, получают перевёрнутое отношение частот.
• Забывают, что формула угла наклона эллипса работает только при равных частотах. При $a \ne b$ уравнение $x^2/A^2+y^2/B^2-2xy\cos\varphi/(AB)=\sin^2\varphi$ и формула $\tan2\theta_0$ неприменимы - кривая перестаёт быть эллипсом.
• Считают, что фаза всегда поворачивает фигуру. При $a=b$ фаза действительно меняет наклон и форму эллипса, но при $a \ne b$ она лишь сдвигает узор фигуры Лиссажу, не меняя числа касаний рамки.
• Не сокращают отношение $a{:}b$. Посчитав касания без деления на общий делитель, получают завышенное отношение частот вместо несократимого.
• Путают амплитуду с частотой. Амплитуды $A$ и $B$ задают только размер прямоугольника, в который вписана фигура, а её форму внутри этого прямоугольника определяют исключительно отношение частот и разность фаз.

FAQ

Как найти угол наклона эллипса при сложении двух перпендикулярных колебаний одинаковой частоты? По формуле $\tan 2\theta_0 = 2AB\cos\varphi/(A^2-B^2)$, где $A$, $B$ - амплитуды, $\varphi$ - разность фаз. При равных амплитудах угол равен $45^\circ$ для любой фазы, кроме $0$ и $\pi$, когда эллипс вырождается в отрезок.

Чем сложение перпендикулярных колебаний отличается от обычного сложения колебаний? При сложении колебаний вдоль одной прямой результат - снова колебание вдоль неё же, с новой амплитудой и фазой. При сложении перпендикулярных колебаний результат - не число, а траектория на плоскости: обе координаты меняются независимо, и их совместное движение прочерчивает кривую.

Почему фигура Лиссажу не всегда замкнута? Кривая замкнута только при рациональном отношении частот, когда оба колебания одновременно возвращаются к исходной фазе через конечное число периодов. При иррациональном отношении такого общего периода не существует, и траектория со временем плотно заполняет весь прямоугольник амплитуд, не повторяясь.

Коротко

Сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний $x=A\sin(a\theta+\varphi)$ и $y=B\sin(b\theta)$ даёт плоскую траекторию, форма которой зависит от отношения частот $a{:}b$ и разности фаз $\varphi$. При равных частотах это эллипс, повёрнутый на угол $\theta_0$ из формулы $\tan2\theta_0=2AB\cos\varphi/(A^2-B^2)$, вырождающийся в отрезок при $\varphi=0,\pi$ и в окружность при $\varphi=\pi/2$, $A=B$. При целом отношении частот $a{:}b$ получаются замкнутые фигуры Лиссажу, а само отношение легко прочитать по числу касаний боковых и верхней-нижней стенок ограничивающего прямоугольника.