Синус и косинус суммы трёх углов: вывод и формулы

Формулы синуса и косинуса суммы двух углов проходят почти в каждом курсе тригонометрии, а вот что делать, если углов три, обычно приходится выводить самому. Никакой отдельной "третьей" формулы запоминать не нужно: результат получается двукратным применением обычных формул сложения, только слагаемых становится больше, и в них легко запутаться со знаками. Ниже разберём вывод по шагам, соберём итоговые формулы для синуса и косинуса суммы трёх углов и разберём, где чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как складываются слагаемые и как каждый угол дальше поворачивает точку на окружности, подвигайте калькулятор ниже, а потом сверьте вычисления с разбором формулы.

Как вывести формулу синуса суммы трёх углов

Идея простая: сумму трёх углов $\alpha + \beta + \gamma$ представляем как сумму двух слагаемых, $(\alpha+\beta)$ и $\gamma$, и применяем обычную формулу синуса суммы:

$$\sin(\alpha+\beta+\gamma) = \sin\big((\alpha+\beta)+\gamma\big) = \sin(\alpha+\beta)\cos\gamma + \cos(\alpha+\beta)\sin\gamma.$$

Рассчитать для своей задачи

Осталось раскрыть $\sin(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha+\beta)$ по обычным формулам сложения для двух углов:

$$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \qquad \cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$$

Подставляем оба выражения в первую строку и раскрываем скобки:

$$\begin{aligned} \sin(\alpha+\beta+\gamma) &= (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)\cos\gamma + (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\sin\gamma \\ &= \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \cos\alpha\cos\beta\sin\gamma - \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}$$

Это и есть итоговая формула. У неё ровно четыре слагаемых: три с одним синусом и двумя косинусами (плюс), и одно с тремя синусами (минус). Такую структуру удобно запомнить как правило: "нечётное число синусов даёт плюс, кроме случая всех трёх синусов сразу, там минус".

Формула косинуса суммы трёх углов

Косинус выводится тем же приёмом, только с формулой косинуса суммы на первом шаге:

$$\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos\big((\alpha+\beta)+\gamma\big) = \cos(\alpha+\beta)\cos\gamma - \sin(\alpha+\beta)\sin\gamma.$$

Снова подставляем $\sin(\alpha+\beta)$ и $\cos(\alpha+\beta)$ из формул сложения для двух углов и раскрываем скобки:

$$\begin{aligned} \cos(\alpha+\beta+\gamma) &= (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta)\cos\gamma - (\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta)\sin\gamma \\ &= \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma. \end{aligned}$$

Здесь тоже четыре слагаемых, но знаки распределены иначе: плюс только у слагаемого с тремя косинусами, а у всех слагаемых с чётным числом синусов (по одному синусу в каждом из трёх оставшихся) стоит минус. Если сравнить обе формулы, видно закономерность: у синуса минус получает слагаемое с тремя синусами, у косинуса плюс получает слагаемое с тремя косинусами, а остальные слагаемые меняют знак на противоположный тому, что "естественно" ожидать по количеству синусов.

Геометрический смысл на единичной окружности

Проще всего увидеть формулу не через алгебру, а через саму окружность. Отложим угол $\alpha$, из этой точки повернём ещё на $\beta$ (попадём в точку, отвечающую углу $\alpha+\beta$), а из неё довернём ещё на $\gamma$. Координаты финальной точки как раз и есть $(\cos(\alpha+\beta+\gamma),\ \sin(\alpha+\beta+\gamma))$.

Рассчитать для своей задачи

Такая картинка объясняет, почему при трёх слагаемых формула "разрастается": каждый следующий поворот приходится раскладывать по компонентам предыдущего результата, и число комбинаций растёт как $2^3 = 8$ произведений (по три множителя в каждом), которые затем группируются в четыре слагаемых с учётом знака.

Пример вычисления для углов 30°, 45° и 60°

Возьмём конкретные углы: $\alpha = 30°$, $\beta = 45°$, $\gamma = 60°$. Их сумма равна $135°$, поэтому результат можно проверить напрямую: $\sin 135° = \dfrac{\sqrt2}{2}$, $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt2}{2}$. Посмотрим, даёт ли формула то же самое.

Синусы и косинусы исходных углов: $\sin 30° = 0{,}5$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866$, $\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}707$, $\sin 60° = \dfrac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}866$, $\cos 60° = 0{,}5$.

Подставляем в формулу синуса суммы трёх углов:

$$\sin(30°+45°+60°) \approx 0{,}5 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}5 + 0{,}866 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}5 + 0{,}866 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}866 - 0{,}5 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}866 \approx 0{,}7071.$$

Это в точности $\dfrac{\sqrt2}{2} \approx 0{,}7071$, значение $\sin 135°$. Так же проверяется и косинус:

$$\cos(30°+45°+60°) \approx 0{,}866 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}5 - 0{,}5 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}5 - 0{,}5 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}866 - 0{,}866 \cdot 0{,}707 \cdot 0{,}866 \approx -0{,}7071,$$

что совпадает с $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt2}{2}$. Совпадение прямого вычисления и разложения по формуле - надёжный способ проверить себя в задаче: если числа разошлись, ошибка либо в знаке одного из слагаемых, либо в самих значениях синуса и косинуса исходных углов.

Особый случай: углы треугольника

Отдельно стоит запомнить случай $\alpha + \beta + \gamma = 180°$, то есть углы обычного треугольника. Тогда $\sin(\alpha+\beta+\gamma) = \sin 180° = 0$, и формула сразу даёт полезное тождество:

$$\sin\alpha\cos\beta\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \cos\alpha\cos\beta\sin\gamma = \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma.$$

А поскольку $\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos 180° = -1$, из формулы косинуса суммы трёх углов треугольника следует:

$$\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma = -1.$$

Такие тождества часто встречаются в задачах на доказательство, где явно углы треугольника не считают, а используют только условие $\alpha+\beta+\gamma=180°$, чтобы упростить выражение.

Частые ошибки

• Забыть одно из четырёх слагаемых. При раскрытии скобок легко потерять один из членов, особенно тот, что с минусом. Удобно сначала выписать все восемь произведений троек синусов/косинусов, а потом сгруппировать их в четыре итоговых слагаемых.
• Перепутать знак у слагаемого с тремя синусами (в синусе) или с тремя косинусами (в косинусе). Именно эти слагаемые выбиваются из общей закономерности "нечётное число синусов - плюс, чётное - минус".
• Не привести углы к одной единице измерения. Если один угол дан в градусах, а другой в радианах, перед подстановкой в формулу их нужно перевести в одну систему.
• Подставить в формулу углы треугольника, не удостоверившись, что их сумма действительно 180°. Особый случай выше работает только при этом условии.
• Спутать формулу суммы трёх углов с формулой тройного угла. Тройной угол $3\alpha$ - это частный случай при $\alpha=\beta=\gamma$, и разворачивать его общей формулой суммы неудобно: для $\sin 3\alpha$ и $\cos 3\alpha$ есть отдельные, более короткие формулы.

FAQ

Как быстро проверить, что формула синуса суммы трёх углов выведена верно? Подставьте частный случай $\gamma=0$: тогда $\sin\gamma=0$, $\cos\gamma=1$, и формула должна свестись к обычной формуле синуса суммы двух углов $\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$. Если сокращение не получилось, в выводе есть ошибка.

Можно ли выводить формулу, группируя сначала $\beta$ и $\gamma$, а не $\alpha$ и $\beta$? Да, результат не зависит от порядка группировки: $(\alpha+\beta)+\gamma$ и $\alpha+(\beta+\gamma)$ дают одну и ту же итоговую формулу, потому что сложение углов коммутативно и ассоциативно.

Существуют ли отдельные формулы для синуса и косинуса суммы четырёх и более углов? Отдельных "именных" формул для четырёх и более углов обычно не запоминают: применяют тот же приём двукратного (или многократного) сложения, группируя углы по два на каждом шаге, пока не останется один угол.

Коротко

Синус и косинус суммы трёх углов получаются двукратным применением обычных формул сложения: сначала группируем $\alpha+\beta$, затем добавляем $\gamma$. В итоге получаются формулы с четырьмя слагаемыми: $\sin(\alpha+\beta+\gamma) = \sin\alpha\cos\beta\cos\gamma + \cos\alpha\sin\beta\cos\gamma + \cos\alpha\cos\beta\sin\gamma - \sin\alpha\sin\beta\sin\gamma$ и $\cos(\alpha+\beta+\gamma) = \cos\alpha\cos\beta\cos\gamma - \sin\alpha\sin\beta\cos\gamma - \sin\alpha\cos\beta\sin\gamma - \cos\alpha\sin\beta\sin\gamma$. Геометрически это три последовательных поворота на единичной окружности, а частный случай $\alpha+\beta+\gamma=180°$ даёт полезные тождества для углов треугольника.