Показательное распределение: формулы и свойства

Показательное (или экспоненциальное) распределение описывает время ожидания события, которое может произойти в любой момент с одной и той же «готовностью»: отказ электронного элемента, приход заявки в очередь, распад ядра, звонок в колл-центр. У него единственный параметр $\lambda > 0$ - интенсивность, то есть среднее число событий за единицу времени. Всё остальное - плотность, функция распределения, среднее, дисперсия, медиана - выражается через $\lambda$ одной-двумя формулами, и именно поэтому показательный закон стал рабочей моделью теории массового обслуживания и теории надёжности. Ниже разберём формулы, выведем моменты, докажем главное свойство закона и покажем, откуда он берётся в пуассоновском потоке. Начать удобно с калькулятора: задайте свою интенсивность и границы интервала и посмотрите, как меняются вероятности.

Плотность и функция показательного распределения

Непрерывная случайная величина $T$ распределена по показательному закону с параметром $\lambda$, если её плотность равна нулю при отрицательных значениях и убывающей экспоненте при неотрицательных:

$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t}, & t \ge 0,\\ 0, & t < 0. \end{cases}$

Интегрируя плотность, получаем функцию распределения - вероятность того, что событие произойдёт не позже момента $t$:

$F(t) = P(T < t) = \int_0^t \lambda e^{-\lambda x}\,dx = 1 - e^{-\lambda t},\qquad t \ge 0.$

Отсюда сразу следует вероятность «дожития» - того, что к моменту $t$ событие ещё не наступило:

$P(T > t) = 1 - F(t) = e^{-\lambda t}.$

Параметр $\lambda$ работает как масштаб времени, а не как форма: при любом его значении кривая остаётся той же убывающей экспонентой, просто сжатой или растянутой по горизонтали. Чем больше интенсивность, тем выше старт $f(0) = \lambda$ и тем быстрее спад, то есть событие в среднем наступает раньше. Никакой «горки», как у нормального закона, здесь нет: самые вероятные значения прижаты к нулю, и мода показательного распределения равна нулю. Если же интенсивность мала, кривая становится почти горизонтальной на рабочем участке, и поведение величины приближается к равномерному распределению на не слишком длинном отрезке.

Эти три формулы покрывают почти все задачи. Вероятность попадания на отрезок считается как разность значений функции распределения: $P(a < T < b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$. Обратите внимание на геометрический смысл: площадь под плотностью от нуля до $t$ равна значению $F(t)$ - это общее свойство непрерывных величин, подробнее о нём в разборе функции распределения случайной величины. Полная площадь под кривой равна единице, поэтому множитель $\lambda$ перед экспонентой обязателен: без него нормировка нарушится.

Математическое ожидание и дисперсия

Математическое ожидание находится интегрированием по частям:

$M(T) = \int_0^{\infty} t\,\lambda e^{-\lambda t}\,dt = \left[-t e^{-\lambda t}\right]_0^{\infty} + \int_0^{\infty} e^{-\lambda t}\,dt = \frac{1}{\lambda}.$

Для дисперсии нужен второй момент $M(T^2) = \int_0^{\infty} t^2 \lambda e^{-\lambda t}\,dt = 2/\lambda^2$, после чего

$D(T) = M(T^2) - \big[M(T)\big]^2 = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda^2},\qquad \sigma(T) = \sqrt{D(T)} = \frac{1}{\lambda}.$

Получается редкая ситуация: среднее и среднее квадратическое отклонение совпадают, а коэффициент вариации $\sigma / M$ всегда равен единице. Это удобный экспресс-тест: если у выборки разброс заметно меньше среднего, показательная модель ей не подходит.

Медиана же меньше среднего. Из условия $F(t_{0{,}5}) = 0{,}5$ получаем $t_{0{,}5} = \ln 2/\lambda \approx 0{,}693/\lambda$. Среднее делит площадь под плотностью не пополам, а в отношении $0{,}632$ к $0{,}368$: подстановка $t = 1/\lambda$ даёт $F(1/\lambda) = 1 - e^{-1} \approx 0{,}632$. То есть «дожить» до среднего значения удаётся лишь примерно в 37 % случаев - типичный источник ошибок в задачах.

Из формулы среднего следует и способ оценки параметра по данным. Если есть выборка наработок $t_1, \dots, t_n$, то оценка максимального правдоподобия для интенсивности равна обратному выборочному среднему: $\hat{\lambda} = n / \sum t_i = 1/\bar{t}$. Считать что-то сложнее здесь не нужно: вся информация о показательном законе содержится в сумме наблюдений, поэтому среднее арифметическое и есть достаточная статистика.

Рассчитать для своей задачи

Свойство отсутствия последействия

Главное свойство показательного распределения формулируется так: если событие ещё не произошло за время $s$, то распределение оставшегося времени ожидания такое же, как у «свежей» величины. Формально

$P(T > s + t \mid T > s) = P(T > t) \quad \text{для любых } s, t \ge 0.$

Доказательство занимает две строки. По определению условной вероятности и с учётом того, что событие $\{T > s+t\}$ влечёт $\{T > s\}$:

$P(T > s + t \mid T > s) = \frac{P(T > s + t)}{P(T > s)} = \frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(T > t).$

Экспонента - единственная непрерывная функция, у которой отношение $P(T>s+t)/P(T>s)$ не зависит от $s$, поэтому показательное распределение является единственным непрерывным законом без последействия (в дискретном случае этим свойством обладает геометрическое распределение). На практике это значит, что «проработавший 500 часов» прибор с точки зрения модели ничем не отличается от нового: износ она не описывает.

Интуитивно свойство звучит парадоксально: кажется, что чем дольше ждёшь автобус, тем ближе он должен быть. Но в простейшем потоке «часы» каждый раз запускаются заново, и ожидание не накапливается. Наблюдаемая величина $P(T > s)$ при этом, конечно, падает с ростом $s$ - именно поэтому важно различать безусловную вероятность дожить до момента $s + t$ и условную вероятность прожить ещё $t$ при уже отработанных $s$. Первая убывает, вторая постоянна.

Рассчитать для своей задачи

Связь с простейшим пуассоновским потоком

Простейшим называют поток событий, обладающий тремя свойствами: стационарность (интенсивность постоянна), ординарность (события не наступают парами) и отсутствие последействия (непересекающиеся промежутки независимы). Для такого потока число событий $N$ за время $t$ подчиняется закону Пуассона с параметром $\lambda t$:

$P(N = k) = \frac{(\lambda t)^k}{k!}\,e^{-\lambda t}.$

Подставим $k = 0$. Отсутствие событий на отрезке длины $t$ означает ровно то, что интервал $T$ до ближайшего события больше $t$:

$P(T > t) = P(N = 0) = e^{-\lambda t},$

а это и есть функция дожития показательного закона. Получается пара «одно и то же с двух сторон»: считаем события - работает распределение Пуассона, измеряем промежутки между ними - работает показательное распределение с тем же $\lambda$. Отсюда же берётся удобное правило пересчёта: если известно среднее число вызовов в час, то $\lambda$ - это оно и есть, а среднее время между вызовами равно $1/\lambda$.

Из этой связи вытекают два часто нужных факта. Сумма $n$ независимых показательных величин с одинаковым $\lambda$ даёт распределение Эрланга (частный случай гамма-распределения) со средним $n/\lambda$ - это время до $n$-го события потока. А минимум независимых показательных величин с параметрами $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ снова показателен, причём с суммарной интенсивностью $\lambda_1 + \dots + \lambda_n$. Второй факт и есть математическая основа расчёта последовательного соединения элементов: система выходит из строя по первому отказавшему элементу, а интенсивности отказов при этом просто складываются.

Рассчитать для своей задачи

Показательный закон в теории надёжности

В надёжности показательное распределение - модель «внезапных» отказов, не связанных со старением. Вероятность безотказной работы за время $t$ равна функции дожития $P(t) = e^{-\lambda t}$, а интенсивность отказов оказывается постоянной:

$\lambda(t) = \frac{f(t)}{P(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda = \mathrm{const}.$

Именно постоянная интенсивность соответствует среднему, «рабочему» участку кривой отказов, где приработка уже закончилась, а износ ещё не начался; о том, как ведут себя другие участки, написано в разборе плотности распределения наработки до отказа. Средняя наработка до отказа равна $T_{\text{ср}} = 1/\lambda$.

Пример: у элемента $\lambda = 5\cdot 10^{-5}$ 1/ч. Тогда средняя наработка $T_{\text{ср}} = 20\,000$ ч, а вероятность проработать 1000 часов $P = e^{-0{,}05} \approx 0{,}951$. При малых $\lambda t$ работает линейное приближение $P \approx 1 - \lambda t$, которым удобно оценивать надёжность в уме.

Часто требуется обратная задача: найти время, к которому надёжность упадёт до заданного уровня $\gamma$. Логарифмируя равенство $e^{-\lambda t_{\gamma}} = \gamma$, получаем гамма-процентную наработку $t_{\gamma} = -\ln \gamma / \lambda$. Для того же элемента уровень $0{,}9$ достигается через $t_{0{,}9} = -\ln 0{,}9 / (5\cdot 10^{-5}) \approx 2100$ ч, то есть в десять раз раньше средней наработки. Разрыв между «средним» и «гарантированным» ресурсом у показательного закона всегда велик, и путать эти две характеристики в отчётах нельзя.

Пример расчёта с числами

Пусть время безотказной работы распределено показательно с $\lambda = 0{,}2$ 1/ч. Тогда:

$f(t) = 0{,}2\,e^{-0{,}2t},\qquad F(t) = 1 - e^{-0{,}2t},\qquad M(T) = 5\ \text{ч},\qquad D(T) = 25\ \text{ч}^2,\qquad \sigma = 5\ \text{ч}.$

Вероятность отказа в промежутке от 3 до 8 часов:

$P(3 < T < 8) = e^{-0{,}6} - e^{-1{,}6} = 0{,}5488 - 0{,}2019 = 0{,}3469.$

Вероятность проработать больше 10 часов: $P(T > 10) = e^{-2} \approx 0{,}135$. Медиана $t_{0{,}5} = \ln 2/0{,}2 \approx 3{,}47$ ч. А теперь проверим отсутствие последействия на числах: $P(T > 15 \mid T > 10) = e^{-3}/e^{-2} = e^{-1} \approx 0{,}368$, и ровно столько же даёт $P(T > 5)$ для нового прибора. Пошаговый разбор такой задачи с другими данными есть в разделе «Задачи»: как найти показательное распределение.

Частые ошибки

• Путают $\lambda$ и среднее время. Если в условии дано «среднее время между отказами 5 часов», то $\lambda = 1/5 = 0{,}2$ 1/ч, а не 5. Проверяйте размерность: у $\lambda$ она обратна времени.
• Считают медиану равной среднему. У несимметричного закона это неверно: медиана $\ln 2/\lambda$ примерно на 30 % меньше среднего $1/\lambda$.
• Подставляют отрицательные $t$. Плотность слева от нуля равна нулю, поэтому $F(t) = 0$ при $t < 0$, а не $1 - e^{-\lambda t}$.
• Смешивают единицы. Если $\lambda$ задана в 1/ч, а интервал в минутах, показатель степени будет неверным: приводите всё к одной единице до подстановки.
• Применяют модель к износу. Стареющие узлы (подшипники, аккумуляторы) имеют растущую интенсивность отказов, для них берут распределение Вейбулла, а не показательное.

FAQ

Как найти параметр $\lambda$, если известно только среднее? По формуле $\lambda = 1/M(T)$. Если дана дисперсия, то $\lambda = 1/\sqrt{D(T)}$, поскольку $\sigma = 1/\lambda$. Если известна вероятность дожития до какого-то момента, $\lambda$ выражается логарифмированием: $\lambda = -\ln P(T>t)/t$.

Почему $P(T < M) = 0{,}632$, а не $0{,}5$? Потому что распределение скошено вправо: у него длинный тонкий хвост из редких больших значений, который «перетягивает» среднее вправо от медианы. Половина значений лежит левее $\ln 2/\lambda$, а среднее $1/\lambda$ находится заметно правее этой точки.

Когда показательную модель применять нельзя? Когда у процесса есть память: износ, обучение, накопление усталости, а также когда события приходят пачками (поток не ординарный). Признак несоответствия виден по выборке: если выборочное стандартное отклонение сильно отличается от выборочного среднего, коэффициент вариации не равен единице, и показательный закон отвергается.

Коротко

Показательное распределение задаётся единственным параметром $\lambda$: плотность $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$, функция распределения $F(t) = 1 - e^{-\lambda t}$, вероятность дожития $P(T>t) = e^{-\lambda t}$. Среднее и стандартное отклонение равны $1/\lambda$, дисперсия $1/\lambda^2$, медиана $\ln 2/\lambda$. Главное свойство - отсутствие последействия: прошедшее время ожидания не влияет на распределение оставшегося, и именно из него вырастает связь с простейшим пуассоновским потоком, где интервалы между событиями показательны, а их число за окно пуассоновское. В теории надёжности это даёт постоянную интенсивность отказов $\lambda(t) = \lambda$ и вероятность безотказной работы $e^{-\lambda t}$ - модель внезапных отказов, которая перестаёт работать там, где начинается износ.