Интегральное уравнение Вольтерра: виды, ядро, методы решения

Интегральное уравнение - это уравнение, в котором неизвестная функция стоит под знаком интеграла. Уравнение Вольтерра выделяется среди них одной деталью: верхний предел интегрирования переменный, он совпадает с аргументом неизвестной функции. Из-за этого ядро «видит» только прошлое - значения функции от начала отрезка до текущей точки. Именно эта структура делает уравнения Вольтерра удобным языком для процессов с памятью и естественной переформулировкой задачи Коши. Ниже разберём оба рода, свойства ядра, и три рабочих метода решения - от подстановки до резольвенты. Если нужно решить конкретное уравнение, соберите условие в форме ниже.

Что такое уравнение Вольтерра

Линейное интегральное уравнение Вольтерра второго рода записывают так:

$$u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x, t)\, u(t)\, dt.$$

Здесь $u(x)$ - искомая функция, $f(x)$ - заданная правая часть, $K(x, t)$ - ядро уравнения, $\lambda$ - числовой параметр. Ключевой признак - верхний предел $x$ переменный: интеграл накапливается от фиксированной нижней границы $a$ до текущей точки $x$.

Если неизвестная функция входит только под интеграл, а вне его её нет, получается уравнение первого рода:

$$f(x) = \int_a^x K(x, t)\, u(t)\, dt.$$

Сравните с уравнением Фредгольма, где оба предела интегрирования постоянны. Эта, на первый взгляд незначительная, разница меняет всё: уравнение Вольтерра почти всегда разрешимо и устойчиво, тогда как Фредгольм может не иметь решений или иметь их бесконечно много.

Рассчитать для своей задачи

Первый и второй род: в чём разница

Деление на роды - не формальность, оно определяет, насколько корректна задача.

• Второй род ($u$ есть и вне интеграла) - задача корректна: при непрерывном ядре решение существует, единственно и непрерывно зависит от правой части. Это «хороший» случай, с которого начинают.
• Первый род ($u$ только под интегралом) - задача часто некорректна: малое возмущение $f(x)$ может сильно изменить решение. Такие уравнения обычно сводят ко второму роду дифференцированием по $x$ (если ядро это позволяет).

Продифференцировав уравнение первого рода по верхнему пределу по формуле Лейбница, при $K(x, x) \neq 0$ получают уравнение второго рода - и дальше работают уже с ним.

Ядро уравнения

Ядро $K(x, t)$ - сердце уравнения. От его свойств зависит и метод решения, и поведение ряда приближений.

• Непрерывное ядро на треугольнике $a \le t \le x \le b$ - самый частый и удобный случай: гарантирует существование и единственность решения второго рода.
• Разностное ядро $K(x, t) = K(x - t)$ зависит лишь от разности аргументов. Тогда интеграл становится свёрткой, и уравнение решается преобразованием Лапласа - самый быстрый путь.
• Слабо особое (полярное) ядро вида $K(x,t) = \dfrac{H(x,t)}{(x-t)^{\alpha}}$ при $0 < \alpha < 1$ имеет интегрируемую особенность - классический пример - уравнение Абеля.

Рассчитать для своей задачи

Метод последовательных приближений

Базовый теоретический метод для второго рода - итерации Пикара. За нулевое приближение берут правую часть, $u_0(x) = f(x)$, и далее

$$u_{n+1}(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x, t)\, u_n(t)\, dt.$$

Каждый шаг подставляет предыдущее приближение под интеграл. Для непрерывного ядра последовательность $u_n(x)$ сходится равномерно к точному решению на любом конечном отрезке - причём при любом $\lambda$, в отличие от уравнения Фредгольма, где сходимость требует малости параметра.

Почему так? Переменный верхний предел даёт оценку для $n$-го члена ряда вида $\dfrac{(M|\lambda|(x-a))^{n}}{n!}$, где $M$ - оценка ядра. Факториал в знаменателе бьёт любую степень - ряд мажорируется экспонентой и сходится всегда.

Резольвента: точная формула решения

Собрав ряд последовательных приближений, можно записать решение в замкнутом виде через резольвенту $R(x, t; \lambda)$:

$$u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x R(x, t; \lambda)\, f(t)\, dt.$$

Резольвента строится как ряд по повторным ядрам (итерированным ядрам):

$$R(x, t; \lambda) = \sum_{n=0}^{\infty} \lambda^{n} K_{n+1}(x, t),$$

где $K_1 = K$, а каждое следующее повторное ядро получается сцеплением:

$$K_{n+1}(x, t) = \int_t^x K(x, s)\, K_n(s, t)\, ds.$$

Этот ряд (ряд Неймана) сходится для уравнения Вольтерра при любом $\lambda$. Резольвента удобна тем, что зависит только от ядра - найдя её один раз, можно решать уравнение с любой правой частью $f(x)$.

Связь с задачей Коши для ОДУ

Самое практичное свойство уравнений Вольтерра - эквивалентность задаче Коши. Линейное ОДУ с начальными условиями превращается в уравнение Вольтерра второго рода интегрированием.

Возьмём задачу $u'(x) = g(x)\, u(x) + h(x)$, $u(a) = u_0$. Проинтегрировав от $a$ до $x$, получаем:

$$u(x) = u_0 + \int_a^x h(t)\, dt + \int_a^x g(t)\, u(t)\, dt.$$

Это в точности уравнение Вольтерра второго рода с ядром $K(x, t) = g(t)$ и правой частью $f(x) = u_0 + \int_a^x h(t)\, dt$. Начальное условие здесь уже «зашито» внутрь - отдельно его задавать не нужно. Эта эквивалентность работает в обе стороны и лежит в основе доказательства теоремы существования для задачи Коши.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение Абеля как частный случай

Исторически первым было уравнение Абеля - задача о таутохроне (форме спуска за одинаковое время):

$$f(x) = \int_0^x \frac{u(t)}{\sqrt{x - t}}\, dt.$$

Это уравнение Вольтерра первого рода со слабо особым ядром $\dfrac{1}{\sqrt{x-t}}$. Несмотря на особенность в точке $t = x$, интеграл сходится, а решение выписывается в явном виде через дробное интегро-дифференцирование. Абель решил его в 1823 году - задолго до общей теории Вольтерра (1896), поэтому уравнение и носит его имя.

Метод преобразования Лапласа

Если ядро разностное, $K(x, t) = K(x - t)$, интеграл в уравнении становится свёрткой. Тогда преобразование Лапласа превращает уравнение в алгебраическое. Для уравнения второго рода с $a = 0$:

$$U(p) = F(p) + \lambda\, \mathcal{K}(p)\, U(p),$$

откуда сразу

$$U(p) = \frac{F(p)}{1 - \lambda\, \mathcal{K}(p)}.$$

Остаётся выполнить обратное преобразование. Для уравнений с разностным ядром это самый короткий путь к ответу - никаких итераций.

Частые ошибки

• Путают переменный и постоянный предел. Если верхний предел постоянный - это Фредгольм, а не Вольтерра, и свойства совсем другие (решение может не существовать).
• Считают ряд Неймана условно сходящимся. Для Вольтерра он сходится всегда, при любом $\lambda$ - благодаря факториалу в оценке членов. Условие малости $\lambda$ - это про Фредгольм.
• Применяют итерации к первому роду напрямую. Уравнение первого рода обычно некорректно; сначала его сводят ко второму роду дифференцированием по $x$.
• Забывают начальное условие при сведении ОДУ. При переходе к уравнению Вольтерра начальное значение $u_0$ входит в правую часть $f(x)$ - отдельно его задавать уже не надо, иначе условие учтётся дважды.
• Игнорируют особенность ядра. При полярном ядре $(x-t)^{-\alpha}$ стандартные оценки непрерывного ядра неприменимы - нужна теория слабо особых уравнений.

FAQ

Чем уравнение Вольтерра отличается от уравнения Фредгольма? Верхним пределом интегрирования. У Вольтерра он переменный ($x$), у Фредгольма - постоянный ($b$). Из-за этого Вольтерра почти всегда корректно разрешимо и его ряд приближений сходится при любом параметре, а Фредгольм может не иметь решений или требовать малого $\lambda$.

Зачем сводить уравнение первого рода ко второму? Уравнение первого рода часто некорректно: малое изменение правой части сильно меняет решение. Дифференцирование по верхнему пределу (по Лейбницу) при $K(x,x) \neq 0$ переводит его в устойчивое уравнение второго рода, с которым работают стандартные методы.

Можно ли решить уравнение Вольтерра численно? Да, и довольно просто: интеграл аппроксимируют квадратурной формулой (трапеций или Симпсона) на сетке, и решение находится пошагово - на каждом узле через уже вычисленные предыдущие значения, потому что верхний предел опирается только на прошлое.

Коротко

Интегральное уравнение Вольтерра - уравнение с неизвестной функцией под интегралом и переменным верхним пределом. Второго рода (функция есть и вне интеграла) - корректная задача с единственным непрерывным решением; первого рода (только под интегралом) - часто некорректна и сводится ко второму дифференцированием. Главные методы: последовательные приближения Пикара (сходятся всегда), резольвента через ряд повторных ядер, а для разностного ядра - преобразование Лапласа. Ключевая практическая ценность - эквивалентность задаче Коши для ОДУ: интегрирование переводит дифференциальное уравнение с начальным условием в уравнение Вольтерра, где начальное значение уже встроено в правую часть.