Уравнение Фредгольма второго рода: методы решения

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода - это уравнение, где неизвестная функция стоит и под знаком интеграла с постоянными пределами, и отдельно вне его. Именно постоянные (а не переменные, как у Вольтерра) пределы интегрирования меняют всю картину: уравнение может иметь единственное решение, ни одного или бесконечно много - в зависимости от параметра и ядра. Ниже разберём структуру уравнения, ряд Неймана и резольвенту, характеристические числа и собственные функции, а также условия разрешимости. Если нужно решить конкретное уравнение, соберите условие в форме ниже.

Что такое уравнение Фредгольма второго рода

Линейное интегральное уравнение Фредгольма второго рода записывают так:

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t)\, \varphi(t)\, dt.$$

Здесь $\varphi(x)$ - искомая функция, $f(x)$ - заданная правая часть, $K(x, t)$ - ядро уравнения, $\lambda$ - числовой параметр. Главный признак - оба предела $a$ и $b$ постоянны: интеграл берётся по всему фиксированному отрезку $[a, b]$, а не до текущей точки.

Если неизвестная функция входит только под интеграл, а вне его её нет, получается уравнение первого рода:

$$f(x) = \int_a^b K(x, t)\, \varphi(t)\, dt.$$

Сравните с уравнением Вольтерра, где верхний предел переменный. Эта разница принципиальна: уравнение Вольтерра почти всегда разрешимо и устойчиво, тогда как у Фредгольма разрешимость зависит от значения параметра $\lambda$.

Рассчитать для своей задачи

Почему именно второй род важен

Деление на роды - не формальность, оно определяет корректность задачи.

• Второй род ($\varphi$ есть и вне интеграла) - задача корректна: при непрерывном ядре и малом $\lambda$ решение существует, единственно и непрерывно зависит от правой части. Это «рабочий» случай, с которого начинают.
• Первый род ($\varphi$ только под интегралом) - задача часто некорректна: малое возмущение $f(x)$ может сильно изменить решение. Такие уравнения обычно регуляризуют или сводят ко второму роду.

Поэтому вся развитая теория Фредгольма - резольвента, ряд Неймана, теоремы об альтернативе - строится именно вокруг уравнения второго рода.

Ядро уравнения и оператор

Ядро $K(x, t)$ - сердце уравнения. От его свойств зависит и метод решения, и поведение приближений. Удобно ввести интегральный оператор

$$(K\varphi)(x) = \int_a^b K(x, t)\, \varphi(t)\, dt,$$

тогда уравнение записывается компактно: $\varphi = f + \lambda K\varphi$, или $(I - \lambda K)\varphi = f$. Это прямой аналог системы линейных уравнений $(I - \lambda A)x = b$ в конечномерном пространстве - отсюда и вся аналогия с линейной алгеброй. Подробнее про свойства ядра - в разборе ядра интегрального уравнения.

• Непрерывное ядро на квадрате $a \le x, t \le b$ - самый частый и удобный случай: оператор $K$ вполне непрерывен (компактен).
• Симметричное ядро $K(x, t) = K(t, x)$ даёт самосопряжённый оператор: его характеристические числа вещественны, а собственные функции образуют ортогональную систему.
• Вырожденное ядро $K(x, t) = \sum_{i=1}^{n} a_i(x)\, b_i(t)$ - конечная сумма произведений. Тогда уравнение точно сводится к системе $n$ линейных алгебраических уравнений.

Рассчитать для своей задачи

Ряд Неймана и резольвента

Самый прямой способ решить уравнение второго рода при малом $\lambda$ - метод последовательных приближений. Беря $\varphi_0 = f$ и подставляя итеративно, получают ряд Неймана:

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b R(x, t; \lambda)\, f(t)\, dt,$$

где $R(x, t; \lambda)$ - резольвента. Она раскладывается в ряд по повторным (итерированным) ядрам $K_m$:

$$R(x, t; \lambda) = \sum_{m=1}^{\infty} \lambda^{m-1} K_m(x, t),$$

причём $K_1 = K$, а каждое следующее ядро строится свёрткой:

$$K_{m+1}(x, t) = \int_a^b K(x, s)\, K_m(s, t)\, ds.$$

Ряд сходится при $|\lambda| < 1/\|K\|$, где $\|K\|$ - норма оператора. Резольвента удобна тем, что её достаточно построить один раз: решение для любой правой части $f$ получается одним интегрированием.

Характеристические числа и собственные функции

Когда $\lambda$ выходит за радиус сходимости ряда Неймана, ключевую роль играют характеристические числа - те значения $\lambda$, при которых однородное уравнение

$$\varphi(x) = \lambda \int_a^b K(x, t)\, \varphi(t)\, dt$$

имеет ненулевое решение. Эти ненулевые решения называют собственными функциями ядра. Характеристическое число $\lambda$ - это обратная величина к собственному значению оператора $K$: если $K\varphi = \mu\varphi$, то $\lambda = 1/\mu$.

Для симметричного непрерывного ядра (теория Гильберта - Шмидта) характеристические чисел счётное множество, все они вещественны, а собственные функции образуют ортонормированную систему, по которой раскладывается решение.

Рассчитать для своей задачи

Теоремы Фредгольма и условие разрешимости

Поведение уравнения при произвольном $\lambda$ описывают теоремы Фредгольма, обобщающие линейную алгебру на бесконечномерный случай. Их суть - альтернатива:

• если $\lambda$ не характеристическое число, то неоднородное уравнение имеет единственное решение при любой правой части $f$;
• если $\lambda$ - характеристическое число, то либо решений нет, либо их бесконечно много, и разрешимость определяется условием ортогональности.

Условие совместности формулируется через сопряжённое уравнение: неоднородное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда правая часть $f$ ортогональна всем собственным функциям сопряжённого ядра. Подробный разбор этой развилки - в материале про альтернативу Фредгольма.

Это полный аналог теоремы Кронекера - Капелли для систем $Ax = b$: совместность вырожденной системы тоже определяется условием на правую часть.

Метод вырожденного ядра на практике

Самый вычислимый случай - вырожденное ядро $K(x, t) = \sum_{i} a_i(x)\, b_i(t)$. Подставив его в уравнение, выносят $\int b_i(t)\varphi(t)\,dt = c_i$ - неизвестные числа. Тогда

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \sum_{i=1}^{n} a_i(x)\, c_i,$$

и подстановка обратно даёт систему $n$ линейных уравнений на коэффициенты $c_i$. Определитель этой системы как функция $\lambda$ обращается в нуль ровно в характеристических числах - там и проходит граница между единственным решением и альтернативой.

Частые ошибки

• Путают пределы интегрирования с Вольтерра. У Фредгольма оба предела постоянны; переменный верхний предел - это уже Вольтерра, и теория разрешимости там другая.
• Применяют ряд Неймана при большом $\lambda$. Ряд сходится только при $|\lambda| < 1/\|K\|$. За радиусом сходимости нужна резольвента как аналитическое продолжение или прямой метод.
• Считают характеристическое число равным собственному значению. На деле $\lambda = 1/\mu$; путаница ломает спектральное разложение.
• Забывают проверить условие ортогональности. Если $\lambda$ совпало с характеристическим числом, нельзя просто «найти решение» - сначала проверяют совместность через сопряжённое уравнение.
• Берут несимметричное ядро как симметричное. Вещественность спектра и ортогональность собственных функций гарантированы только для симметричного ядра.

FAQ

Чем уравнение Фредгольма второго рода отличается от первого? Во втором роде искомая функция $\varphi$ входит и под интеграл, и отдельно вне его - задача корректна и хорошо обусловлена. В первом роде $\varphi$ стоит только под интегралом, и задача часто некорректна: малое изменение правой части сильно меняет решение.

Когда сходится ряд Неймана для уравнения Фредгольма? Ряд Неймана (метод последовательных приближений) сходится, если модуль параметра меньше обратной нормы ядра: $|\lambda| < 1/\|K\|$. При больших $\lambda$ ряд расходится, и решение ищут через резольвенту или метод вырожденного ядра.

Что такое характеристические числа уравнения Фредгольма? Это значения параметра $\lambda$, при которых однородное уравнение имеет ненулевое решение - собственную функцию ядра. Они обратны собственным значениям интегрального оператора. В характеристических числах нарушается единственность, и вступает в силу альтернатива Фредгольма.

Коротко

Интегральное уравнение Фредгольма второго рода $\varphi = f + \lambda K\varphi$ отличается от Вольтерра постоянными пределами интегрирования, из-за чего разрешимость зависит от параметра $\lambda$. При малом $\lambda$ работает ряд Неймана и резольвента; при $\lambda$, равном характеристическому числу, вступает в силу альтернатива Фредгольма с условием ортогональности правой части собственным функциям сопряжённого ядра. Вырожденное ядро сводит задачу к конечной системе линейных уравнений и даёт точное решение.