Резольвента интегрального уравнения: построение и свойства

Резольвента интегрального уравнения - это вспомогательное ядро, через которое решение записывается одной формулой сразу для любой правой части. Если уравнение $\varphi = f + \lambda K\varphi$ удаётся «обратить», то ответ принимает вид $\varphi = f + \lambda \int R\, f\, dt$, где $R$ и есть резольвента. Построить её один раз - значит решить уравнение для всех правых частей разом. Ниже разберём, как резольвента собирается из повторных ядер, когда сходится соответствующий ряд, как её получить через определитель Фредгольма за радиусом сходимости и где она ломается. Если нужно построить резольвенту для конкретного ядра, соберите условие в форме ниже.

Что такое резольвента интегрального уравнения

Рассмотрим линейное уравнение второго рода

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x, t)\, \varphi(t)\, dt,$$

или в операторной форме $(I - \lambda K)\varphi = f$. Формально решение - это $\varphi = (I - \lambda K)^{-1} f$. Резольвента $R(x, t; \lambda)$ - это ядро того интегрального оператора, который выражает обратный оператор:

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b R(x, t; \lambda)\, f(t)\, dt.$$

Иными словами, резольвента переносит всю «обратимость» уравнения в одно ядро. Сравнивая с конечномерным случаем $(I - \lambda A)^{-1} = I + \lambda A + \lambda^2 A^2 + \dots$, видно прямую аналогию: резольвента - это интегральный аналог матричного ряда Неймана. Сама постановка уравнения подробно разобрана в материале про уравнение Фредгольма второго рода.

Рассчитать для своей задачи

Повторные ядра - кирпичи резольвенты

Резольвента строится не из самого ядра $K$, а из последовательности повторных (итерированных) ядер $K_m(x, t)$. Первое из них - само ядро, а каждое следующее получается свёрткой предыдущего с $K$:

$$K_1(x, t) = K(x, t), \qquad K_{m+1}(x, t) = \int_a^b K(x, s)\, K_m(s, t)\, ds.$$

Содержательно $K_m$ - это ядро оператора $K^m$, то есть результат $m$-кратного применения интегрального преобразования. Повторное ядро $K_2$ отвечает за «двухшаговый» вклад, $K_3$ - за трёхшаговый и так далее. Чем дальше по цепочке, тем меньше вклад каждого слагаемого (если ряд сходится), потому что норма $K_m$ убывает как степень нормы $K$.

Ряд Неймана: резольвента как степенной ряд

Подставляя последовательные приближения $\varphi_0 = f$, $\varphi_{n+1} = f + \lambda K\varphi_n$, получают разложение решения в ряд Неймана. Собрав коэффициенты при правой части, резольвенту записывают как степенной ряд по параметру:

$$R(x, t; \lambda) = \sum_{m=1}^{\infty} \lambda^{m-1} K_m(x, t) = K_1 + \lambda K_2 + \lambda^2 K_3 + \dots$$

Это и есть основное представление резольвенты для малых $\lambda$. Решение через неё:

$$\varphi(x) = f(x) + \lambda \int_a^b R(x, t; \lambda)\, f(t)\, dt.$$

Главное достоинство такого подхода - резольвента не зависит от правой части $f$. Построив ряд один раз, решение для любой новой $f$ получают единственным интегрированием, без повторного итерационного процесса. Этот же ряд лежит в основе метода последовательных приближений и для уравнений Вольтерра, где он сходится всегда.

Рассчитать для своей задачи

Радиус сходимости ряда

Ряд для резольвенты сходится не при любом $\lambda$. Если ядро непрерывно на квадрате $a \le x, t \le b$ и ограничено величиной $M = \max |K(x, t)|$, то для повторных ядер справедлива оценка

$$|K_m(x, t)| \le M^m (b - a)^{m-1}.$$

Отсюда мажорирующая геометрическая прогрессия даёт сходимость при

$$|\lambda| < \frac{1}{M(b - a)},$$

а точнее - при $|\lambda| < 1/\|K\|$, где $\|K\|$ - норма интегрального оператора. Внутри этого круга резольвента - аналитическая функция параметра $\lambda$, и ряд можно почленно интегрировать. Радиус сходимости равен модулю ближайшего к нулю характеристического числа ядра: именно там знаменатель «обратного оператора» впервые обращается в нуль.

Резольвента Фредгольма через определитель

За пределами радиуса сходимости ряд Неймана расходится, но резольвента как функция $\lambda$ всё равно существует - как отношение двух целых функций. Это резольвента Фредгольма:

$$R(x, t; \lambda) = \frac{D(x, t; \lambda)}{D(\lambda)},$$

где $D(\lambda)$ - определитель Фредгольма, а $D(x, t; \lambda)$ - его минор. Оба раскладываются в ряды по степеням $\lambda$, сходящиеся при всех значениях параметра (целые функции). Определитель Фредгольма строится из следов повторных ядер:

$$D(\lambda) = 1 - \lambda \int_a^b K(s, s)\, ds + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\lambda)^n}{n!}\, c_n,$$

где $c_n$ - интегралы от определителей, составленных из значений ядра. Дробь $D(x,t;\lambda)/D(\lambda)$ совпадает с рядом Неймана внутри его круга сходимости, но определена и снаружи - это аналитическое продолжение резольвенты на всю плоскость, кроме нулей $D(\lambda)$.

Где резольвента имеет полюсы

Резольвента $R(x, t; \lambda)$ - мероморфная функция параметра $\lambda$: её полюсы расположены ровно в характеристических числах $\lambda_k$ ядра. В этих точках однородное уравнение $\varphi = \lambda K\varphi$ имеет ненулевые решения - собственные функции, - и обратного оператора $(I - \lambda K)^{-1}$ не существует. Подробно эта развилка единственности разобрана в альтернативе Фредгольма.

Для симметричного непрерывного ядра (теория Гильберта - Шмидта) резольвента раскладывается по собственным функциям $\varphi_k$ в явный билинейный ряд:

$$R(x, t; \lambda) = \sum_{k} \frac{\varphi_k(x)\, \varphi_k(t)}{\lambda_k - \lambda}.$$

Здесь полюсы при $\lambda = \lambda_k$ видны буквально: каждое слагаемое обращается в бесконечность, когда параметр приближается к своему характеристическому числу. Вычеты резольвенты в полюсах несут собственные функции - отсюда спектральная связь между резольвентой и спектром оператора.

Рассчитать для своей задачи

Построение резольвенты для вырожденного ядра

Самый вычислимый случай - вырожденное ядро $K(x, t) = \sum_{i=1}^{n} a_i(x)\, b_i(t)$. Здесь резольвента находится точно и в замкнутом виде. Повторные ядра остаются вырожденными того же вида, а вся бесконечная сумма ряда Неймана сворачивается в конечную дробно-рациональную функцию $\lambda$.

Практически задачу сводят к матрице $A$ с элементами $a_{ij} = \int_a^b b_i(t)\, a_j(t)\, dt$. Тогда определитель Фредгольма - это обычный определитель:

$$D(\lambda) = \det(I - \lambda A),$$

а резольвента выражается через элементы обратной матрицы $(I - \lambda A)^{-1}$. Нули $\det(I - \lambda A)$ - характеристические числа - находятся как корни алгебраического уравнения степени $n$. Это превращает построение резольвенты в задачу линейной алгебры без всяких рядов.

Частые ошибки

• Путают резольвенту с самим ядром. Резольвента $R$ строится из всей цепочки повторных ядер $K_m$ и зависит от $\lambda$; ядро $K$ задано условием и от параметра не зависит.
• Применяют ряд Неймана за радиусом сходимости. При $|\lambda| \ge 1/\|K\|$ ряд расходится; нужна резольвента Фредгольма через отношение $D(x,t;\lambda)/D(\lambda)$ как аналитическое продолжение.
• Забывают, что в характеристических числах резольвенты нет. В нулях $D(\lambda)$ обратного оператора не существует, и формула $\varphi = f + \lambda \int R f$ неприменима - там работает альтернатива.
• Неверно считают повторные ядра. Свёртка идёт по средней переменной: $K_{m+1}(x,t) = \int K(x,s) K_m(s,t)\, ds$, а не $\int K(x,s)K(s,t)\,ds$ на каждом шаге заново.
• Игнорируют пределы интегрирования. Для уравнения Вольтерра переменный верхний предел даёт резольвенту, сходящуюся при любом $\lambda$; для Фредгольма постоянные пределы накладывают ограничение на параметр.

FAQ

Чем резольвента отличается от ядра интегрального уравнения? Ядро $K(x, t)$ задано в условии и не зависит от параметра. Резольвента $R(x, t; \lambda)$ - производный объект: она собирается из повторных ядер $K_m$ и зависит от $\lambda$. Через резольвенту решение записывается одной формулой $\varphi = f + \lambda \int R f\, dt$ сразу для любой правой части.

Когда ряд для резольвенты сходится? Ряд Неймана $R = \sum \lambda^{m-1} K_m$ сходится при $|\lambda| < 1/\|K\|$, то есть когда параметр по модулю меньше обратной нормы ядра. Радиус сходимости равен ближайшему к нулю характеристическому числу. За его пределами резольвенту получают через определитель Фредгольма.

Что такое резольвента Фредгольма? Это представление резольвенты в виде отношения $D(x, t; \lambda)/D(\lambda)$, где числитель и знаменатель - целые функции $\lambda$, сходящиеся при всех значениях параметра. Оно даёт аналитическое продолжение резольвенты за радиус сходимости ряда Неймана; полюсы возникают в нулях определителя Фредгольма - характеристических числах.

Коротко

Резольвента интегрального уравнения $R(x, t; \lambda)$ - ядро обратного оператора $(I - \lambda K)^{-1}$, через которое решение записывается формулой $\varphi = f + \lambda \int R f\, dt$ для любой правой части. Внутри круга $|\lambda| < 1/\|K\|$ она равна ряду Неймана из повторных ядер $R = \sum \lambda^{m-1} K_m$; за радиусом сходимости - отношению $D(x,t;\lambda)/D(\lambda)$ через определитель Фредгольма, мероморфному по $\lambda$ с полюсами в характеристических числах. Для вырожденного ядра резольвента находится точно через обратную матрицу $(I - \lambda A)^{-1}$.