Формулы двойного угла: синус, косинус, тангенс

Формулы двойного угла связывают тригонометрические функции угла $2\alpha$ с функциями исходного угла $\alpha$. Они нужны везде: при упрощении выражений, решении уравнений, вычислении интегралов и доказательстве тождеств. Главная ловушка в том, что $\sin 2\alpha$ - это не $2\sin\alpha$: удваивается аргумент, а не значение функции. Ниже разберём, как все три формулы (для синуса, косинуса и тангенса) выводятся из формул сложения, почему у косинуса целых три равносильных формы, когда тангенс двойного угла не определён и где чаще всего ошибаются студенты. Чтобы сразу почувствовать связь одинарного и двойного угла, покрутите калькулятор ниже: он считает $\sin 2\alpha$, $\cos 2\alpha$ и $\tan 2\alpha$ по точным формулам и показывает график.

Как выводятся формулы двойного угла

Все три формулы получаются из формул сложения, если положить в них оба угла равными $\alpha$. Запишем синус и косинус суммы:

$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta,$ $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta.$

Подставляем $\beta = \alpha$, то есть $\alpha + \beta = 2\alpha$. Для синуса оба слагаемых становятся одинаковыми, и получается удвоенное произведение:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Для косинуса первое слагаемое даёт квадрат косинуса, второе - квадрат синуса:

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha.$

Рассчитать для своей задачи

То есть никакой новой «магии» в формулах нет - это просто формулы сложения для частного случая равных углов. Если уверенно помнить синус и косинус суммы, формулы двойного угла можно восстановить за несколько секунд, не заучивая их отдельно.

Синус двойного угла

Формула синуса двойного угла самая короткая:

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha.$

Главное, что нужно запомнить: удваивается произведение $\sin\alpha\cos\alpha$, а не сам синус. Поэтому $\sin 60° = 2\sin 30°\cos 30° = 2 \cdot \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{\sqrt3}{2} = \tfrac{\sqrt3}{2}$, что заметно отличается от ошибочного $2\sin 30° = 1$. Эту же формулу удобно читать справа налево: любое произведение синуса на косинус одного угла сворачивается в половину синуса двойного. Например, $2\sin 15°\cos 15° = \sin 30° = \tfrac12$ - без всяких таблиц.

Максимум $\sin 2\alpha = 1$ достигается при $2\alpha = 90°$, то есть при $\alpha = 45°$: именно там $\sin\alpha = \cos\alpha$, и произведение наибольшее. В калькуляторе выше переключите функцию на синус и подведите ползунок к $45°$ - значение $\sin 2\alpha$ выйдет на единицу.

Косинус двойного угла: три формы

У косинуса двойного угла три равносильных записи, и это не прихоть - каждая удобна в своей ситуации:

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1.$

Вторая и третья формы получаются из первой подстановкой основного тождества $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Если в выражении удобнее оставить только синус - берём $1 - 2\sin^2\alpha$; если только косинус - $2\cos^2\alpha - 1$. Особенно полезны обратные прочтения этих формул - формулы понижения степени:

$\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}, \qquad \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}.$

Именно через них квадраты синуса и косинуса превращаются в линейные по косинусу выражения - это ключевой приём при интегрировании $\sin^2 x$ и $\cos^2 x$.

Рассчитать для своей задачи

На графике в калькуляторе переключите функцию на косинус: видно, что $\cos 2\alpha$ обращается в ноль уже при $\alpha = 45°$ (а не при $90°$, как одинарный косинус), потому что аргумент удвоен.

Тангенс двойного угла

Тангенс двойного угла удобнее всего получить как отношение синуса к косинусу двойного угла и разделить числитель и знаменатель на $\cos^2\alpha$:

$\tan 2\alpha = \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}.$

Эта формула определена не везде. Она теряет смысл в двух случаях: когда не существует сам $\tan\alpha$ (при $\alpha = 90° + 180°k$) и когда знаменатель $1 - \tan^2\alpha$ обращается в ноль. Второе происходит при $\tan^2\alpha = 1$, то есть при $\alpha = 45° + 90°k$. В этом случае $2\alpha = 90° + 180°k$, и $\tan 2\alpha$ действительно не существует - это согласуется с тем, что тангент прямого угла не определён. В калькуляторе при $\alpha = 45°$ значение $\tan 2\alpha$ помечается как бесконечность.

Где это применяют

Формулы двойного угла - рабочий инструмент в нескольких типовых задачах:

• Упрощение выражений. Произведение $\sin\alpha\cos\alpha$, разность $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, дробь $\tfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ сворачиваются в одну функцию двойного угла.
• Тригонометрические уравнения. Если в уравнении есть и $\sin 2x$, и $\sin x$, формула $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ приводит всё к одному аргументу и позволяет вынести общий множитель.
• Понижение степени и интегралы. Замена $\sin^2 x = \tfrac{1-\cos 2x}{2}$ убирает квадрат и делает выражение интегрируемым в одну строку.
• Вычисление значений. Через двойной угол находят, например, $\cos 2\alpha$ по известному $\sin\alpha$, не вычисляя сам угол.

Частые ошибки

• «$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha$». Самая распространённая ошибка: удваивают значение функции вместо аргумента. Верно $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ - обязательно с косинусом.
• Путаница в формах косинуса. В формуле $1 - 2\sin^2\alpha$ минус стоит перед $2\sin^2\alpha$, а в $2\cos^2\alpha - 1$ единица вычитается. Перепутанный знак - типичная потеря балла.
• Забытое ограничение тангенса. Формула $\tan 2\alpha = \tfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ не работает при $\alpha = 45° + 90°k$ и там, где не определён $\tan\alpha$. В таких точках нужно отдельно оговаривать область определения.
• Знак при извлечении корня. Находя $\cos\alpha$ через $\sin\alpha$, не забывайте про знак: он зависит от четверти, в которой лежит угол.

FAQ

Чему равен синус двойного угла? $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$. Это формула сложения $\sin(\alpha+\beta)$ при $\beta = \alpha$. Удваивается произведение синуса на косинус, а не сам синус.

Почему у косинуса двойного угла три формулы? Все три равносильны: $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1$. Вторая и третья получаются из первой через основное тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Выбирают ту форму, которая оставляет в задаче нужную функцию.

Когда тангенс двойного угла не определён? Когда $1 - \tan^2\alpha = 0$, то есть при $\alpha = 45° + 90°k$, а также там, где не существует сам $\tan\alpha$ (при $\alpha = 90° + 180°k$). В этих точках $2\alpha$ равен $90°$ по модулю $180°$, и тангенс прямого угла не определён.

Коротко

Формулы двойного угла выводятся из формул сложения при равных углах: $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$, $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ (плюс две равносильные формы через основное тождество) и $\tan 2\alpha = \tfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$. Удваивается аргумент, а не значение функции; форму косинуса выбирают под задачу; у тангенса есть точки, где формула не определена. Эти три формулы закрывают большинство задач на упрощение, уравнения и понижение степени.