Эффект Кондо: почему сопротивление металла растёт на холоде

Чистый металл при охлаждении проводит ток всё лучше: тепловые колебания решётки затихают, и сопротивление выходит на постоянное остаточное значение. Но если в металл попадает даже крошечная доля магнитных примесей (железо в золоте, марганец в меди), картина меняется: ниже некоторой температуры сопротивление перестаёт падать, проходит через минимум и снова начинает расти. Это и есть эффект Кондо. Ниже стоит интерактивный калькулятор: подвигайте концентрацию примесей и температуру Кондо и посмотрите, где появляется минимум.

Что наблюдается в эксперименте

Аномалию заметили ещё в 1930-х: у образцов золота с малой примесью железа сопротивление при понижении температуры не выходило на плато, а имело отчётливый минимум при нескольких кельвинах. Долго это считали грязью эксперимента - но минимум воспроизводился, а его положение зависело от концентрации примесей. Чем больше магнитных атомов, тем выше по температуре сидит минимум сопротивления.

Ключевое слово - магнитные. Немагнитная примесь (скажем, цинк в меди) даёт обычное остаточное сопротивление: рассеяние на дефекте от температуры почти не зависит. А вот атом с незаполненной d- или f-оболочкой несёт собственный локализованный спин, и именно взаимодействие электронов проводимости с этим спином порождает аномалию.

Рассчитать для своей задачи

Откуда берётся рост сопротивления

Полное сопротивление образца удобно разложить на три слагаемых:

$$\rho(T) = \rho_0 + a\,T^5 + \rho_K(T).$$

Первый член $\rho_0$ - остаточное сопротивление на статических дефектах, оно не зависит от температуры. Второй, $a\,T^5$, - рассеяние на фононах (колебаниях решётки); при охлаждении фононов всё меньше, и этот вклад быстро убывает. Если бы только эти два члена и были, сопротивление монотонно падало бы к $\rho_0$.

Третий член $\rho_K(T)$ - собственно вклад Кондо. Джун Кондо в 1964 году показал, что рассеяние электронов на спине магнитной примеси даёт логарифмическую по температуре поправку:

$$\rho_K(T) \propto c\,\ln\!\frac{T_K}{T},$$

где $c$ - концентрация примесей, а $T_K$ - характерная температура Кондо. При понижении $T$ логарифм растёт, то есть кондовский вклад увеличивается - противоположно фононному. Конкуренция падающего $a\,T^5$ и растущего $\ln(T_K/T)$ и создаёт минимум: выше него командует фононный член, ниже - кондовский.

Почему именно логарифм

Логарифм - самая необычная черта эффекта. В обычном борновском приближении (рассеяние в первом порядке теории возмущений) сечение от температуры не зависит, и никакого логарифма не возникает. Он появляется только во втором порядке, когда учитывается, что промежуточное состояние электрона может переворачивать спин примеси (spin-flip-рассеяние).

Из-за того что спин примеси при таком процессе меняется, вклады разных порядков не сокращаются, как для потенциального рассеяния, а накапливаются. Суммирование по промежуточным состояниям вблизи поверхности Ферми даёт интеграл вида $\int dE / E$, который и порождает $\ln(1/T)$. Грубо говоря, чем ближе к поверхности Ферми работает электрон (чем ниже температура), тем больше «доступных» виртуальных переходов с переворотом спина, и тем сильнее рассеяние.

Важно, что обмен между электроном и примесью должен быть антиферромагнитным (электрон стремится встать спином против спина примеси) - только тогда логарифм идёт со знаком, дающим рост сопротивления при охлаждении. Это тесно связано с тем, как ведёт себя магнитная восприимчивость вещества с локализованными моментами.

Можно посмотреть на это и с другой стороны. Электрон проводимости, пролетая мимо примеси, может на мгновение «занять» место её спина, перевернув при этом и свой, и примесный момент, а затем уйти - оставив систему в другом спиновом состоянии. Такие виртуальные обмены связывают между собой состояния по обе стороны от уровня Ферми. Их вклад в амплитуду рассеяния пропорционален числу занятых и свободных состояний в узкой полоске шириной порядка $k_B T$ - а число доступных переходов с переворотом спина логарифмически растёт по мере сужения этой полоски при охлаждении. Именно поэтому температура входит под логарифм, а не степенью: эффект чувствует не саму энергию, а её отношение к ширине зоны.

Рассчитать для своей задачи

Температура Кондо и что ниже неё

Сам логарифм формально расходится при $T \to 0$ - это сигнал, что теория возмущений перестаёт работать. Масштаб, на котором она ломается, и есть температура Кондо:

$$T_K \sim \frac{D}{k_B}\,\exp\!\left(-\frac{1}{J\,\nu(E_F)}\right),$$

где $D$ - ширина зоны проводимости, $J$ - обменная константа (антиферромагнитная, $J<0$ в этой записи), а $\nu(E_F)$ - плотность состояний электронов на уровне Ферми. Экспонента делает $T_K$ очень чувствительной к деталям: для разных пар «примесь - матрица» она меняется от долей кельвина до сотен кельвинов.

Ниже $T_K$ происходит самое интересное. Спин примеси перестаёт быть свободным: окружающие электроны проводимости «обволакивают» его, выстраиваясь так, чтобы скомпенсировать его момент. Образуется коллективный спиновый синглет - кондовское облако. Локальный магнитный момент фактически экранируется, и при $T \ll T_K$ примесь рассеивает электроны как обычный (немагнитный) сильный рассеиватель - наступает режим унитарного рассеяния. Сопротивление при этом выходит на новое плато, а не растёт бесконечно. Полная картина при всех температурах описывается уже не теорией возмущений, а численной ренормгруппой Вильсона, за которую он получил долю Нобелевской премии.

Где это важно

Эффект Кондо давно перерос «грязный образец золота». Это эталонная задача физики сильно коррелированных систем: на ней отрабатывали ренормгруппу, метод Бете-анзаца, численные методы. Кондо-решётки (когда магнитные ионы стоят в каждой ячейке) приводят к тяжёлым фермионам - материалам, где эффективная масса электронов в сотни раз больше обычной.

В наноэлектронике эффект Кондо проявляется в одиночной квантовой точке с нечётным числом электронов: её незанятый спин играет роль примеси, и проводимость через точку при низких температурах, наоборот, растёт до унитарного предела. Это уже не паразитный эффект, а инструмент: по форме кондовского пика измеряют $T_K$, обменные константы и спиновое состояние точки.

Та же физика всплывает там, где есть локализованный спин в море подвижных электронов: магнитные молекулы на металлической поверхности, дефекты в графене, точки на нанотрубках. Кроссовер при $T_K$ оказался универсальным - детали материала входят только в одно число, температуру Кондо, а форма кривых после перенормировки на $T/T_K$ ложится на одну универсальную зависимость. Этот «универсальный» характер и сделал задачу Кондо пробным камнем: на ней проверяют почти каждый новый метод теории сильно коррелированных электронов, прежде чем браться за более сложные системы вроде высокотемпературных сверхпроводников.

Частые ошибки

• Путать с обычным остаточным сопротивлением. Немагнитные дефекты дают постоянный $\rho_0$ без всякой температурной зависимости. Минимум и логарифм даёт только примесь с собственным незаэкранированным спином.
• Считать, что сопротивление растёт бесконечно. Логарифм расходится лишь в теории возмущений; ниже $T_K$ спин экранируется, и сопротивление выходит на плато.
• Брать ферромагнитный обмен. Рост сопротивления при охлаждении даёт именно антиферромагнитный обмен; при ферромагнитном знаке логарифм идёт в другую сторону.
• Игнорировать концентрацию. Положение минимума зависит от $c$ (примерно как $c^{1/5}$): чем больше примесей, тем выше по температуре сидит минимум.
• Считать $T_K$ температурой фазового перехода. Это кроссовер, а не переход: никакой особенности термодинамических величин при $T_K$ нет, всё меняется плавно.

FAQ

Чем эффект Кондо отличается от сверхпроводимости? Это противоположные явления. У сверхпроводника сопротивление при охлаждении резко падает до нуля при критической температуре (см. энергетическую щель сверхпроводника). При эффекте Кондо сопротивление, наоборот, растёт ниже минимума, и никакого нуля нет - это нормальный металл с аномальным рассеянием.

Почему примесь обязательно должна быть магнитной? Логарифм рождается из процессов с переворотом спина примеси. У немагнитного атома собственного спина нет, переворачивать нечего, и рассеяние остаётся обычным потенциальным - без температурной зависимости и без минимума.

Можно ли увидеть эффект Кондо на одном атоме? Да. В квантовой точке или в молекуле на металлической подложке роль примеси играет один локализованный спин, и кондовский пик проводимости видят в сканирующем туннельном микроскопе. Это один из самых наглядных способов измерить $T_K$.

Коротко

Эффект Кондо - рост электрического сопротивления металла при охлаждении из-за рассеяния электронов проводимости на спинах магнитных примесей. Логарифмическая поправка $\rho_K \propto \ln(T_K/T)$ растёт при $T \to 0$ и, конкурируя с убывающим фононным вкладом $\sim T^5$, даёт характерный минимум сопротивления. Масштаб явления задаёт температура Кондо $T_K$: ниже неё спин примеси экранируется электронным облаком в синглет, и сопротивление выходит на плато. Это базовая модель физики сильно коррелированных систем - от тяжёлых фермионов до квантовых точек.