Модель Хаббарда: переход металл-диэлектрик и магнетизм

Модель Хаббарда - самая простая микроскопическая модель, в которой электроны на решётке «чувствуют» друг друга: каждый узел может быть пустым, занятым одним электроном или двумя с противоположными спинами, и за двойное заполнение приходится платить энергией $U$. Из двух чисел - амплитуды перескока $t$ и кулоновского отталкивания $U$ - вырастают переход металл-диэлектрик, антиферромагнетизм и физика высокотемпературных сверхпроводников. Ниже разберём гамильтониан по слагаемым, два предельных случая и точку, где металл превращается в диэлектрик. Если нужно разобрать конкретную постановку с числами, соберите её в форме под обложкой и продолжите в чате.

Что описывает модель Хаббарда

Зонная теория считает, что электроны движутся независимо в усреднённом потенциале решётки. Это хорошо работает для простых металлов, но проваливается там, где отталкивание между электронами сравнимо с шириной зоны. Модель Хаббарда - минимальный способ учесть это отталкивание: она оставляет одну орбиталь на узел и сводит всё межэлектронное взаимодействие к одному локальному параметру $U$, который «включается» только когда на узле сидят сразу два электрона.

Несмотря на предельную скупость, модель воспроизводит целый зоопарк явлений сильно коррелированных систем - моттовский диэлектрик, локальные магнитные моменты, антиферромагнитное упорядочение. Именно за эту способность из двух параметров получить богатую физику её называют «моделью-дрозофилой» теории твёрдого тела, по аналогии с моделью Изинга в статистической физике.

Рассчитать для своей задачи

Гамильтониан: два слагаемых

Гамильтониан модели Хаббарда состоит из кинетической части и части взаимодействия:

$$\hat{H} = -t \sum_{\langle i,j \rangle, \sigma} \left( \hat{c}^{\dagger}_{i\sigma} \hat{c}_{j\sigma} + \text{э.с.} \right) + U \sum_{i} \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}$$

Первое слагаемое - кинетическое. Оператор $\hat{c}^{\dagger}_{i\sigma} \hat{c}_{j\sigma}$ переносит электрон со спином $\sigma$ с узла $j$ на соседний узел $i$; сумма по $\langle i,j \rangle$ берётся только по парам ближайших соседей, а «э.с.» - эрмитово сопряжённое слагаемое для обратного перескока. Амплитуда $t$ задаёт, насколько легко электрону «прыгать»: чем больше $t$, тем шире энергетическая зона ($W \approx 2zt$, где $z$ - число соседей).

Второе слагаемое - взаимодействие. Здесь $\hat{n}_{i\sigma} = \hat{c}^{\dagger}_{i\sigma} \hat{c}_{i\sigma}$ - оператор числа электронов со спином $\sigma$ на узле $i$. Произведение $\hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}$ равно единице только тогда, когда узел занят двумя электронами сразу, поэтому энергия $U$ добавляется ровно за каждую дважды занятую («двойную») позицию. Это локальное, «контактное» отталкивание - модель сознательно отбрасывает дальнодействие реального кулоновского поля.

Вся физика прячется в безразмерном отношении $U/t$. Малое $U/t$ - электроны почти свободны, зонная картина работает. Большое $U/t$ - отталкивание доминирует, и поведение системы качественно меняется.

Половинное заполнение

Особый случай - половинное заполнение (half-filling): ровно один электрон на узел в среднем. Это естественная точка, потому что именно здесь конкуренция кинетики и отталкивания наиболее остра.

При $U = 0$ половинное заполнение даёт обычный металл: зона заполнена наполовину, на уровне Ферми есть состояния, ток течёт. Но включаем $U$ - и каждому электрону, чтобы перескочить на соседний (уже занятый) узел, придётся заплатить $U$, создав двойное заполнение. При достаточно большом $U$ перескоки замораживаются: электроны «застревают» по одному на узел, и система становится диэлектриком, хотя зона формально заполнена лишь наполовину. Это и есть моттовский диэлектрик - изолятор не из-за заполненной зоны, а из-за отталкивания.

Рассчитать для своей задачи

Атомный предел: $t \to 0$

Чтобы понять, откуда берётся щель, удобно рассмотреть атомный предел $t = 0$ - узлы изолированы, перескоков нет. Тогда каждый узел независим, и его энергия определяется только числом электронов: пустой узел - $0$, один электрон - $0$ (с точностью до химпотенциала), два электрона - $U$.

Чтобы добавить второй электрон к узлу, уже занятому одним, нужна энергия $U$. Эта величина и есть энергетическая щель: спектр одночастичных возбуждений разбивается на две «хаббардовские подзоны», разнесённые на $U$. Нижняя подзона отвечает за добавление электрона на пустой узел, верхняя - за добавление второго электрона на занятый. При половинном заполнении нижняя подзона заполнена, верхняя пуста, между ними - щель порядка $U$: диэлектрик.

Включение малого $t$ размывает эти уровни в подзоны шириной $\sim W$. Пока $U > W$, щель сохраняется; когда $U$ падает ниже ширины зоны, подзоны перекрываются и щель закрывается - это и есть переход Мотта.

Переход Мотта металл-диэлектрик

Переход Мотта - это переход между металлом и диэлектриком, управляемый отношением $U/t$ при фиксированном половинном заполнении. Качественная картина простая:

$$\frac{U}{t} \ll 1 \;\Rightarrow\; \text{металл}, \qquad \frac{U}{t} \gg 1 \;\Rightarrow\; \text{моттовский диэлектрик}.$$

Критическое значение $(U/t)_c$ зависит от размерности и типа решётки и точно известно лишь в немногих случаях. В одномерной цепочке точное решение Либа-Ву показывает, что система - диэлектрик при любом сколь угодно малом $U > 0$ (щель открывается экспоненциально медленно). В бесконечной размерности, где работает динамическая теория среднего поля (DMFT), переход происходит при конечном $(U/t)_c \sim 6$–$10$ (в единицах ширины зоны порядка $U_c \sim W$) и сопровождается гистерезисом - областью сосуществования металлической и диэлектрической фаз.

Рассчитать для своей задачи

Физически переход реализуется в оксидах переходных металлов (например $V_2O_3$, $NiO$): меняя давление, температуру или допирование, экспериментаторы двигают эффективное $U/t$ и наблюдают скачкообразное изменение проводимости на несколько порядков.

Связь с магнетизмом и сверхпроводимостью

В пределе большого $U$ при половинном заполнении модель Хаббарда сводится к эффективной спиновой модели. Виртуальные перескоки «туда и обратно» через дважды занятое состояние выгодны только для электронов с противоположными спинами на соседних узлах (запрет Паули разрешает такой перескок). Это даёт антиферромагнитный обмен:

$$J = \frac{4 t^2}{U},$$

и низкоэнергетическая физика описывается гейзенберговским гамильтонианом $\hat{H} = J \sum_{\langle i,j \rangle} \hat{\mathbf{S}}_i \cdot \hat{\mathbf{S}}_j$. Поэтому моттовский диэлектрик при половинном заполнении обычно ещё и антиферромагнетик: локальные моменты упорядочиваются «вверх-вниз» по решётке.

Если из такого антиферромагнитного моттовского диэлектрика убрать часть электронов (допировать дырками), система - по гипотезе - переходит в сверхпроводящее состояние. Именно двумерная модель Хаббарда вблизи половинного заполнения считается минимальной моделью медь-оксидных высокотемпературных сверхпроводников, где открытие энергетической щели сверхпроводника связывают с теми же сильными корреляциями; её точное решение в двух измерениях до сих пор остаётся открытой задачей.

Частые ошибки

• Путать $U$ с дальнодействующим кулоном. В модели Хаббарда $U$ - это локальное отталкивание двух электронов на одном узле; взаимодействие между разными узлами отброшено. Расширенная модель Хаббарда добавляет член $V$ для соседей, но базовая - только локальная.
• Считать, что диэлектрик всегда означает заполненную зону. Моттовский диэлектрик возникает при наполовину заполненной зоне - изолятором его делает отталкивание, а не заполнение зоны. Это принципиально неодночастичный эффект.
• Игнорировать половинное заполнение. Переход Мотта в модели Хаббарда привязан именно к одному электрону на узел. Вдали от половинного заполнения система обычно остаётся металлом при любом $U$.
• Брать обмен с неверным знаком. Сверхобмен $J = 4t^2/U$ положителен - он антиферромагнитный. Ферромагнетизм в модели Хаббарда возникает в других режимах (например по механизму Нагаоки) и требует особых условий.

FAQ

Чем модель Хаббарда отличается от зонной теории? Зонная теория считает электроны независимыми и работает при малом $U/t$. Модель Хаббарда явно вводит локальное отталкивание $U$ и описывает режим сильных корреляций, где зонная картина ломается - в частности предсказывает моттовский диэлектрик, которого зонная теория «не видит».

Почему модель так трудно решить точно? Член $U \hat{n}_{i\uparrow} \hat{n}_{i\downarrow}$ нелинеен по операторам и не диагонализуется одновременно с кинетическим членом. Точные решения известны лишь для одномерной цепочки (анзац Бете, Либ-Ву) и в пределе бесконечной размерности (DMFT); двумерный случай при допировании решают численно и приближённо.

Что такое хаббардовские подзоны? Это две ветви одночастичного спектра, разнесённые примерно на $U$: нижняя отвечает за добавление электрона на пустой узел, верхняя - за добавление второго электрона на уже занятый. При большом $U$ между ними открывается моттовская щель.

Коротко

Модель Хаббарда сводит физику решётки к двум числам: амплитуде перескока $t$ и локальному отталкиванию $U$. При малом $U/t$ это металл, при большом - моттовский диэлектрик; переход между ними происходит при половинном заполнении и не сводится к зонной картине. В пределе большого $U$ модель порождает антиферромагнитный обмен $J = 4t^2/U$, а её двумерная допированная версия лежит в основе теории высокотемпературной сверхпроводимости.