Число Лошмидта: формула и физический смысл

Когда физики говорят «число молекул в одном кубическом метре идеального газа при нормальных условиях», они называют числом Лошмидта. Это фундаментальная постоянная молекулярно-кинетической теории, соединяющая макроскопические параметры газа (давление, температуру) с количеством невидимых частиц. Разберём её вывод, связь с постоянной Авогадро и научимся рассчитывать концентрацию молекул при произвольных условиях. Подвигайте ползунки в калькуляторе ниже, чтобы сразу увидеть, как меняется число молекул в единице объёма.

Что такое число Лошмидта и откуда оно берётся

Число Лошмидта $n_0$ - это концентрация молекул идеального газа при нормальных условиях: давление $p_0 = 101\,325$ Па и температура $T_0 = 273{,}15$ К (то есть $0\,°\text{C}$).

Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ выразим концентрацию $n = N/V$:

$n = \frac{N}{V} = \frac{\nu N_A}{V} = \frac{p N_A}{RT}.$

При нормальных условиях подставляем значения:

$n_0 = \frac{p_0 N_A}{R T_0} = \frac{101\,325 \times 6{,}022 \times 10^{23}}{8{,}314 \times 273{,}15} \approx 2{,}687 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}.$

Это и есть число Лошмидта. В старой литературе и в задачах по физике встречается значение $2{,}68 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}$, иногда пересчитанное в «на см$^3$»: $n_0 = 2{,}687 \times 10^{19}\ \text{см}^{-3}$.

Рассчитать для своей задачи

Связь с постоянной Авогадро

Постоянная Авогадро $N_A = 6{,}022 \times 10^{23}\ \text{моль}^{-1}$ - число частиц в одном моле вещества. Число Лошмидта отличается от неё и по смыслу, и по численному значению: $N_A$ говорит, сколько молекул в моле, а $n_0$ - сколько молекул в единице объёма при нормальных условиях. Связь между ними:

$n_0 = \frac{N_A}{V_m},$

где $V_m = 22{,}414 \times 10^{-3}\ \text{м}^3/\text{моль}$ - молярный объём идеального газа при нормальных условиях. Отсюда:

$n_0 = \frac{6{,}022 \times 10^{23}}{22{,}414 \times 10^{-3}} \approx 2{,}687 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}.$

Оба пути дают одно и то же значение - уравнение состояния идеального газа внутренне согласовано.

Рассчитать для своей задачи

Формула концентрации при произвольных условиях

Число Лошмидта задаёт опорную точку, но в реальных задачах давление и температура газа могут отличаться от нормальных. Общая формула концентрации молекул:

$n = \frac{p N_A}{RT} = n_0 \cdot \frac{p}{p_0} \cdot \frac{T_0}{T}.$

Второй вариант удобен для быстрой оценки: нужно только знать, во сколько раз давление и температура отличаются от нормальных. Например, при $p = 2p_0$ и $T = 2T_0$ концентрация осталась бы той же: увеличение давления вдвое компенсируется увеличением температуры вдвое.

В калькуляторе выше эта формула работает в реальном времени: введите давление и температуру - получите концентрацию молекул, которую можно сопоставить с числом Лошмидта.

Физический смысл и применение

Число Лошмидта - это отправная точка для оценок в молекулярно-кинетической теории. Зная $n_0$, можно:

• оценить среднее расстояние между молекулами при нормальных условиях. Если на каждую молекулу приходится объём $1/n_0 \approx 3{,}7 \times 10^{-26}\ \text{м}^3$, то характерное расстояние $d \approx n_0^{-1/3} \approx 3{,}3\ \text{нм}$, что в 10 раз больше размера самой молекулы;
• пересчитать число молекул в любом объёме при нормальных условиях: $N = n_0 \cdot V$;
• вычислить среднюю длину свободного пробега: $\lambda = 1/(\sqrt{2}\,\pi d^2 n)$, подставив нужную концентрацию;
• оценить число столкновений молекулы в секунду: $z = \sqrt{2}\,\pi d^2 \langle v \rangle n$, где $\langle v \rangle$ - средняя тепловая скорость.

Число Лошмидта упоминается в задачах на оптику атмосферы (рассеяние Рэлея), акустику и при расчёте числа столкновений молекул. В рэлеевском рассеянии интенсивность рассеянного света на молекулах воздуха пропорциональна концентрации $n$, и именно через число Лошмидта удобно нормировать рассеивающую силу атмосферы при разных высотах.

Важно помнить, что число Лошмидта - свойство идеального газа как модели, а не конкретного газа. Для воздуха, кислорода, аргона при одинаковых $p$ и $T$ концентрация молекул по уравнению идеального газа одинакова, хотя масса, размер и скорость молекул различаются. Именно в этом смысл «газовой универсальности»: концентрация зависит только от $p$ и $T$, но не от природы газа.

Типичный пример задачи

Разберём задачу: найти число молекул воздуха в комнате объёмом $V = 50\ \text{м}^3$ при давлении $p = 101{,}3\ \text{кПа}$ и температуре $t = 20\ °\text{C}$.

Первый шаг - перевести температуру в кельвины:

$T = t + 273{,}15 = 20 + 273{,}15 = 293{,}15\ \text{К}.$

Второй шаг - найти концентрацию молекул по общей формуле:

$n = \frac{p N_A}{RT} = \frac{101\,300 \times 6{,}022 \times 10^{23}}{8{,}314 \times 293{,}15} \approx 2{,}503 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}.$

Это чуть меньше числа Лошмидта, что логично: температура выше нуля градусов, газ «разрежен» по сравнению с нормальными условиями. Соотношение:

$\frac{n}{n_0} = \frac{T_0}{T} = \frac{273{,}15}{293{,}15} \approx 0{,}932.$

Третий шаг - найти полное число молекул в комнате:

$N = n \cdot V = 2{,}503 \times 10^{25} \times 50 \approx 1{,}25 \times 10^{27}.$

Проверка через число Лошмидта: $N \approx n_0 \cdot V \cdot (T_0/T) = 2{,}687 \times 10^{25} \times 50 \times 0{,}932 = 1{,}25 \times 10^{27}$. Оба метода сходятся - расчёт верен.

Историческая справка

Иоганн Йозеф Лошмидт (1821-1895) - австрийский физик и химик, профессор Венского университета. В 1865 году он первым оценил размер молекул воздуха, а из него - и их концентрацию при нормальных условиях. Его метод был косвенным: он сопоставил длину свободного пробега (известную из кинетической теории и экспериментов по вязкости газов) с диаметром молекулы. Ключевое уравнение, которым воспользовался Лошмидт: $\lambda \approx 1/(n \pi d^2 \sqrt{2})$; зная $\lambda$ из опытов Максвелла и оценив $d$ из плотности жидкости, он выразил $n$.

Результат Лошмидта отличался от современного лишь в несколько раз - колоссальная точность для метода, в котором не было ни электронных микроскопов, ни рентгеновской кристаллографии. Именно в его честь постоянная и получила своё имя, хотя в разных традициях «числом Лошмидта» называют иногда $n_0$ в СИ, иногда то же значение в СГС ($2{,}687 \times 10^{19}\ \text{см}^{-3}$). В Германии и Австрии термин «постоянная Лошмидта» традиционно закреплён за концентрацией молекул, тогда как в англоязычной литературе она чаще называется просто «number density at STP».

Частые ошибки

• Путаница с числом Авогадро. $N_A$ - число молекул в моле; $n_0$ - число молекул в кубическом метре при нормальных условиях. Это разные величины с разными размерностями.
• Неправильные нормальные условия. Нормальные условия в физике: $T_0 = 273{,}15$ К, $p_0 = 101\,325$ Па. В химии иногда используется STP ($0\,°\text{C}$, 100 000 Па) или SATP ($25\,°\text{C}$, 100 000 Па) - концентрация при этих условиях немного отличается.
• Единицы: м$^{-3}$ или см$^{-3}$. $n_0 = 2{,}687 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3} = 2{,}687 \times 10^{19}\ \text{см}^{-3}$. Подстановка числа в одних единицах в формулу с другими единицами длины - источник ошибки на 6 порядков.
• Применение к неидеальному газу. Формула $n = pN_A/(RT)$ справедлива для идеального газа. При высоких давлениях или низких температурах нужно уравнение Ван-дер-Ваальса или другую модель реального газа.
• Забытый перевод температуры. В формуле $n = pN_A/(RT)$ температура всегда в кельвинах. Подстановка $t$ в градусах Цельсия - классическая ошибка.

FAQ

Чему равно число Лошмидта? Число Лошмидта $n_0 \approx 2{,}687 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}$ (или $2{,}687 \times 10^{19}\ \text{см}^{-3}$). Это концентрация молекул идеального газа при нормальных условиях: $T_0 = 273{,}15$ К и $p_0 = 101\,325$ Па. Оно вычисляется по формуле $n_0 = p_0 N_A / (R T_0)$.

Как связаны число Лошмидта и постоянная Авогадро? $n_0 = N_A / V_m$, где $V_m = 22{,}414 \times 10^{-3}\ \text{м}^3/\text{моль}$ - молярный объём идеального газа при нормальных условиях. Число Лошмидта - это постоянная Авогадро, «сжатая» в один молярный объём.

Как найти концентрацию молекул при условиях, отличных от нормальных? Используйте формулу $n = pN_A/(RT)$ или в относительной форме $n = n_0 \cdot (p/p_0) \cdot (T_0/T)$. При повышении давления концентрация растёт пропорционально, при повышении температуры - убывает обратно пропорционально.

Коротко

Число Лошмидта $n_0 \approx 2{,}687 \times 10^{25}\ \text{м}^{-3}$ - это концентрация молекул идеального газа при нормальных условиях, вычисляемая из уравнения состояния: $n_0 = p_0 N_A / (R T_0)$. При произвольных давлении и температуре концентрация пересчитывается по формуле $n = n_0 \cdot (p/p_0) \cdot (T_0/T)$. Постоянная связывает макроскопические параметры газа с числом микрочастиц и служит отправной точкой для оценок в молекулярно-кинетической теории.