Бета-функция Эйлера: формула и связь с гамма-функцией

Бета-функция Эйлера, или эйлеров интеграл первого рода, - это специальная функция двух положительных переменных $p$ и $q$, заданная определённым интегралом по отрезку от нуля до единицы. Она появляется там, где нужно проинтегрировать произведение степеней $t^{p-1}$ и $(1-t)^{q-1}$, и тесно связана с гамма-функцией, через которую её удобнее всего считать. Ниже разберём интегральное определение бета-функции, её главную формулу через гамма-функцию, свойство симметрии и приёмы, которыми интегралы сводят к $B(p, q)$. Чтобы сразу почувствовать, что значение бета-функции - это просто площадь под подынтегральной кривой, покрутите калькулятор: он показывает кривую с закрашенной площадью и одновременно собирает то же число из гамма-функций.

Интегральное определение бета-функции

Бета-функция Эйлера определяется как интеграл

$B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1}\, dt, \qquad p > 0,\ q > 0.$

Подынтегральное выражение $t^{p-1}(1-t)^{q-1}$ на отрезке $[0, 1]$ при $p > 1$ и $q > 1$ обращается в ноль на обоих концах и имеет один максимум внутри, то есть выглядит как асимметричный «колокол». Само значение $B(p, q)$ - это площадь под этим колоколом. Условие $p > 0$, $q > 0$ нужно для сходимости: если показатель степени становится меньше или равен $-1$ у одного из множителей, интеграл расходится на соответствующем конце отрезка. Подробнее о том, когда подобные интегралы сходятся, написано в разборе про сходимость несобственного интеграла первого рода.

Рассчитать для своей задачи

Когда параметр $p$ увеличивается при фиксированном $q$, вершина кривой смещается вправо к точке $t = (p-1)/(p+q-2)$, кривая прижимается к правому краю, а площадь под ней - то есть значение $B(p, q)$ - убывает. Так наглядно видно, что бета-функция монотонно зависит от своих аргументов: чем больше показатели, тем «тоньше» подынтегральный колокол и тем меньше площадь.

Связь бета-функции с гамма-функцией

Считать бета-функцию прямо через интеграл неудобно, поэтому на практике почти всегда пользуются её связью с гамма-функцией:

$B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\,\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$

Здесь $\Gamma$ - гамма-функция Эйлера, эйлеров интеграл второго рода, который обобщает факториал на нецелые аргументы. Для натуральных значений гамма-функция превращается в факториал по правилу $\Gamma(n) = (n-1)!$, поэтому для целых $p$ и $q$ бета-функция считается без всякого интегрирования. Например,

$B(3, 4) = \frac{\Gamma(3)\,\Gamma(4)}{\Gamma(7)} = \frac{2! \cdot 3!}{6!} = \frac{2 \cdot 6}{720} = \frac{1}{60}.$

Эта формула - главный рабочий инструмент: она переводит вычисление площади под кривой в простую арифметику факториалов. В калькуляторе выше правый график как раз показывает три гамма-функции $\Gamma(p)$, $\Gamma(q)$, $\Gamma(p+q)$ как строительные блоки и итоговое $B(p, q)$ рядом, чтобы было видно, как из них собирается ответ.

Откуда берётся сама связь? Если записать произведение $\Gamma(p)\,\Gamma(q)$ как двойной интеграл по первой четверти плоскости и перейти к полярным или к нормированным координатам, угловая часть в точности даёт бета-интеграл, а радиальная сворачивается обратно в $\Gamma(p+q)$. Поэтому бета-функция - это, по сути, «угловой множитель» гамма-функции, и обе функции Эйлер ввёл в одной серии работ XVIII века как два эталонных интеграла. Для практики важно лишь следствие: любую бету можно мгновенно выразить через три гаммы, а каждую гамму с натуральным аргументом - через факториал.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке - канонический случай $p = 2$, $q = 4$. Подынтегральная функция $t^{p-1}(1-t)^{q-1} = t(1-t)^3$ образует колокол, смещённый влево, а вся закрашенная площадь под ним численно равна $B(2, 4) = 0{,}05$. Проверка по формуле: $B(2, 4) = \Gamma(2)\Gamma(4)/\Gamma(6) = 1 \cdot 6 / 120 = 1/20 = 0{,}05$.

Свойство симметрии

Из определения сразу следует важное свойство: бета-функция симметрична относительно перестановки аргументов,

$B(p, q) = B(q, p).$

Доказывается это заменой переменной $t \to 1 - t$ в интеграле: при ней множители $t^{p-1}$ и $(1-t)^{q-1}$ меняются ролями, а пределы интегрирования остаются прежними. То же видно и из формулы через гамма-функцию: произведение $\Gamma(p)\Gamma(q)$ не меняется при перестановке множителей, а знаменатель $\Gamma(p+q)$ симметричен по построению. На практике симметрия экономит работу: если в задаче параметр $p$ оказался дробным, а $q$ - целым, можно поменять их местами и считать тот вариант, где арифметика проще. В калькуляторе симметрию легко проверить: переставьте ползунки p и q местами, и значение $B(p, q)$ не изменится.

Как сводить интегралы к бета-функции

Главная польза бета-функции в задачах - она позволяет брать целый класс определённых интегралов, не вычисляя первообразную. Если интеграл имеет вид степенного произведения на отрезке $[0, 1]$, он напрямую сводится к $B(p, q)$:

$\int_0^1 x^{a} (1-x)^{b}\, dx = B(a+1,\, b+1).$

Достаточно сопоставить показатели: степень при $x$ равна $p - 1$, степень при $(1-x)$ равна $q - 1$. Очень полезна и тригонометрическая форма бета-функции, получаемая заменой $t = \sin^2\varphi$:

$\int_0^{\pi/2} \sin^{2p-1}\varphi \, \cos^{2q-1}\varphi \, d\varphi = \tfrac{1}{2} B(p, q).$

Через неё берутся интегралы от чётных и нечётных степеней синуса и косинуса. Например, $\int_0^{\pi/2} \sin^4\varphi\,\cos^2\varphi\,d\varphi$ соответствует $2p - 1 = 4$ и $2q - 1 = 2$, то есть $p = 5/2$, $q = 3/2$, и равен $\tfrac{1}{2}B(5/2, 3/2)$. Дальше остаётся посчитать $B(5/2, 3/2) = \Gamma(5/2)\Gamma(3/2)/\Gamma(4)$, и через значения $\Gamma(5/2) = \tfrac34\sqrt{\pi}$, $\Gamma(3/2) = \tfrac12\sqrt{\pi}$, $\Gamma(4) = 6$ ответ выражается в долях $\pi$.

Ещё одна полезная форма получается заменой $t = x/(1+x)$ и переводит бета-интеграл на всю полупрямую:

$B(p, q) = \int_0^{\infty} \frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}\, dx.$

Эта запись удобна, когда подынтегральное выражение задано не на отрезке, а на $[0, \infty)$. Похожие приёмы сведения к табличным спецфункциям работают и для эллиптических интегралов Лежандра, и для гипергеометрической функции Гаусса, частным случаем которой бета-функция тоже является.

Частные значения и проверки

Несколько опорных значений полезно держать в голове для самопроверки:

• $B(1, 1) = \int_0^1 dt = 1$ - подынтегральная функция равна единице, площадь равна длине отрезка.
• $B\!\left(\tfrac12, \tfrac12\right) = \dfrac{\Gamma(1/2)^2}{\Gamma(1)} = \pi$, поскольку $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$. Это один из самых известных результатов, связывающих бета-функцию с числом $\pi$.
• $B(p, 1) = \dfrac{1}{p}$ - быстрый способ проверить формулу через гамма-функцию на простом случае.

Если посчитанное значение не проходит проверку на симметрию или даёт отрицательное число, значит, где-то перепутаны показатели степеней или знак в переходе от $t^{a}$ к параметру $p = a + 1$.

Частые ошибки

• Путаница показателей. В интеграле стоит $t^{p-1}$, а не $t^{p}$. Если в задаче дан $x^2$, то $p - 1 = 2$, то есть $p = 3$, а не $p = 2$. Сдвиг на единицу - самая частая ошибка.
• Деление гамма-функций неправильно. В формуле $B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$ в знаменателе стоит именно $\Gamma(p+q)$, а не $\Gamma(p)+\Gamma(q)$ и не $\Gamma(pq)$.
• Забытый множитель 1/2 в тригонометрической форме. Интеграл от $0$ до $\pi/2$ равен $\tfrac{1}{2}B(p, q)$, а не $B(p, q)$. Потеря двойки даёт ответ вдвое больше нужного.
• Расходящийся случай. При $p \le 0$ или $q \le 0$ интеграл расходится, и формула через гамма-функцию формально даёт значение только через аналитическое продолжение. В стандартных задачах считаем $p, q > 0$.
• Неверный перевод $\Gamma$ в факториал. $\Gamma(n) = (n-1)!$, а не $n!$. Для $\Gamma(4)$ получается $3! = 6$, а не $24$.

FAQ

Чем бета-функция отличается от гамма-функции? Гамма-функция зависит от одного аргумента и обобщает факториал, а бета-функция зависит от двух аргументов и выражает площадь под степенным произведением на отрезке $[0, 1]$. Они связаны формулой $B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$, поэтому бета-функцию почти всегда считают через гамму.

Зачем нужна бета-функция, если есть прямой интеграл? Она превращает целый класс определённых интегралов от степенных и тригонометрических выражений в готовую формулу через факториалы, без поиска первообразной. Это экономит время в задачах по матанализу, теории вероятностей (бета-распределение) и математической физике.

Чему равно $B(1/2, 1/2)$? Ровно $\pi$. Это следует из $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ и $\Gamma(1) = 1$, поэтому $B(1/2, 1/2) = \Gamma(1/2)^2 / \Gamma(1) = \pi$.

Коротко

Бета-функция Эйлера $B(p, q) = \int_0^1 t^{p-1}(1-t)^{q-1}\,dt$ - это эйлеров интеграл первого рода, значение которого равно площади под подынтегральной кривой на отрезке $[0, 1]$. Считают её через связь с гамма-функцией $B(p, q) = \Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$, что для целых аргументов сводит ответ к арифметике факториалов. Функция симметрична, $B(p, q) = B(q, p)$, и служит рабочим инструментом для сведения степенных и тригонометрических интегралов к табличной форме.