Как разложить бином Ньютона: формула и разбор примера

Дано: выражение $\left(2x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^6$. Найти: все члены разложения, коэффициент при $x^3$ и член, не содержащий $x$.

Разложение строится по формуле бинома Ньютона: каждый член собирается как произведение биномиального коэффициента $C_6^k$ на степени обоих слагаемых. Ответ: разложение состоит из семи членов, коэффициент при $x^3$ равен $-160$, а член, не содержащий $x$, равен $60$. Калькулятор сверху делает то же самое для любого бинома: считает коэффициенты, показывает степени и сам находит член без $x$.

Решение по шагам

Шаг 1. Выписываем общий член. Формула бинома Ньютона даёт не набор случайных слагаемых, а одно выражение с параметром $k$, которое пробегает значения от нуля до $n$. Для нашего бинома первое слагаемое равно $2x^2$, второе равно $-\dfrac{1}{x}$, показатель степени $n = 6$:

$$T_{k+1} = C_6^k \left(2x^2\right)^{6-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^{k}.$$

Нумерация членов сдвинута на единицу относительно $k$: при $k = 0$ получается первый член $T_1$, при $k = 6$ - седьмой. Эта единица и есть главный источник ошибок в задачах вида «найдите четвёртый член разложения»: четвёртому члену отвечает $k = 3$, а не $k = 4$.

Шаг 2. Отделяем числовой множитель от степени x. Раскроем скобки в общем члене, вынеся всё числовое вперёд:

$$T_{k+1} = C_6^k \cdot 2^{\,6-k} \cdot (-1)^{k} \cdot x^{2(6-k)} \cdot x^{-k}.$$

Степени $x$ складываются, потому что основание одно и то же. Получаем закон изменения показателя:

$$2(6-k) - k = 12 - 3k.$$

Это ключевая строка всего решения. Показатель $x$ начинается с $12$ и убывает с шагом $3$: последовательность степеней будет $12,\ 9,\ 6,\ 3,\ 0,\ -3,\ -6$. Дальше любой вопрос задачи сводится к тому, чтобы приравнять $12 - 3k$ нужному числу и найти $k$.

Шаг 3. Считаем биномиальные коэффициенты. Для шестой степени они образуют симметричный набор $1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1$. Считать их можно по формуле сочетаний либо просто списать строку треугольника Паскаля; определение и свойства $C_n^k$ подробно разобраны в отдельном материале про сочетания и перестановки, здесь они используются как готовый инструмент.

Шаг 4. Собираем таблицу членов. Числовой коэффициент каждого члена равен $C_6^k \cdot 2^{6-k} \cdot (-1)^k$, знаки чередуются, потому что второе слагаемое отрицательное:

Итоговое разложение выписывается прямо из таблицы:

$$\left(2x^2 - \frac{1}{x}\right)^6 = 64x^{12} - 192x^{9} + 240x^{6} - 160x^{3} + 60 - \frac{12}{x^{3}} + \frac{1}{x^{6}}.$$

Шаг 5. Отвечаем на вопросы задачи. Коэффициент при $x^3$ берётся из строки, где $12 - 3k = 3$, то есть $k = 3$: он равен $-160$. Член, не содержащий $x$, отвечает условию $12 - 3k = 0$, то есть $k = 4$; это пятый член разложения, и он равен $60$.

Проверка. Подставим $x = 1$ в обе части. Слева получается $(2 - 1)^6 = 1$. Справа складываем коэффициенты: $64 - 192 + 240 - 160 + 60 - 12 + 1 = 1$. Совпало, значит ни один коэффициент не потерян и знаки расставлены верно.

Ответ: разложение содержит семь членов, коэффициент при $x^3$ равен $-160$, член без $x$ равен $60$.

Формула бинома Ньютона и откуда она берётся

В общем виде формула записывается так:

$$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k \, a^{\,n-k} b^{\,k}.$$

Здесь $a$ и $b$ - слагаемые бинома, $n$ - натуральный показатель степени, $C_n^k$ - биномиальный коэффициент, равный числу сочетаний из $n$ элементов по $k$.

Откуда берётся коэффициент, видно из смысла возведения в степень. Произведение $(a+b)(a+b)\ldots(a+b)$ из $n$ скобок раскрывается так: из каждой скобки берётся либо $a$, либо $b$. Любое слагаемое результата имеет вид $a^{n-k}b^k$, где $k$ - число скобок, из которых взяли $b$. Способов выбрать эти $k$ скобок ровно $C_n^k$, поэтому одночлен $a^{n-k}b^k$ встретится именно столько раз. Так комбинаторика и попадает в алгебраическую формулу.

Отсюда же вытекают свойства, которыми удобно пользоваться при проверке. Членов всегда на один больше, чем показатель степени: их $n+1$. Сумма показателей у $a$ и $b$ в каждом члене постоянна и равна $n$. Коэффициенты симметричны, поскольку $C_n^k = C_n^{n-k}$. Наконец, подстановка $a = b = 1$ даёт сумму всех биномиальных коэффициентов, равную $2^n$ - тот же результат, что и при подсчёте числа подмножеств множества из n элементов.

Как найти нужный член, не раскрывая весь бином

Когда степень большая, выписывать всё разложение бессмысленно: в задаче обычно спрашивают один член. Алгоритм короткий.

Сначала запишите общий член $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, подставив своё $a$ и своё $b$ вместе со степенями $x$. Затем соберите показатель $x$ в одну линейную функцию от $k$ - для нашего примера это $12 - 3k$. Приравняйте её к искомой степени и решите уравнение относительно $k$.

Если корень получился целым и лежит в отрезке от $0$ до $n$, член существует; подставляете найденное $k$ обратно в общий член и считаете только один коэффициент. Если корень дробный или вышел за границы - такого члена в разложении нет, и это полноценный ответ задачи, а не признак ошибки. Для бинома $\left(2x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^6$ члена с $x^1$ нет: уравнение $12 - 3k = 1$ даёт нецелое $k$.

Возведение числового множителя в степень при этом часто оказывается самой трудоёмкой частью: если основание не двойка, полезны приёмы из разбора о том, как быстро возвести число в степень.

Треугольник Паскаля и вариации условия

Строку коэффициентов проще всего брать из треугольника Паскаля: каждое число равно сумме двух стоящих над ним, поэтому шестая строка $1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1$ получается из пятой $1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1$ устно. До $n = 7$ это быстрее формулы сочетаний, дальше удобнее считать $C_n^k$ напрямую или рекуррентно, домножая предыдущий коэффициент на $\dfrac{n-k+1}{k}$.

Условие часто меняют, не меняя сути. Если второе слагаемое положительное, исчезает чередование знаков, все члены идут с плюсом. Если оба слагаемых содержат $x$ в положительных степенях, члена без $x$ не будет вовсе, кроме случая, когда одна из степеней нулевая. Если вместо $x$ стоит выражение вроде $\sqrt{x} = x^{1/2}$, закон показателя становится дробным, но метод не меняется: всё так же приравниваем показатель нужному числу. А если требуется найти наибольший коэффициент, сравнивают соседние члены отношением $\dfrac{T_{k+2}}{T_{k+1}}$ и смотрят, где оно переходит через единицу.

Биномиальные коэффициенты встречаются и за пределами алгебры: та же величина $C_n^k$ стоит в схеме Бернулли, где через неё считается вероятность через сочетания.

Частые ошибки

• Путают номер члена и значение $k$. Третий член разложения - это $k = 2$. Формула нумерует члены как $T_{k+1}$, и потерянная единица смещает ответ на целый шаг.
• Теряют знак второго слагаемого. В биноме с минусом в скобку идёт именно $-\dfrac{1}{x}$, а не $\dfrac{1}{x}$: множитель $(-1)^k$ обязан быть в общем члене, иначе половина коэффициентов получится с неверным знаком.
• Не возводят в степень числовой коэффициент. В $\left(2x^2\right)^{6-k}$ двойка тоже возводится в степень $6-k$, а не остаётся множителем $2$. Ошибка даёт коэффициент $20$ вместо $-160$.
• Складывают показатели неправильно. При умножении $x^{2(6-k)}$ на $x^{-k}$ показатели складываются, а не умножаются; результат $12 - 3k$, а не $12 - 2k$ и не $-2k^2$.
• Считают, что член без $x$ есть всегда. Он существует, только если уравнение «показатель равен нулю» имеет целый корень в диапазоне от $0$ до $n$.
• Забывают проверить ответ. Подстановка $x = 1$ занимает пятнадцать секунд и ловит и потерянный знак, и пропущенный член.

FAQ

Сколько членов в разложении бинома степени n? Ровно $n+1$, потому что параметр $k$ пробегает все целые значения от $0$ до $n$ включительно. Для шестой степени членов семь. Если в вашем ответе их шесть или восемь, где-то потерян или лишний раз посчитан крайний член.

Чем отличается биномиальный коэффициент от коэффициента члена разложения? Биномиальный коэффициент - это только $C_n^k$, чистая комбинаторная величина. Коэффициент члена включает ещё числовые множители из самих слагаемых: в нашей задаче при $k = 3$ биномиальный коэффициент равен $20$, а коэффициент члена равен $20 \cdot 8 \cdot (-1) = -160$. В задачах на «сумму коэффициентов» всегда уточняйте, о какой из двух величин речь.

Работает ли формула для дробных и отрицательных показателей? Формула бинома Ньютона в приведённом виде верна для натурального $n$. Для дробных и отрицательных показателей существует обобщение в виде бесконечного ряда, который сходится при $|x| < 1$; в курсе дискретной математики его обычно не используют, а разбирают в математическом анализе.

Как найти член разложения с наибольшим коэффициентом? Считают отношение соседних членов и ищут $k$, при котором оно перестаёт превышать единицу. Если все слагаемые бинома равны единице, ответ известен заранее: максимум приходится на середину строки, то есть на $C_n^{n/2}$ при чётном $n$.

Коротко

1. Записать общий член: $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, подставив слагаемые вместе со степенями $x$.
2. Собрать показатель $x$ в линейную функцию от $k$; для $\left(2x^2 - \dfrac{1}{x}\right)^6$ это $12 - 3k$.
3. Приравнять показатель нужному числу и найти $k$; целый корень в диапазоне от $0$ до $n$ означает, что член существует.
4. Посчитать коэффициент как $C_n^k$, умноженное на числовые множители в соответствующих степенях, со знаком $(-1)^k$, если второе слагаемое отрицательное.
5. Ответ примера: коэффициент при $x^3$ равен $-160$, член без $x$ равен $60$; проверка подстановкой $x = 1$ даёт сумму коэффициентов $1$.