Зоны Бриллюэна: дисперсия, граница зоны и щель

Зоны Бриллюэна это области в обратном пространстве, на которые периодическая решётка кристалла естественным образом разбивает волновой вектор электрона. Первая зона Бриллюэна задаёт диапазон неповторяющихся значений k: всё, что лежит за её границами, можно свести внутрь сдвигом на вектор обратной решётки. Именно на границах зоны электронные волны испытывают брэгговское отражение, и там в законе дисперсии открывается запрещённая щель, которая делит спектр на разрешённые зоны. Ниже разберём, что такое первая зона Бриллюэна и где проходит её граница, как обратная решётка задаёт период по k, почему щель появляется именно на границе и как всё это считать в типовых задачах. Чтобы сразу почувствовать связь периода решётки, потенциала и щели, покрутите калькулятор: он строит дисперсию E(k) в трёх схемах сразу, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое первая зона Бриллюэна

У кристалла есть две связанные решётки. Прямая решётка с периодом $a$ описывает расположение атомов в обычном пространстве. Обратная решётка строится из неё и живёт в пространстве волновых векторов $k$; для одномерной цепочки её узлы стоят через вектор обратной решётки $b = 2\pi/a$. Любая электронная волна в кристалле характеризуется волновым вектором $k$, но из-за периодичности два значения $k$, отличающиеся на $b$, физически неразличимы: они описывают одно и то же состояние.

Поэтому достаточно рассматривать $k$ только в одном периоде. Первая зона Бриллюэна это ячейка обратной решётки вокруг её узла, построенная как ячейка Вигнера-Зейтца: для одномерного кристалла это просто отрезок

$-\frac{\pi}{a} \le k \le \frac{\pi}{a}.$

Её ширина равна $b = 2\pi/a$, а границы лежат в точках $k = \pm\pi/a$. Вторая, третья и следующие зоны это соседние участки оси $k$ той же ширины: они отстоят от первой на целое число векторов $b$ и приводятся к первой зоне сдвигом. На калькуляторе выше нижняя полоса как раз показывает это разбиение оси: центральная зона выделена золотым, по бокам идут вторая и третья.

Рассчитать для своей задачи

Обратная решётка и период по k

Ключевая идея зон в том, что энергия электрона периодична по $k$ с периодом обратной решётки: $E(k + b) = E(k)$. Это прямое следствие теоремы Блоха для движения в периодическом потенциале. Из-за этой периодичности всю информацию о спектре несёт один период по $k$, и удобнее всего взять симметричный отрезок вокруг нуля, то есть первую зону Бриллюэна.

Есть два эквивалентных способа нарисовать спектр. В расширенной зонной схеме мы откладываем энергию вдоль всей оси $k$, и для свободного электрона получается единая парабола $E = \hbar^2 k^2 / 2m$. В приведённой зонной схеме каждый кусок этой параболы, лежащий вне первой зоны, переносят внутрь сдвигом на подходящий вектор $b$; тогда из одной параболы получается набор ветвей, и каждая ветвь это отдельная зона. Переключатель схем в калькуляторе показывает оба взгляда: «Свободный электрон» рисует исходную параболу с отмеченными границами, а «Почти свободные + щель» сворачивает её в первую зону и добавляет разрыв.

Рассчитать для своей задачи

Численно границу легко найти: при периоде $a = 3$ Å граница зоны равна $\pi/a \approx 1{,}047$ Å$^{-1}$, а полная ширина первой зоны $2\pi/a \approx 2{,}094$ Å$^{-1}$. Энергия свободного электрона на границе при том же периоде составляет около $4{,}18$ эВ, если взять $\hbar^2/2m = 3{,}81$ эВ$\cdot$Å$^2$. Эти три числа калькулятор выводит сразу под слайдерами.

Почему на границе зоны открывается щель

Свободный электрон не знает про решётку, и его парабола гладкая. Но даже слабый периодический потенциал решётки меняет картину у границ зоны. На границе $k = \pi/a$ выполняется условие брэгговского отражения: волна с таким $k$ и волна с $k - b = -\pi/a$ имеют одинаковую энергию и сильно перемешиваются потенциалом. Это вырождение снимается, и вместо одной энергии возникают две.

Расщепление считают по двухуровневой секулярной задаче почти свободных электронов. На границе зоны энергии нижней и верхней ветвей равны

$E_\pm = E_0 \pm |U|,$

где $E_0$ это энергия свободного электрона на границе, а $U$ это фурье-компонента периодического потенциала. Между ветвями возникает запрещённая щель шириной

$E_g = 2\,|U|.$

Внутри этой щели нет ни одного разрешённого состояния, поэтому она и называется запрещённой зоной. Чем глубже потенциал, тем шире щель; при $U \to 0$ щель закрывается и ветви снова сливаются в гладкую параболу. В калькуляторе ползунок потенциала прямо управляет шириной щели: при $U = 2$ эВ щель равна $E_g = 4$ эВ, и золотой отрезок на границе показывает её высоту.

Рассчитать для своей задачи

Важно, что щель открывается ровно на границе зоны Бриллюэна, а не где-то посередине. Это прямо связывает геометрию обратной решётки с электронным спектром: положение запрещённых зон определяется периодом кристалла, а их ширина потенциалом. Именно так из непрерывного спектра свободного электрона получается зонная структура твёрдого тела, которая делит вещества на металлы, полупроводники и диэлектрики.

Предел сильной связи и форма зоны

Противоположный взгляд это приближение сильной связи, когда электрон почти локализован на атомах и лишь изредка перескакивает к соседу. Тогда одна зона описывается простым законом дисперсии

$E(k) = E_0 - 2t\cos(ka),$

где $t$ это интеграл перекрытия (амплитуда перескока между соседними узлами). Зона получается узкой: её полная ширина равна $4t$, дно лежит при $k = 0$, а потолок на границе зоны $k = \pi/a$. На обоих концах зоны производная $dE/dk$ обращается в нуль, то есть групповая скорость электрона там равна нулю. Эту схему показывает третий вариант переключателя в калькуляторе.

Оба предела, почти свободные электроны и сильная связь, дают одну и ту же качественную картину: разрешённые зоны, разделённые щелями, причём границы зон сидят на границах зоны Бриллюэна. Разница лишь в том, насколько широки сами зоны. Слабый потенциал даёт широкие зоны и узкие щели, сильная связь наоборот узкие зоны и широкие промежутки.

Зоны Бриллюэна в двух и трёх измерениях

Для одномерной цепочки зона это отрезок, но в реальных кристаллах обратная решётка двумерная или трёхмерная, и первая зона Бриллюэна становится многогранником. Её строят как ячейку Вигнера-Зейтца обратной решётки: проводят серединные перпендикуляры (для 3D плоскости) ко всем векторам, соединяющим узел с ближайшими соседями, и берут наименьшую область вокруг узла. Для квадратной решётки получается квадрат, для гранецентрированной кубической усечённый октаэдр, для объёмноцентрированной ромбододекаэдр.

Все построения сохраняют главное свойство: первая зона Бриллюэна это область неповторяющихся $k$, а её грани это границы, где выполняется брэгговское условие и где могут открываться щели. Поэтому зоны Бриллюэна это базовый язык физики твёрдого тела: через них формулируют зонную структуру, плотность состояний, поверхность Ферми и закон дисперсии фононов.

Частые ошибки

• Путают прямую и обратную решётку. Период $a$ задан в обычном пространстве, а зона Бриллюэна живёт в пространстве $k$. Граница зоны это $\pi/a$, а не $a$ и не $2\pi$.
• Берут полную ширину зоны вместо половины. Граница первой зоны равна $\pi/a$, а полная ширина $2\pi/a$. В формулу энергии на границе подставляют именно $k = \pi/a$.
• Считают щель равной U. Ширина запрещённой щели равна $E_g = 2|U|$, а не $|U|$: каждая ветвь отходит от $E_0$ на $|U|$, и расстояние между ними удваивается.
• Ищут щель в центре зоны. Щель открывается на границе зоны Бриллюэна, там, где выполнено брэгговское условие $k = \pm\pi/a$, а не при $k = 0$.
• Забывают перевести единицы. Если период дан в нанометрах, переведите его в ангстремы перед расчётом $\pi/a$, иначе значение $k$ выйдет в тысячу раз меньше.

FAQ

Чему равна граница первой зоны Бриллюэна для решётки с периодом 3 Å? Граница лежит в точке $k = \pi/a = \pi/3 \approx 1{,}047$ Å$^{-1}$, а полная ширина зоны $2\pi/a \approx 2{,}094$ Å$^{-1}$. Энергия свободного электрона на этой границе около $4{,}18$ эВ при $\hbar^2/2m = 3{,}81$ эВ$\cdot$Å$^2$.

Почему запрещённая щель открывается именно на границе зоны? На границе $k = \pi/a$ выполняется условие брэгговского отражения: прямая и отражённая волны имеют равную энергию и перемешиваются периодическим потенциалом. Вырождение снимается, и вместо одного уровня появляются два, разделённые щелью $E_g = 2|U|$.

В чём разница между расширенной и приведённой зонной схемой? Это два способа нарисовать один спектр. В расширенной схеме энергию откладывают вдоль всей оси $k$. В приведённой каждый кусок вне первой зоны переносят внутрь сдвигом на вектор обратной решётки $b = 2\pi/a$, и спектр превращается в набор ветвей-зон внутри первой зоны Бриллюэна.

Коротко

Зоны Бриллюэна это разбиение обратного пространства на области неповторяющихся значений $k$. Первая зона для одномерного кристалла это отрезок $-\pi/a \le k \le \pi/a$ шириной $2\pi/a$, а её границы лежат в точках $k = \pm\pi/a$. На этих границах выполняется брэгговское условие, поэтому даже слабый периодический потенциал открывает там запрещённую щель шириной $E_g = 2|U|$. Так из непрерывной параболы свободного электрона получается зонная структура с разрешёнными зонами и щелями между ними.