Закон Дальтона: парциальные давления газов в смеси

Закон Дальтона описывает, как ведёт себя смесь нескольких газов, которые не вступают в химическую реакцию: каждый газ давит на стенки сосуда так, будто остальных газов нет, а полное давление смеси равно сумме этих отдельных вкладов. Эти вклады и называют парциальными давлениями. Идея простая, но в задачах она постоянно путается с мольными долями, объёмными долями и переводом единиц. Ниже разберём, что такое парциальное давление, как вывести его через мольную долю, как полное давление смеси складывается из давлений компонентов и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть, как доли газов превращаются в давления, покрути калькулятор ниже: он показывает каждое парциальное давление отдельным столбцом и складывает их в полное давление смеси.

Что такое парциальное давление

Парциальное давление газа в смеси - это давление, которое создавал бы этот газ, если бы он один занимал весь объём сосуда при той же температуре. В смеси молекулы каждого газа движутся независимо и бьются о стенки сами по себе, поэтому их вклады в общее давление просто складываются. Для смеси из нескольких газов закон Дальтона записывается так:

$P = p_1 + p_2 + \dots + p_n = \sum_{i} p_i,$

где $P$ - полное давление смеси, а $p_i$ - парциальное давление $i$-го газа. Это работает для идеальных газов, которые не взаимодействуют между собой - именно такое приближение и используют в большинстве учебных задач.

Рассчитать для своей задачи

Главное, что стоит сразу усвоить: парциальное давление - это не доля и не процент, а самостоятельное давление в тех же единицах, что и полное. Его можно измерить, например, удалив из сосуда все остальные газы и оставив только один.

Парциальное давление через мольную долю

Чтобы посчитать парциальное давление, не обязательно знать его напрямую - достаточно состава смеси. Для идеального газа парциальное давление пропорционально количеству вещества этого газа. Введём мольную долю $x_i$ - отношение числа молей данного газа к суммарному числу молей всех газов в смеси:

$x_i = \frac{n_i}{n_1 + n_2 + \dots + n_n} = \frac{n_i}{n_{сумм}}.$

Тогда парциальное давление каждого компонента равно произведению его мольной доли на полное давление смеси:

$p_i = x_i \, P.$

Эта формула - рабочая лошадка всех задач по закону Дальтона. Сумма всех мольных долей по определению равна единице, $\sum x_i = 1$, поэтому если сложить все парциальные давления, снова получится полное давление: $\sum p_i = P \sum x_i = P$. Калькулятор выше делает ровно это - переводит количества молей в доли, а доли в парциальные давления.

Рассчитать для своей задачи

На схеме видно ключевую идею наглядно: каждый газ даёт свой столбик давления, пропорциональный его мольной доле, и эти столбики, поставленные друг на друга, дают полную высоту - полное давление смеси.

Как полное давление складывается из компонентов

Разберём типичный пример. Пусть в сосуде находится смесь из $78$ моль азота, $21$ моль кислорода и $1$ моль углекислого газа, а полное давление равно $P = 100$ кПа. Сначала находим суммарное количество вещества:

$n_{сумм} = 78 + 21 + 1 = 100\ \text{моль}.$

Теперь мольные доли:

$x_{N_2} = \frac{78}{100} = 0{,}78, \quad x_{O_2} = \frac{21}{100} = 0{,}21, \quad x_{CO_2} = \frac{1}{100} = 0{,}01.$

И, наконец, парциальные давления по формуле $p_i = x_i P$:

$p_{N_2} = 0{,}78 \cdot 100 = 78\ \text{кПа}, \quad p_{O_2} = 21\ \text{кПа}, \quad p_{CO_2} = 1\ \text{кПа}.$

Проверка: $78 + 21 + 1 = 100$ кПа - сумма парциальных давлений в точности равна заданному полному давлению, как и требует закон Дальтона. Эта проверка - удобный способ поймать арифметическую ошибку: если сумма не сходится с $P$, где-то напутали с долями или единицами.

Закон Дальтона и уравнение состояния

Закон Дальтона напрямую связан с уравнением состояния идеального газа. Каждый газ в смеси подчиняется уравнению Менделеева-Клапейрона $p_i V = n_i R T$, где $V$ и $T$ - общие для всей смеси объём и температура. Сложив эти уравнения по всем газам, получаем:

$P V = (n_1 + n_2 + \dots + n_n) R T = n_{сумм} R T.$

Отсюда видно, что полное давление зависит только от суммарного числа молекул, а не от того, какие именно это газы. Разделив парциальное уравнение на полное, снова приходим к $p_i / P = n_i / n_{сумм} = x_i$, то есть к формуле $p_i = x_i P$. Это объясняет, почему для идеальных газов состав однозначно задаёт распределение давлений - природа газа на парциальное давление не влияет, важно только количество вещества.

Частые ошибки

• Путаница парциального давления с долей. Парциальное давление измеряется в паскалях или кПа, а мольная доля - безразмерное число от 0 до 1. Их нельзя приравнивать: давление получается умножением доли на полное $P$.
• Объёмные проценты вместо мольных долей. Для идеального газа объёмная доля численно равна мольной, но если в условии даны массы, сначала переведите их в количество вещества $n = m / M$, а уже потом считайте доли.
• Забытый перевод единиц. Если полное давление дано в атмосферах или мм рт. ст., парциальные давления получатся в тех же единицах. Не смешивайте кПа и атмосферы в одной задаче.
• Учёт реагирующих газов. Закон Дальтона в простой форме верен только для газов, которые не реагируют друг с другом. Если идёт реакция, число молей меняется, и доли нужно пересчитывать по итоговому составу.
• Деление на неполную сумму. В знаменателе мольной доли должно стоять суммарное количество всех газов, включая сам рассматриваемый, а не только остальных.

FAQ

Чему равно парциальное давление кислорода в воздухе при нормальном давлении? Воздух содержит около 21 % кислорода по объёму, то есть мольная доля $x_{O_2} \approx 0{,}21$. При полном давлении $101{,}3$ кПа парциальное давление кислорода равно $p_{O_2} = 0{,}21 \cdot 101{,}3 \approx 21{,}3$ кПа.

Как найти полное давление, если известны парциальные? По закону Дальтона полное давление - это просто сумма всех парциальных: $P = p_1 + p_2 + \dots + p_n$. Например, при $p_1 = 60$ кПа, $p_2 = 40$ кПа и $p_3 = 25$ кПа полное давление равно $125$ кПа.

Зависит ли закон Дальтона от рода газов? Для идеальных газов - нет. Парциальное давление определяется только количеством вещества и полным давлением, а не химической природой газа. Отклонения появляются у реальных газов при высоких давлениях и низких температурах, когда становятся заметны межмолекулярные взаимодействия.

Коротко

Закон Дальтона гласит: полное давление смеси невзаимодействующих газов равно сумме их парциальных давлений, $P = \sum p_i$. Парциальное давление каждого газа находится через мольную долю по формуле $p_i = x_i P$, где $x_i = n_i / n_{сумм}$. Сумма всех долей равна единице, поэтому сумма парциальных давлений всегда возвращает полное давление - это и есть основная проверка в любой задаче на смеси газов.