Задачи на круговую диаграмму: проценты и градусы

Круговая диаграмма показывает, как целое делится на части: весь круг это 100 % данных и одновременно 360 градусов, а каждая категория занимает свой сектор. Поэтому почти любая задача на круговую диаграмму сводится к одному переходу: доля от целого превращается в процент, а процент в центральный угол сектора. Ниже разберём это правило в обе стороны, посчитаем доли по конкретным числам, научимся восстанавливать процент по углу и собранному набору данных, и пройдём по типовым ошибкам, на которых студенты теряют баллы. Чтобы сразу увидеть связь доли, процента и угла, покрутите калькулятор: задайте значения категорий и смотрите, как меняются и проценты, и градусы сектора, и сама диаграмма.

Главное правило: процент и градус сектора

В основе всех задач на круговую диаграмму лежит двойное соответствие. Весь круг это и 100 %, и 360°, значит, одна и та же доля выражается двумя способами:

$\text{доля} = \frac{\text{значение категории}}{\text{сумма всех значений}}, \qquad \text{процент} = \text{доля} \cdot 100\,\%.$

Чтобы получить центральный угол сектора, долю умножают на 360°, а процент на коэффициент 3,6°:

$\alpha = \text{доля} \cdot 360° = \frac{\text{процент}}{100} \cdot 360° = \text{процент} \cdot 3{,}6°.$

Коэффициент $3{,}6°$ это и есть «цена одного процента»: $360° / 100\,\% = 3{,}6°$ на каждый процент. Поэтому 25 % дают угол $25 \cdot 3{,}6° = 90°$ (ровно четверть круга), 50 % дают $180°$ (полукруг), а 10 % дают всего $36°$. Запомнив это соответствие, вы переводите любую долю в угол в одно действие.

Рассчитать для своей задачи

Перевод процентов в градусы

Прямая задача звучит так: известен процент категории, нужно найти угол её сектора. Здесь работает формула $\alpha = \text{процент} \cdot 3{,}6°$. Например, если опрос показал, что 35 % респондентов выбрали первый вариант, то его сектор займёт угол

$\alpha = 35 \cdot 3{,}6° = 126°.$

Этого достаточно, чтобы построить сектор транспортиром: отложить от верхней точки круга угол 126° и закрасить получившуюся часть. Если категорий несколько, удобно считать углы для всех сразу и проверять себя суммой: углы всех секторов обязаны давать ровно 360°, иначе где-то ошибка в процентах или в умножении.

Рассчитать для своей задачи

На схеме показан канонический случай: доля 30 % это $0{,}30 \cdot 360° = 108°$. Дуга у центра измеряет именно центральный угол сектора, а не длину дуги по краю круга, и подпись 30 % стоит внутри закрашенной части. Такой рисунок полезно держать в голове как образец оформления: подписан и процент, и угол.

Обратная задача: процент по углу

Часто в условии дан угол сектора, а найти нужно процент или само значение категории. Здесь правило разворачивается: делим угол на 3,6° (или на 360° и умножаем на 100 %):

$\text{процент} = \frac{\alpha}{3{,}6°} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 100\,\%.$

Допустим, сектор имеет центральный угол 72°. Тогда его доля равна

$\text{процент} = \frac{72°}{3{,}6°} = 20\,\%.$

Если дополнительно известно общее число объектов, легко найти и количество в категории. Скажем, опрошено 200 человек, и сектор «за» занимает 72°. Сначала процент: $72 / 3{,}6 = 20\,\%$. Затем число людей: $0{,}20 \cdot 200 = 40$ человек. Эта цепочка «угол to процент to количество» закрывает большинство школьных и студенческих формулировок задач на круговую диаграмму.

Как посчитать доли по набору чисел

Самый частый тип задачи это построение диаграммы по таблице данных. Порядок действий всегда один:

1. Сложить все значения и получить сумму, которая соответствует целому (100 % и 360°).
2. Для каждой категории найти долю: значение разделить на сумму.
3. Долю перевести в процент (умножить на 100 %) и в угол (умножить на 360°).
4. Проверить: проценты дают 100 %, углы дают 360°.

Возьмём пример из калькулятора выше: расходы за месяц это еда 30, жильё 25, транспорт 20, учёба 15, прочее 10 условных единиц. Сумма равна $30 + 25 + 20 + 15 + 10 = 100$, поэтому доли совпадают с самими числами в процентах: еда 30 %, жильё 25 %, транспорт 20 %, учёба 15 %, прочее 10 %. Углы получаются умножением на 3,6°: $108°$, $90°$, $72°$, $54°$ и $36°$ соответственно. Их сумма $108 + 90 + 72 + 54 + 36 = 360°$, значит, расчёт согласован.

Если сумма данных не круглая, проценты редко выходят целыми. Тогда долю считают как дробь и округляют процент до нужного знака уже в конце, а угол находят либо от точной доли, либо от округлённого процента, заранее договорившись о точности. Калькулятор показывает и процент, и угол с одним знаком после запятой, поэтому удобно сверять промежуточные значения, не теряя точности при округлении.

Когда категорий много или диаграмма неполная

В некоторых задачах часть данных скрыта: даны проценты не всех категорий, а нужно найти оставшуюся. Поскольку сумма всех долей равна 100 %, недостающий процент это $100\,\%$ минус сумма известных. Например, если три сектора заняли 40 %, 25 % и 20 %, то четвёртый занимает $100 - 40 - 25 - 20 = 15\,\%$, а его угол равен $15 \cdot 3{,}6° = 54°$. Тот же приём работает и с углами: недостающий угол это $360°$ минус сумма известных.

Если категорий очень много и мелкие доли сливаются, их часто объединяют в категорию «прочее». На результат это не влияет: правило перевода доли в процент и угол остаётся прежним, просто одна из частей становится суммой нескольких мелких. Главное, чтобы итоговая сумма по-прежнему давала 100 % и 360°. Принцип здесь тот же, что и в столбчатой диаграмме: доли одного целого, только отложенные не по высоте столбиков, а по углам секторов одного круга.

Частые ошибки

• Путают центральный угол и длину дуги. Сектор задаётся именно центральным углом у вершины круга; измерять надо его, а не дугу по внешнему краю. Транспортир прикладывают к центру.
• Умножают процент на 3,6, забыв про градусы. Коэффициент это $3{,}6°$ на процент, а не безразмерное число 3,6. В ответе у угла должны быть градусы.
• Берут процент не от той суммы. Доля считается от суммы всех категорий, а не от самой большой из них и не от 100 «на глаз». Сначала найдите сумму данных.
• Не проверяют сумму. Если проценты не дают 100 % или углы не дают 360°, расчёт неверен. Эта проверка ловит почти любую арифметическую ошибку.
• Округляют слишком рано. Если округлить долю в начале, накопленная ошибка может сместить последний сектор. Округляйте проценты и углы в конце.

FAQ

Чему равен угол сектора, если категория составляет 25 %? Умножаем процент на 3,6°: $25 \cdot 3{,}6° = 90°$. Это ровно четверть круга, потому что 25 % это четверть целого, а четверть от 360° равна 90°.

Как по круговой диаграмме найти процент, если известен только угол? Разделите угол на 3,6° или на 360° и умножьте на 100 %. Например, угол 54° даёт $54 / 3{,}6 = 15\,\%$. Если ещё известно общее число объектов, умножьте процент на это число, чтобы получить количество в категории.

Почему сумма всех секторов круговой диаграммы всегда равна 360 градусам? Потому что секторы вместе составляют полный круг, а полный круг это 360°. Точно так же сумма всех долей равна целому, то есть 100 %. Эти два равенства и служат итоговой проверкой расчёта.

Коротко

Любая задача на круговую диаграмму с процентами держится на двойном соответствии: весь круг это и 100 %, и 360°, поэтому 1 % всегда равен 3,6°. Долю категории находят как отношение её значения к сумме всех значений, переводят в процент умножением на 100 % и в центральный угол умножением на 3,6° (или доли на 360°). Обратная задача решается делением угла на 3,6°. Итоговая проверка одна и та же: проценты должны давать 100 %, а углы 360°. Освоив этот переход в обе стороны, вы решаете и прямые, и обратные задачи, и построение диаграммы по таблице данных.